2014高考北京（文科数学）试卷 8页

‎2014·北京卷(文科数学)‎ ‎1． [2014·北京卷] 若集合A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．{0，1，2，3，4}B．{0，4}‎ C．{1，2}D．{3}‎ ‎1．C　[解析]A∩B＝{0，1，2，4}∩{1，2，3}＝{1，2}．‎ ‎2． [2014·北京卷] 下列函数中，定义域是R且为增函数的是(　　)‎ A．y＝e－xB．y＝x3‎ C．y＝lnxD．y＝|x|‎ ‎2．B　[解析]由定义域为R，排除选项C，由函数单调递增，排除选项A，D.‎ ‎3． [2014·北京卷] 已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝(　　)‎ A．(5，7) B．(5，9)‎ C．(3，7) D．(3，9)‎ ‎3．A　[解析]2a－b＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7)．‎ ‎4． [2014·北京卷] 执行如图11所示的程序框图，输出的S值为(　　)‎ 图11‎ A．1B．3‎ C．7D．15‎ ‎4．C　[解析]S＝20＋21＋22＝7.‎ ‎5． [2014·北京卷] 设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．D　[解析]当ab<0时，由a>b不一定推出a2>b2，反之也不成立．‎ ‎6． [2014·北京卷] 已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)的零点的区间是(　　)‎ A．(0，1) B．(1，2)‎ C．(2，4) D．(4，＋∞)‎ ‎6．C　[解析]方法一：对于函数f(x)＝－log2x，因为f(2)＝2>0，f(4)＝－0.5<0，根据零点的存在性定理知选C.‎ 方法二：在同一坐标系中作出函数h(x)＝与g(x)＝log2x的大致图像，如图所示，可得f(x)的零点所在的区间为(2，4)．‎ ‎7． [2014·北京卷] 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)‎ A．7B．6‎ C．5D．4‎ ‎7．B　[解析]由图可知，圆C上存在点P使∠APB＝90°，即圆C与以AB为直径的圆有公共点，所以－1≤m≤＋1，即4≤m≤6.‎ ‎8． [2014·北京卷] 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，图12记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为(　　)‎ 图12‎ A．3.50分钟B．3.75分钟 C．4.00分钟D．4.25分钟 ‎8．B　[解析]由题意得解之得 ‎∴p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.8125，即当t＝3.75时，p有最大值．‎ ‎9． [2014·北京卷] 若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则x＝________．‎ ‎9．2　[解析]∵(x＋i)i＝－1＋xi＝－1＋2i，∴x＝2.‎ ‎10． [2014·北京卷] 设双曲线C的两个焦点为(－，0)，(，0)，一个顶点是(1，0)，则C的方程为________．‎ ‎10．x2－y2＝1　[解析]由题意设双曲线的方程为x2－＝1(b>0)，又∵1＋b2＝()2，∴b2＝1，即双曲线C的方程为x2－y2＝1.‎ ‎11． [2014·北京卷] 某三棱锥的三视图如图13所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．‎ 图13‎ ‎11．2　[解析]该三棱锥的直观图如图所示，并且PB⊥平面ABC，PB＝2，AB＝2，AC＝BC＝，PA＝＝2，PC＝＝，故PA最长．‎ ‎12． [2014·北京卷] 在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝，则c＝________；sinA＝________．‎ ‎12．2　　[解析]由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×2×1×＝4，即c＝2；cosA＝＝＝，∴sinA＝＝.‎ ‎13． [2014·北京卷] 若x，y满足则z＝x＋y的最小值为________．‎ ‎13．1　[解析]可行域如图，当目标函数线z＝y＋x过可行域内A点时，z有最小值，联立得A(0，1)，故zmin＝×0＋1×1＝1.‎ ‎14． [2014·北京卷] 顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客．两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：‎ 工序时间原料 粗加工 精加工 原料A ‎9‎ ‎15‎ 原料B ‎6‎ ‎21‎ 则最短交货期为________个工作日．‎ ‎14．42　[解析]交货期最短，则应先让徒弟加工原料B，交货期为6＋21＋15＝42个工作日．‎ ‎15． [2014·北京卷] 已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{bn}的前n项和．‎ ‎15．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得 d＝＝＝3.‎ 所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1，2，…)．‎ 设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得 q3＝＝＝8，解得q＝2.‎ 所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.‎ 从而bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)．‎ ‎(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)．‎ 数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为1×＝2n－1，‎ 所以，数列{bn}的前n项和为n(n＋1)＋2n－1.‎ ‎16． [2014·北京卷] 函数f(x)＝3sin的部分图像如图14所示．‎ 图14‎ ‎(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．‎ ‎16．解：(1)f(x)的最小正周期为π.‎ x0＝，y0＝3.‎ ‎(2)因为x∈，所以2x＋∈.‎ 于是，当2x＋＝0，‎ 即x＝－时，f(x)取得最大值0；‎ 当2x＋＝－，‎ 即x＝－时，f(x)取得最小值－3.‎ ‎17． [2014·北京卷] 如图15，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．‎ 图15‎ ‎(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；‎ ‎(2)求证：C1F∥平面ABE；‎ ‎(3)求三棱锥EABC的体积．‎ ‎17．解：(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥底面ABC，‎ 所以BB1⊥AB.‎ 又因为AB⊥BC，‎ 所以AB⊥平面B1BCC1.‎ 所以平面ABE⊥平面B1BCC1.‎ ‎(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.‎ 因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点，‎ 所以FG∥AC，且FG＝AC，EC1＝A1C1.‎ 因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，‎ 所以FG∥EC1，且FG＝EC1，‎ 所以四边形FGEC1为平行四边形，‎ 所以C1F∥EG.‎ 又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，‎ 所以C1F∥平面ABE.‎ ‎(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，‎ 所以AB＝＝.‎ 所以三棱锥EABC的体积 V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.‎ ‎18． [2014·北京卷] 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图(如图16)．‎ 组号 分组 频数 ‎1‎ ‎[0，2)‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎[2，4)‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎[4，6)‎ ‎17‎ ‎4‎ ‎[6，8)‎ ‎22‎ ‎5‎ ‎[8，10)‎ ‎25‎ ‎6‎ ‎[10，12)‎ ‎12‎ ‎7‎ ‎[12，14)‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎[14，16)‎ ‎2‎ ‎9‎ ‎[16，18)‎ ‎2‎ 合计 ‎100‎ 图16‎ ‎(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；‎ ‎(2)求频率分布直方图中的a，b的值；‎ ‎(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．(只需写出结论)‎ ‎18．解：(1)根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10(名)，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1－＝0.9.‎ 故从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.‎ ‎(2)课外阅读时间落在组[4，6)内的有17人，频率为0.17，所以a＝＝＝0.085.‎ 课外阅读时间落在组[8，10)内的有25人，频率为0.25，所以b＝＝＝0.125.‎ ‎(3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．‎ ‎19． [2014·北京卷] 已知椭圆C：x2＋2y2＝4.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．‎ ‎19．解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ 所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.‎ 因此a＝2，c＝.‎ 故椭圆C的离心率e＝＝.‎ ‎(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，‎ 其中x0≠0.‎ 因为OA⊥OB，所以·＝0，‎ 即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.‎ 又x＋2y＝4，所以 ‎|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2‎ ‎＝＋(y0－2)2‎ ‎＝x＋y＋＋4‎ ‎＝x＋＋＋4‎ ‎＝＋＋4　(0＜x≤4)．‎ 因为＋≥4(0＜x≤4)，当x＝4时等号成立，所以|AB|2≥8.‎ 故线段AB长度的最小值为2.‎ ‎20． [2014·北京卷] 已知函数f(x)＝2x3－3x.‎ ‎(1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；‎ ‎(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围；‎ ‎(3)问过点A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线y＝f(x)相切？(只需写出结论)‎ ‎20．解：(1)由f(x)＝2x3－3x得f′(x)＝6x2－3.‎ 令f′(x)＝0，得x＝－或x＝.‎ 因为f(－2)＝－10，f＝，f＝－，f(1)＝－1，‎ 所以f(x)在区间[－2，1]上的最大值为f＝.‎ ‎(2)设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，‎ 则y0＝2x－3x0，且切线斜率为k＝6x－3，‎ 所以切线方程为y－y0＝(6x－3)(x－x0)，‎ 因此t－y0＝(6x－3)(1－x0)，‎ 整理得4x－6x＋t＋3＝0，‎ 设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，‎ 则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”．‎ g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)．‎ 当x变化时，g(x)与g′(x)的变化情况如下：‎ x ‎(－∞，0)‎ ‎0‎ ‎(0，1)‎ ‎1‎ ‎(1，＋∞)‎ g′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ g(x)‎  t＋3‎  t＋1‎  所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值．‎ 结合图像知，当g(x)有3个不同零点时，有解得－3