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  • 2021-06-16 发布

2007年江苏省高考数学试卷【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

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‎2007年江苏省高考数学试卷 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)‎ ‎1. 下列函数中,周期为π‎2‎的是( )‎ A.y=sinx‎2‎ B.y=sin2x C.y=cosx‎4‎ D.‎y=cos4x ‎2. 已知全集U=Z,A={-1, 0, 1, 2}‎,B={x|x‎2‎=x}‎,则A∩‎∁‎UB为(     )‎ A.‎{-1, 2}‎ B.‎{-1, 0}‎ C.‎{0, 1}‎ D.‎‎{1, 2}‎ ‎3. 在平面直角坐标系xOy中,双曲线中心在原点,焦点在y轴上,一条渐近线方程为x-2y=0‎,则它的离心率为(        )‎ A.‎5‎ B.‎5‎‎2‎ C.‎3‎ D.‎‎2‎ ‎4. 已知两条直线m,n,两个平面α,β,给出下面四个命题:‎ ‎①m // n,‎m⊥α⇒n⊥α ‎②α // β,m⊂α,‎n⊂β⇒m // n ‎③m // n,‎m // α⇒n // α ‎④α // β,m // n,‎m⊥α⇒n⊥β 其中正确命题的序号是‎(‎        ‎‎)‎ A.①③ B.②④ C.①④ D.②③‎ ‎5. 函数f(x)=sinx-‎3‎cosx(x∈[-π, 0])‎的单调递增区间是(        )‎ A.‎[-π, -‎5‎‎6‎π]‎ B.‎[-‎5‎‎6‎π, -π‎6‎]‎ C.‎[-π‎3‎, 0]‎ D.‎‎[-π‎6‎, 0]‎ ‎6. 设f(x)‎定义域为R,对任意的x都有f(x)=f(2-x)‎,且当x≥1‎时,f(x)=‎2‎x-1‎,则有( )‎ A.f(‎1‎‎3‎)0‎,对于任意实数x都有f(x)≥0‎,则f(1)‎f'(0)‎的最小值为( )‎ A.‎3‎ B.‎5‎‎2‎ C.‎2‎ D.‎‎3‎‎2‎ ‎10. 在平面直角坐标系xOy,已知平面区域A={(x, y)|x+y≤1, 且x≥0, y≥0}‎,则平面区域B={(x+y, x-y)|(x, y)∈A}‎的面积为( )‎ A.‎2‎ B.‎1‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎1‎‎4‎ 二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)‎ ‎11. 若cos(α+β)=‎‎1‎‎5‎,cos(α-β)=‎‎3‎‎5‎,则tanαtanβ=‎________.‎ ‎12. 山东省某中学,为了满足新课改的需要,要开设‎9‎门课程供学生选修,其中A、B、C三门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定,每位同学选修‎4‎门,共有________种不同的选修方案.(用数值作答)‎ ‎13. 已知函数f(x)=x‎3‎-12x+8‎在区间‎[-3, 3]‎上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m=‎________.‎ ‎14. 正三棱锥P-ABC高为‎2‎,侧棱与底面所成角为‎45‎‎∘‎,则点A到侧面PBC的距离是________.‎ ‎15. 在平面直角坐标系xOy中,已知‎△ABC顶点A(-4, 0)‎和C(4, 0)‎,顶点B在椭圆x‎2‎‎25‎‎+y‎2‎‎9‎=1‎上,则sinA+sinCsinB‎=‎________.‎ ‎16. 某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为‎5cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0‎时,点A与钟面上标‎12‎的点B重合,将A,B两点的距离d(cm)‎表示成t(s)‎的函数,则d=‎________,其中t∈[0, 60]‎.‎ ‎ 6 / 6‎ 三、解答题(共5小题,满分70分)‎ ‎17. 某气象站天气预报的准确率为‎80%‎,计算(结果保留到小数点后面第‎2‎位)‎ ‎(1)‎5‎次预报中恰有‎2‎次准确的概率;‎ ‎(2)‎5‎次预报中至少有‎2‎次准确的概率;‎ ‎(3)‎5‎次预报中恰有‎2‎次准确,且其中第‎3‎次预报准确的概率.‎ ‎18. 如图,已知ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎是棱长为‎3‎的正方体,点E在AA‎1‎上,点F在CC‎1‎上,且AE=FC‎1‎=1‎.‎ ‎(1)求证:E,B,F,D‎1‎四点共面;‎ ‎(2)若点G在BC上,BG=‎‎2‎‎3‎,点M在BB‎1‎上,GM⊥BF,垂足为H,求证:EM⊥‎面BCC‎1‎B‎1‎;‎ ‎(3)用θ表示截面EBFD‎1‎和面BCC‎1‎B‎1‎所成锐二面角大小,求tanθ.‎ ‎19. 如图,在平面直角坐标系xOy中,过y轴正方向上一点C(0, c)‎任作一直线,与抛物线y=x‎2‎相交于AB两点,一条垂直于x轴的直线,分别与线段AB和直线l:y=‎-c交于P,Q,‎ ‎(1)若OA‎→‎‎⋅OB‎→‎=2‎,求c的值;‎ ‎(2)若P为线段AB的中点,求证:QA为此抛物线的切线;‎ ‎(3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由.‎ ‎ 6 / 6‎ ‎20. 已知‎{an}‎是等差数列,‎{bn}‎是公比为q的等比数列,a‎1‎‎=‎b‎1‎,a‎2‎‎=b‎2‎≠‎a‎1‎,记Sn为数列‎{bn}‎的前n项和,‎ ‎(1)‎若bk‎=‎am(m,k是大于‎2‎的正整数),求证:Sk-1‎‎=(m-1)‎a‎1‎;‎ ‎(2)‎若b‎3‎‎=‎ai(i是某一正整数),求证:q是整数,且数列‎{bn}‎中每一项都是数列‎{an}‎中的项;‎ ‎(3)‎是否存在这样的正数q,使等比数列‎{bn}‎中有三项成等差数列?若存在,写出一个q的值,并加以说明;若不存在,请说明理由.‎ ‎21. 已知a,b,c,d是不全为零的实数,函数f(x)=bx‎2‎+cx+d,g(x)=ax‎3‎+bx‎2‎+cx+d.方程f(x)=0‎有实数根,且f(x)=0‎的实数根都是g(f(x))=0‎的根;反之,g(f(x))=0‎的实数根都是f(x)=0‎的根.‎ ‎(1)‎求d的值;‎ ‎(2)‎若a=0‎,求c的取值范围;‎ ‎(3)‎若a=1‎,f(1)=0‎,求c的取值范围.‎ ‎ 6 / 6‎ 参考答案与试题解析 ‎2007年江苏省高考数学试卷 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)‎ ‎1.D ‎2.A ‎3.A ‎4.C ‎5.D ‎6.B ‎7.B ‎8.A ‎9.C ‎10.B 二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)‎ ‎11.‎‎1‎‎2‎ ‎12.‎‎75‎ ‎13.‎‎32‎ ‎14.‎‎6‎‎5‎‎5‎ ‎15.‎‎5‎‎4‎ ‎16.‎‎10sinπt‎60‎ 三、解答题(共5小题,满分70分)‎ ‎17.解:(1)由题意知,本题是一个独立重复试验,事件发生的概率是‎0.8‎,‎ ‎5‎次预报中恰有‎2‎次准确的概率是 p=C‎5‎‎2‎(‎4‎‎5‎‎)‎‎2‎(1-‎4‎‎5‎‎)‎‎3‎=10×‎16‎‎25‎×‎1‎‎125‎≈0.05‎ ‎(2)由题意知,本题是一个独立重复试验,事件发生的概率是‎0.8‎,‎ ‎5‎次预报中至少有‎2‎次准确的对立事件是‎5‎次预报中只有‎1‎次准确和都不准确,‎ 根据对立事件的概率和独立重复试验的概率公式得到 P=1-C‎5‎‎1‎×‎4‎‎5‎(1-‎4‎‎5‎‎)‎‎4‎-(1-‎4‎‎5‎‎)‎‎5‎=1-0.0064-0.00032≈0.99‎ ‎(3)由题意知,本题是一个独立重复试验,事件发生的概率是‎0.8‎ ‎5‎次预报中恰有‎2‎次准确,且其中第‎3‎次预报准确,‎ 根据独立重复试验的概率公式得到 P=C‎4‎‎1‎×‎4‎‎5‎(1-‎4‎‎5‎‎)‎‎3‎×‎4‎‎5‎≈0.02‎ ‎18.解:(1)证明:在DD‎1‎上取一点N使得DN=1‎,‎ 连接CN,EN,显然四边形CFD‎1‎N是平行四边形,所以D‎1‎F // CN,‎ 同理四边形DNEA是平行四边形,所以EN // AD,且EN=AD,又 BC // AD‎,且AD=BC,所以EN // BC,EN=BC,所以四边形CNEB是平行四边形,所以 CN // BE‎,所以D‎1‎F // BE,所以E,B,F,D‎1‎四点共面;‎ ‎(2)因为GM⊥BF所以‎△BCF∽△MBG,‎ 所以MBBC‎=‎BGCF,即MB‎3‎‎=‎‎2‎‎3‎‎2‎,所以MB=1‎,因为AE=1‎,‎ 所以四边形ABME是矩形,所以EM⊥BB‎1‎又平面ABB‎1‎A‎1‎⊥‎平面BCC‎1‎B‎1‎ ‎,且EM在平面ABB‎1‎A‎1‎内,所以EM⊥‎面BCC‎1‎B‎1‎;‎ ‎(3)EM⊥‎面BCC‎1‎B‎1‎,所以EM⊥BF,EM⊥MH,GM⊥BF,‎ 所以‎∠MHE就是截面EBFD‎1‎和面BCC‎1‎B‎1‎所成锐二面角的平面角,‎ ‎∠EMH=‎‎90‎‎∘‎‎,所以tanθ=‎MEMH,ME=AB=3‎,‎△BCF∽△MHB,‎ 所以‎3:MH=BF:1‎,BF=‎2‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=‎‎13‎,‎ 所以MH=‎‎3‎‎13‎,所以tanθ=MEMH=‎‎13‎.‎ ‎19.设过C点的直线为y=kx+c,所以x‎2‎=kx+c(c>0)‎,即x‎2‎‎-kx-c=‎0‎,‎ ‎ 6 / 6‎ 设A(x‎1‎, y‎1‎)‎,B(x‎2‎, y‎2‎)‎,‎ OA‎→‎‎=(x‎1‎, y‎1‎)‎‎,OB‎→‎‎=(x‎2‎,y‎2‎)‎,‎ 因为OA‎→‎‎⋅OB‎→‎=2‎,所以x‎1‎x‎2‎‎+‎y‎1‎y‎2‎=‎2‎,即x‎1‎x‎2‎‎+(kx‎1‎+c)(kx‎2‎+c)‎=‎2‎,x‎1‎x‎2‎‎+k‎2‎x‎1‎x‎2‎-kc(x‎1‎+x‎2‎)+‎c‎2‎=‎‎2‎ 所以‎-c-k‎2‎c+kc⋅k+‎c‎2‎=‎2‎,即c‎2‎‎-c-2‎=‎0‎,‎ 所以c=‎2‎(舍去c=‎-1‎)‎ 设过A的切线为y-‎y‎1‎=k‎1‎‎(x-x‎1‎)‎,y'‎=‎2x,所以k‎1‎=‎2‎x‎1‎,即y=‎2x‎1‎x-2x‎1‎‎2‎+‎y‎1‎=‎2x‎1‎x-‎x‎1‎‎2‎,‎ 它与y=‎-c的交点为M(x‎1‎‎2‎-c‎2‎x‎1‎,-c)‎,‎ 又P(x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎,y‎1‎‎+‎y‎2‎‎2‎)=(k‎2‎,k‎2‎‎2‎+c)‎,‎ 所以Q(k‎2‎,-c)‎,‎ 因为x‎1‎x‎2‎=‎-c,所以‎-cx‎1‎=‎x‎2‎,‎ 所以M(x‎1‎‎2‎+x‎2‎‎2‎,-c)=(k‎2‎,-c)‎,‎ 所以点M和点Q重合,也就是QA为此抛物线的切线.‎ ‎(2)的逆命题是成立,由(2)可知Q(k‎2‎,-c)‎,‎ 因为PQ⊥x轴,所以P(k‎2‎,yP)‎ 因为x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎‎=‎k‎2‎,所以P为AB的中点.‎ ‎20.解:设‎{an}‎的公差为d,由a‎1‎‎=‎b‎1‎,a‎2‎‎=b‎2‎≠‎a‎1‎,知d≠0‎,q≠1‎,‎d=a‎1‎(q-1)(a‎1‎≠0)‎ ‎(1)‎因为bk‎=‎am,所以a‎1‎qk-1‎‎=a‎1‎+(m-1)a‎1‎(q-1)‎,qk-1‎‎=1+(m-1)(q-1)=2-m+(m-1)q,‎ 所以Sk-1‎‎=a‎1‎‎(1-qk-1‎)‎‎1-q=a‎1‎‎(m-1-(m-1)q)‎q=(m-1)‎a‎1‎ ‎(2)b‎3‎=‎a‎1‎q‎2‎‎,ai‎=a‎1‎+(i-1)a‎1‎(q-1)‎,由b‎3‎‎=‎ai,‎ 所以q‎2‎‎=1+(i-1)(q-1)‎,q‎2‎‎-(i-1)q+(i-2)=0‎,解得,q=1‎或q=i-2‎,但q≠1‎,所以q=i-2‎,因为i是正整数,所以i-2‎是整数,即q是整数,设数列‎{bn}‎中任意一项为bn‎=a‎1‎qn-1‎(n∈N‎+‎)‎,设数列‎{an}‎中的某一项am‎(m∈N‎+‎)=a‎1‎+(m-1)a‎1‎(q-1)‎ 现在只要证明存在正整数m,使得bn‎=‎am,即在方程a‎1‎qn-1‎‎=a‎1‎+(m-1)a‎1‎(q-1)‎中m有正整数解即可,m-1=qn-1‎‎-1‎q-1‎=1+q+q‎2‎+...+‎qn-2‎,所以m=2+q+q‎2‎+‎qn-2‎,若i=1‎,则q=-1‎,那么b‎2n-1‎‎=b‎1‎=‎a‎1‎,b‎2n‎=b‎2‎=‎a‎2‎,当i≥3‎时,因为a‎1‎‎=‎b‎1‎,a‎2‎‎=‎b‎2‎,只要考虑n≥3‎的情况,因为b‎3‎‎=‎ai,所以i≥3‎,因此q是正整数,所以m是正整数,因此数列‎{bn}‎中任意一项为bn‎=a‎1‎qn-1‎(n∈N‎+‎)‎与数列‎{an}‎的第‎2+q+q‎2‎+‎qn-2‎项相等,从而结论成立.‎ ‎(3)‎设数列‎{bn}‎中有三项bm,bn,bp‎(m0‎,符合题意.‎ 当‎(-c‎)‎‎2‎-4c≥0‎,即c<0‎或c≥4‎时,由方程④得f(x)=-cx‎2‎+cx=‎c±‎c‎2‎‎-4c‎2‎,‎ 即cx‎2‎-cx+c±‎c‎2‎‎-4c‎2‎=0‎,⑤‎ 则方程⑤应无实数根,‎ 所以有‎(-c‎)‎‎2‎-4c⋅c+‎c‎2‎‎-4c‎2‎<0‎且‎(-c‎)‎‎2‎-4c⋅c-‎c‎2‎‎-4c‎2‎<0‎.‎ 当c<0‎时,只需‎-c‎2‎-2cc‎2‎‎-4c<0‎,解得‎0