2007年江苏省高考数学试卷【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 6页

‎2007年江苏省高考数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1. 下列函数中，周期为π‎2‎的是（ ）‎ A.y=sinx‎2‎ B.y=sin2x C.y=cosx‎4‎ D.‎y=cos4x ‎2. 已知全集U=Z，A={-1, 0, 1, 2}‎，B={x|x‎2‎=x}‎，则A∩‎∁‎UB为(     )‎ A.‎{-1, 2}‎ B.‎{-1, 0}‎ C.‎{0, 1}‎ D.‎‎{1, 2}‎ ‎3. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x-2y=0‎，则它的离心率为(        )‎ A.‎5‎ B.‎5‎‎2‎ C.‎3‎ D.‎‎2‎ ‎4. 已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：‎ ‎①m // n，‎m⊥α⇒n⊥α ‎②α // β，m⊂α，‎n⊂β⇒m // n ‎③m // n，‎m // α⇒n // α ‎④α // β，m // n，‎m⊥α⇒n⊥β 其中正确命题的序号是‎(‎        ‎‎)‎ A.①③ B.②④ C.①④ D.②③‎ ‎5. 函数f(x)=sinx-‎3‎cosx(x∈[-π, 0])‎的单调递增区间是(        )‎ A.‎[-π, -‎5‎‎6‎π]‎ B.‎[-‎5‎‎6‎π, -π‎6‎]‎ C.‎[-π‎3‎, 0]‎ D.‎‎[-π‎6‎, 0]‎ ‎6. 设f(x)‎定义域为R，对任意的x都有f(x)=f(2-x)‎，且当x≥1‎时，f(x)=‎2‎x-1‎，则有（ ）‎ A.f(‎1‎‎3‎)0‎，对于任意实数x都有f(x)≥0‎，则f(1)‎f'(0)‎的最小值为（ ）‎ A.‎3‎ B.‎5‎‎2‎ C.‎2‎ D.‎‎3‎‎2‎ ‎10. 在平面直角坐标系xOy，已知平面区域A={(x, y)|x+y≤1, 且x≥0, y≥0}‎，则平面区域B={(x+y, x-y)|(x, y)∈A}‎的面积为（ ）‎ A.‎2‎ B.‎1‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎1‎‎4‎ 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）‎ ‎11. 若cos(α+β)=‎‎1‎‎5‎，cos(α-β)=‎‎3‎‎5‎，则tanαtanβ=‎________．‎ ‎12. 山东省某中学，为了满足新课改的需要，要开设‎9‎门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修‎4‎门，共有________种不同的选修方案．（用数值作答）‎ ‎13. 已知函数f(x)=x‎3‎-12x+8‎在区间‎[-3, 3]‎上的最大值与最小值分别为M，m，则M-m=‎________．‎ ‎14. 正三棱锥P-ABC高为‎2‎，侧棱与底面所成角为‎45‎‎∘‎，则点A到侧面PBC的距离是________．‎ ‎15. 在平面直角坐标系xOy中，已知‎△ABC顶点A(-4, 0)‎和C(4, 0)‎，顶点B在椭圆x‎2‎‎25‎‎+y‎2‎‎9‎=1‎上，则sinA+sinCsinB‎=‎________．‎ ‎16. 某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为‎5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0‎时，点A与钟面上标‎12‎的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)‎表示成t(s)‎的函数，则d=‎________，其中t∈[0, 60]‎．‎ ‎ 6 / 6‎ 三、解答题（共5小题，满分70分）‎ ‎17. 某气象站天气预报的准确率为‎80%‎，计算（结果保留到小数点后面第‎2‎位）‎ ‎（1）‎5‎次预报中恰有‎2‎次准确的概率；‎ ‎（2）‎5‎次预报中至少有‎2‎次准确的概率；‎ ‎（3）‎5‎次预报中恰有‎2‎次准确，且其中第‎3‎次预报准确的概率．‎ ‎18. 如图，已知ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎是棱长为‎3‎的正方体，点E在AA‎1‎上，点F在CC‎1‎上，且AE=FC‎1‎=1‎．‎ ‎（1）求证：E，B，F，D‎1‎四点共面；‎ ‎（2）若点G在BC上，BG=‎‎2‎‎3‎，点M在BB‎1‎上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥‎面BCC‎1‎B‎1‎；‎ ‎（3）用θ表示截面EBFD‎1‎和面BCC‎1‎B‎1‎所成锐二面角大小，求tanθ．‎ ‎19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C(0, c)‎任作一直线，与抛物线y＝x‎2‎相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l:y＝‎-c交于P，Q，‎ ‎（1）若OA‎→‎‎⋅OB‎→‎=2‎，求c的值；‎ ‎（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；‎ ‎（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．‎ ‎ 6 / 6‎ ‎20. 已知‎{an}‎是等差数列，‎{bn}‎是公比为q的等比数列，a‎1‎‎=‎b‎1‎，a‎2‎‎=b‎2‎≠‎a‎1‎，记Sn为数列‎{bn}‎的前n项和，‎ ‎(1)‎若bk‎=‎am（m，k是大于‎2‎的正整数），求证：Sk-1‎‎=(m-1)‎a‎1‎；‎ ‎(2)‎若b‎3‎‎=‎ai（i是某一正整数），求证：q是整数，且数列‎{bn}‎中每一项都是数列‎{an}‎中的项；‎ ‎(3)‎是否存在这样的正数q，使等比数列‎{bn}‎中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由．‎ ‎21. 已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f(x)=bx‎2‎+cx+d，g(x)=ax‎3‎+bx‎2‎+cx+d．方程f(x)=0‎有实数根，且f(x)=0‎的实数根都是g(f(x))=0‎的根；反之，g(f(x))=0‎的实数根都是f(x)=0‎的根．‎ ‎(1)‎求d的值；‎ ‎(2)‎若a=0‎，求c的取值范围；‎ ‎(3)‎若a=1‎，f(1)=0‎，求c的取值范围．‎ ‎ 6 / 6‎ 参考答案与试题解析 ‎2007年江苏省高考数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1.D ‎2.A ‎3.A ‎4.C ‎5.D ‎6.B ‎7.B ‎8.A ‎9.C ‎10.B 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）‎ ‎11.‎‎1‎‎2‎ ‎12.‎‎75‎ ‎13.‎‎32‎ ‎14.‎‎6‎‎5‎‎5‎ ‎15.‎‎5‎‎4‎ ‎16.‎‎10sinπt‎60‎ 三、解答题（共5小题，满分70分）‎ ‎17.解：（1）由题意知，本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是‎0.8‎，‎ ‎5‎次预报中恰有‎2‎次准确的概率是 p=C‎5‎‎2‎(‎4‎‎5‎‎)‎‎2‎(1-‎4‎‎5‎‎)‎‎3‎=10×‎16‎‎25‎×‎1‎‎125‎≈0.05‎ ‎（2）由题意知，本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是‎0.8‎，‎ ‎5‎次预报中至少有‎2‎次准确的对立事件是‎5‎次预报中只有‎1‎次准确和都不准确，‎ 根据对立事件的概率和独立重复试验的概率公式得到 P=1-C‎5‎‎1‎×‎4‎‎5‎(1-‎4‎‎5‎‎)‎‎4‎-(1-‎4‎‎5‎‎)‎‎5‎=1-0.0064-0.00032≈0.99‎ ‎（3）由题意知，本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是‎0.8‎ ‎5‎次预报中恰有‎2‎次准确，且其中第‎3‎次预报准确，‎ 根据独立重复试验的概率公式得到 P=C‎4‎‎1‎×‎4‎‎5‎(1-‎4‎‎5‎‎)‎‎3‎×‎4‎‎5‎≈0.02‎ ‎18.解：（1）证明：在DD‎1‎上取一点N使得DN=1‎，‎ 连接CN，EN，显然四边形CFD‎1‎N是平行四边形，所以D‎1‎F // CN，‎ 同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN // AD，且EN=AD，又 BC // AD‎，且AD=BC，所以EN // BC，EN=BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以 CN // BE‎，所以D‎1‎F // BE，所以E，B，F，D‎1‎四点共面；‎ ‎（2）因为GM⊥BF所以‎△BCF∽△MBG，‎ 所以MBBC‎=‎BGCF，即MB‎3‎‎=‎‎2‎‎3‎‎2‎，所以MB=1‎，因为AE=1‎，‎ 所以四边形ABME是矩形，所以EM⊥BB‎1‎又平面ABB‎1‎A‎1‎⊥‎平面BCC‎1‎B‎1‎ ‎，且EM在平面ABB‎1‎A‎1‎内，所以EM⊥‎面BCC‎1‎B‎1‎；‎ ‎（3）EM⊥‎面BCC‎1‎B‎1‎，所以EM⊥BF，EM⊥MH，GM⊥BF，‎ 所以‎∠MHE就是截面EBFD‎1‎和面BCC‎1‎B‎1‎所成锐二面角的平面角，‎ ‎∠EMH=‎‎90‎‎∘‎‎，所以tanθ=‎MEMH，ME=AB=3‎，‎△BCF∽△MHB，‎ 所以‎3:MH=BF:1‎，BF=‎2‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=‎‎13‎，‎ 所以MH=‎‎3‎‎13‎，所以tanθ=MEMH=‎‎13‎．‎ ‎19.设过C点的直线为y＝kx+c，所以x‎2‎＝kx+c(c>0)‎，即x‎2‎‎-kx-c＝‎0‎，‎ ‎ 6 / 6‎ 设A(x‎1‎, y‎1‎)‎，B(x‎2‎, y‎2‎)‎，‎ OA‎→‎‎=(x‎1‎, y‎1‎)‎‎，OB‎→‎‎=(x‎2‎,y‎2‎)‎，‎ 因为OA‎→‎‎⋅OB‎→‎=2‎，所以x‎1‎x‎2‎‎+‎y‎1‎y‎2‎＝‎2‎，即x‎1‎x‎2‎‎+(kx‎1‎+c)(kx‎2‎+c)‎＝‎2‎，x‎1‎x‎2‎‎+k‎2‎x‎1‎x‎2‎-kc(x‎1‎+x‎2‎)+‎c‎2‎＝‎‎2‎ 所以‎-c-k‎2‎c+kc⋅k+‎c‎2‎＝‎2‎，即c‎2‎‎-c-2‎＝‎0‎，‎ 所以c＝‎2‎（舍去c＝‎-1‎）‎ 设过A的切线为y-‎y‎1‎＝k‎1‎‎(x-x‎1‎)‎，y'‎＝‎2x，所以k‎1‎＝‎2‎x‎1‎，即y＝‎2x‎1‎x-2x‎1‎‎2‎+‎y‎1‎＝‎2x‎1‎x-‎x‎1‎‎2‎，‎ 它与y＝‎-c的交点为M(x‎1‎‎2‎-c‎2‎x‎1‎,-c)‎，‎ 又P(x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎,y‎1‎‎+‎y‎2‎‎2‎)=(k‎2‎,k‎2‎‎2‎+c)‎，‎ 所以Q(k‎2‎,-c)‎，‎ 因为x‎1‎x‎2‎＝‎-c，所以‎-cx‎1‎=‎x‎2‎，‎ 所以M(x‎1‎‎2‎+x‎2‎‎2‎,-c)=(k‎2‎,-c)‎，‎ 所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线．‎ ‎（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q(k‎2‎,-c)‎，‎ 因为PQ⊥x轴，所以P(k‎2‎,yP)‎ 因为x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎‎=‎k‎2‎，所以P为AB的中点．‎ ‎20.解：设‎{an}‎的公差为d，由a‎1‎‎=‎b‎1‎，a‎2‎‎=b‎2‎≠‎a‎1‎，知d≠0‎，q≠1‎，‎d=a‎1‎(q-1)(a‎1‎≠0)‎ ‎(1)‎因为bk‎=‎am，所以a‎1‎qk-1‎‎=a‎1‎+(m-1)a‎1‎(q-1)‎，qk-1‎‎=1+(m-1)(q-1)=2-m+(m-1)q，‎ 所以Sk-1‎‎=a‎1‎‎(1-qk-1‎)‎‎1-q=a‎1‎‎(m-1-(m-1)q)‎q=(m-1)‎a‎1‎ ‎(2)b‎3‎=‎a‎1‎q‎2‎‎，ai‎=a‎1‎+(i-1)a‎1‎(q-1)‎，由b‎3‎‎=‎ai，‎ 所以q‎2‎‎=1+(i-1)(q-1)‎，q‎2‎‎-(i-1)q+(i-2)=0‎，解得，q=1‎或q=i-2‎，但q≠1‎，所以q=i-2‎，因为i是正整数，所以i-2‎是整数，即q是整数，设数列‎{bn}‎中任意一项为bn‎=a‎1‎qn-1‎(n∈N‎+‎)‎，设数列‎{an}‎中的某一项am‎(m∈N‎+‎)=a‎1‎+(m-1)a‎1‎(q-1)‎ 现在只要证明存在正整数m，使得bn‎=‎am，即在方程a‎1‎qn-1‎‎=a‎1‎+(m-1)a‎1‎(q-1)‎中m有正整数解即可，m-1=qn-1‎‎-1‎q-1‎=1+q+q‎2‎+...+‎qn-2‎，所以m=2+q+q‎2‎+‎qn-2‎，若i=1‎，则q=-1‎，那么b‎2n-1‎‎=b‎1‎=‎a‎1‎，b‎2n‎=b‎2‎=‎a‎2‎，当i≥3‎时，因为a‎1‎‎=‎b‎1‎，a‎2‎‎=‎b‎2‎，只要考虑n≥3‎的情况，因为b‎3‎‎=‎ai，所以i≥3‎，因此q是正整数，所以m是正整数，因此数列‎{bn}‎中任意一项为bn‎=a‎1‎qn-1‎(n∈N‎+‎)‎与数列‎{an}‎的第‎2+q+q‎2‎+‎qn-2‎项相等，从而结论成立．‎ ‎(3)‎设数列‎{bn}‎中有三项bm，bn，bp‎(m0‎，符合题意．‎ 当‎(-c‎)‎‎2‎-4c≥0‎，即c<0‎或c≥4‎时，由方程④得f(x)=-cx‎2‎+cx=‎c±‎c‎2‎‎-4c‎2‎，‎ 即cx‎2‎-cx+c±‎c‎2‎‎-4c‎2‎=0‎，⑤‎ 则方程⑤应无实数根，‎ 所以有‎(-c‎)‎‎2‎-4c⋅c+‎c‎2‎‎-4c‎2‎<0‎且‎(-c‎)‎‎2‎-4c⋅c-‎c‎2‎‎-4c‎2‎<0‎．‎ 当c<0‎时，只需‎-c‎2‎-2cc‎2‎‎-4c<0‎，解得‎0