2013年天津市高考数学试卷（文科） 22页

‎2013年天津市高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共8小题,每小题5分,共40分.‎ ‎1．（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（　　）‎ A．（﹣∞，2] B．[1，2] C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]‎ ‎2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（　　）‎ A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2‎ ‎3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（　　）‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ ‎4．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（　　）‎ A． B．1 C．2 D．‎ ‎6．（5分）函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0，]上的最小值是（　　）‎ A．﹣1 B．﹣ C． D．0‎ ‎7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（a）≤2f（1），则a的取值范围是（　　）‎ A． B．[1，2] C． D．（0，2]‎ ‎8．（5分）设函数f（x）=ex+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（　　）‎ A．g（a）＜0＜f（b） B．f（b）＜0＜g（a） C．0＜g（a）＜f（b） D．f（b）＜g（a）＜0‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9．（5分）i是虚数单位．复数（3+i）（1﹣2i）=　　．‎ ‎10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为　　．‎ ‎11．（5分）已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为　　．‎ ‎12．（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为　　．‎ ‎13．（5分）如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为　　．‎ ‎14．（5分）设a+b=2，b＞0，则的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15．（13分）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如表：‎ 产品编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ 质量指标（x，y，z）‎ ‎（1，1，2）‎ ‎（2，1，1）‎ ‎（2，2，2）‎ ‎（1，1，1）‎ ‎（1，2，1）‎ 产品编号 A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ 质量指标（x，y，z）‎ ‎（1，2，2）‎ ‎（2，1，1）‎ ‎（2，2，1）‎ ‎（1，1，1）‎ ‎（2，1，2）‎ ‎（Ⅰ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；‎ ‎（Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，‎ ‎（i）用产品编号列出所有可能的结果；‎ ‎（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．‎ ‎16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsin A=3csin B，a=3，cos B=．‎ ‎（1）求b的值； ‎ ‎（2）求sin（2B﹣）的值．‎ ‎17．（13分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：EF∥平面A1CD；‎ ‎（Ⅱ）证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；‎ ‎（Ⅲ）求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．‎ ‎18．（13分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．‎ ‎19．（14分）已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．‎ ‎（Ⅰ） 求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ） 证明．‎ ‎20．（14分）设a∈[﹣2，0]，已知函数 ‎（Ⅰ） 证明f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；‎ ‎（Ⅱ） 设曲线y=f（x）在点Pi（xi，f（xi））（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x1x2x3≠0，证明．‎ ‎　‎ ‎2013年天津市高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共8小题,每小题5分,共40分.‎ ‎1．（5分）（2013•天津）已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（　　）‎ A．（﹣∞，2] B．[1，2] C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]‎ ‎【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．‎ ‎【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}‎ ‎∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2013•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（　　）‎ A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2‎ ‎【分析】先根据条件画出可行域，设z=y﹣2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最小，只需求出直线z=y﹣2x，过可行域内的点B（5，3）时的最小值，从而得到z最小值即可．‎ ‎【解答】解：设变量x、y满足约束条件 ，‎ 在坐标系中画出可行域三角形，‎ 平移直线y﹣2x=0经过点A（5，3）时，y﹣2x最小，最小值为：﹣7，‎ 则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2013•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（　　）‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ ‎【分析】利用循环结构可知道需要循环4次方可得到S←2，因此输出的n←4．‎ ‎【解答】解：由程序框图可知：S=2=0+（﹣1）1×1+（﹣1）2×2+（﹣1）3×3+（﹣1）4×4，‎ 因此当n=4时，S←2，满足判断框的条件，故跳出循环程序．‎ 故输出的n的值为4．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2013•天津）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】通过举反例可得“a＜b”不能推出“（a﹣b）a2＜0”，由“（a﹣b）a2＜0”能推出“a＜b”，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：由“a＜b”如果a=0，则（a﹣b）a2=0，不能推出“（a﹣b）a2＜0”，故必要性不成立．‎ 由“（a﹣b）a2＜02”可得a2＞0，所以a＜b，故充分性成立．‎ 综上可得“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分也不必要条件，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2013•天津）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（　　）‎ A． B．1 C．2 D．‎ ‎【分析】由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1=0的斜率，然后求出a的值即可．‎ ‎【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，‎ 又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，‎ 所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，‎ 所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2013•天津）函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0，]上的最小值是（　　）‎ A．﹣1 B．﹣ C． D．0‎ ‎【分析】由题意，可先求出2x取值范围，再由正弦函数的性质即可求出所求的最小值．‎ ‎【解答】解：由题意x∈，得2x∈[﹣，]，‎ ‎∴∈[，1]‎ ‎∴函数在区间的最小值为．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2013•天津）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（a）≤2f（1），则a的取值范围是（　　）‎ A． B．[1，2] C． D．（0，2]‎ ‎【分析】由偶函数的性质将f（log2a）+f（a）≤2f（1）化为：f（log2a）≤f（1），再由f（x）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，‎ 所以f（a）=f（﹣log2a）=f（log2a），‎ 则f（log2a）+f（a）≤2f（1）为：f（log2a）≤f（1），‎ 因为函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，‎ 所以|log2a|≤1，解得≤a≤2，‎ 则a的取值范围是[，2]，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2013•天津）设函数f（x）=ex+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（　　）‎ A．g（a）＜0＜f（b） B．f（b）＜0＜g（a） C．0＜g（a）＜f（b） D．f（b）＜g（a）＜0‎ ‎【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：①由于y=ex及y=x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=ex+x﹣2在R上单调递增，‎ 分别作出y=ex，y=2﹣x的图象，∵f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，f（a）=0，∴0＜a＜1．‎ 同理g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=，g（b）=0，∴．‎ ‎∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，‎ f（b）=eb+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0．‎ ‎∴g（a）＜0＜f（b）．‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9．（5分）（2013•天津）i是虚数单位．复数（3+i）（1﹣2i）=　5﹣5i　．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则即可得出．‎ ‎【解答】解：（3+i）（1﹣2i）=3﹣6i+i﹣2i2=5﹣5i．‎ 故答案为5﹣5i．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2013•天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为　　．‎ ‎【分析】设出正方体棱长，利用正方体的体对角线就是外接球的直径，通过球的体积求出正方体的棱长．‎ ‎【解答】解：因为正方体的体对角线就是外接球的直径，‎ 设正方体的棱长为a，所以正方体的体对角线长为：a，正方体的外接球的半径为：，‎ 球的体积为：，‎ 解得a=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2013•天津）已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为　　．‎ ‎【分析】利用抛物线的标准方程y2=8x，可得，故其准线方程为x=﹣2．由题意可得双曲线的一个焦点为（﹣2，0），即可得到c=2．再利用双曲线的离心率的计算公式可得=2，得到a=1，再利用b2=c2﹣a2可得b2．进而得到双曲线的方程．‎ ‎【解答】解：由抛物线y2=8x，可得，故其准线方程为x=﹣2．‎ 由题意可得双曲线的一个焦点为（﹣2，0），∴c=2．‎ 又双曲线的离心率为2，∴=2，得到a=1，∴b2=c2﹣a2=3．‎ ‎∴双曲线的方程为．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2013•天津）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为　　．‎ ‎【分析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算即可得出．‎ ‎【解答】解：∵，．‎ ‎∴==‎ ‎=+﹣==1，‎ 化为，‎ ‎∵，∴．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2013•天津）如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为　　．‎ ‎【分析】连结圆心O与A，说明OA⊥AE，利用切割线定理求出AE，通过余弦定理求出∠BAE的余弦值，然后求解BD即可．‎ ‎【解答】解：如图连结圆心O与A，因为过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．所以OA⊥AE，‎ 因为AB=AD=5，BE=4，‎ 梯形ABCD中，AB∥DC，BC=5，‎ 由切割线定理可知：AE2=EB•EC，所以AE==6，‎ 在△ABE中，BE2=AE2+AB2﹣2AB•AEcosα，即16=25+36﹣60cosα，‎ 所以cosα=，AB=AD=5，‎ 所以BD=2×ABcosα=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2013•天津）设a+b=2，b＞0，则的最小值为　　．‎ ‎【分析】由题意得代入所求的式子，进行化简后，再对部分式子利用基本不等式求出范围，再由a的范围求出式子的最小值．‎ ‎【解答】解：∵a+b=2，∴，‎ ‎∴=，‎ ‎∵b＞0，|a|＞0，∴≥1（当且仅当b2=4a2时取等号），‎ ‎∴≥1，‎ 故当a＜0时，的最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15．（13分）（2013•天津）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如表：‎ 产品编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ 质量指标（x，y，z）‎ ‎（1，1，2）‎ ‎（2，1，1）‎ ‎（2，2，2）‎ ‎（1，1，1）‎ ‎（1，2，1）‎ 产品编号 A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ 质量指标（x，y，z）‎ ‎（1，2，2）‎ ‎（2，1，1）‎ ‎（2，2，1）‎ ‎（1，1，1）‎ ‎（2，1，2）‎ ‎（Ⅰ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；‎ ‎（Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，‎ ‎（i）用产品编号列出所有可能的结果；‎ ‎（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）用综合指标S=x+y+z计算出10件产品的综合指标并列表表示，则样本的一等品率可求；‎ ‎（Ⅱ）（i）直接用列举法列出在该样品的一等品中，随机抽取2件产品的所有等可能结果；‎ ‎（ii）列出在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4的所有情况，然后利用古典概型概率计算公式求解．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）计算10件产品的综合指标S，如下表：‎ 产品编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ S ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎5‎ 其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9共6件，故样本的一等品率为．‎ 从而可估计该批产品的一等品率为0.6；‎ ‎（Ⅱ）（i）在该样本的一等品种，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，‎ ‎{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，‎ ‎{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}共15种．‎ ‎（ii）在该样本的一等品种，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7．‎ 则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．‎ 所以p（B）=．‎ ‎　‎ ‎16．（13分）（2013•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsin A=3csin B，a=3，cos B=．‎ ‎（1）求b的值； ‎ ‎（2）求sin（2B﹣）的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ） 直接利用正弦定理推出bsinA=asinB，结合已知条件求出c，利用余弦定理直接求b的值；‎ ‎（Ⅱ） 利用（Ⅰ）求出B的正弦函数值，然后利用二倍角公式求得正弦、余弦函数值，利用两角差的正弦函数直接求解的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，有正弦定理，可得bsinA=asinB，‎ 又bsinA=3csinB，可得a=3c，又a=3，所以c=1．‎ 由余弦定理可知：b2=a2+c2﹣2accosB，，‎ 即b2=32+12﹣2×3×cosB，‎ 可得b=．‎ ‎（Ⅱ）由，可得sinB=，‎ 所以cos2B=2cos2B﹣1=﹣，‎ sin2B=2sinBcosB=，‎ 所以===．‎ ‎　‎ ‎17．（13分）（2013•天津）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：EF∥平面A1CD；‎ ‎（Ⅱ）证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；‎ ‎（Ⅲ）求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．‎ ‎【分析】（I）连接ED，要证明EF∥平面平面A1CD，只需证明EF∥DA1即可；‎ ‎（II）欲证平面平面A1CD⊥平面A1ABB1，即证平面内一直线与另一平面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理证得CD⊥面A1ABB1，再根据面面垂直的判定定理得证；‎ ‎（III）先过B作BG⊥AD交A1D于G，利用（II）中结论得出BG⊥面A1CD，从而∠BCG为所求的角，最后在直角△BGC中，求出sin∠BCG即可得出直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．‎ ‎【解答】证明：（I）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC∥A1C1，AC=A1C1，连接ED，‎ 可得DE∥AC，DE=AC，又F为棱A1C1的中点．∴A1F=DE，A1F∥DE，‎ 所以A1DEF是平行四边形，所以EF∥DA1，‎ DA1⊂平面A1CD，EF⊄平面A1CD，∴EF∥平面A1CD ‎（II）∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，‎ 又AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，‎ ‎∴AA1⊥CD，又AA1∩AB=A，‎ ‎∴CD⊥面A1ABB1，又CD⊂面A1CD，‎ ‎∴平面A1CD⊥平面A1ABB1；‎ ‎（III）过B作BG⊥A1D交A1D于G，‎ ‎∵平面A1CD⊥平面A1ABB1，且平面A1CD∩平面A1ABB1=A1D，‎ BG⊥A1D，‎ ‎∴BG⊥面A1CD，‎ 则∠BCG为所求的角，‎ 设棱长为a，可得A1D=，由△A1AD∽△BGD，得BG=，‎ 在直角△BGC中，sin∠BCG==，‎ ‎∴直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．‎ ‎　‎ ‎18．（13分）（2013•天津）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于，再由离心率为，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程．‎ ‎（Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，再由韦达定理进行求解．求得，利用=8，即可求得k的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据椭圆方程为．‎ ‎∵过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为，‎ ‎∴当x=﹣c时，，得y=±，‎ ‎∴=，‎ ‎∵离心率为，∴=，‎ 解得b=，c=1，a=．‎ ‎∴椭圆的方程为；‎ ‎（Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），‎ 设C（x1，y1），D（x2，y2），‎ 由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，‎ ‎∴x1+x2=﹣，x1x2=，又A（﹣，0），B（，0），‎ ‎∴‎ ‎=（x1+，y1）•（﹣x2．﹣y2）+（x2+，y2）•（﹣x1．﹣y1），‎ ‎=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2，‎ ‎=6+=8，解得k=．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）（2013•天津）已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．‎ ‎（Ⅰ） 求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ） 证明．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意得2S3=﹣2S2+4S4，变形为S4﹣S3=S2﹣S4，进而求出公比q的值，代入通项公式进行化简；‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出，代入再对n分类进行化简，判断出Sn随n的变化情况，再分别求出最大值，再求出的最大值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{an}的公比为q，‎ ‎∵﹣2S2，S3，4S4等差数列，‎ ‎∴2S3=﹣2S2+4S4，即S4﹣S3=S2﹣S4，‎ 得2a4=﹣a3，∴q=，‎ ‎∵，∴=；‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，Sn==1﹣，‎ ‎∴，‎ 当n为奇数时，==，‎ 当n为偶数时，=，‎ ‎∴随着n的增大而减小，‎ 即，且，‎ 综上，有成立．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）（2013•天津）设a∈[﹣2，0]，已知函数 ‎（Ⅰ） 证明f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；‎ ‎（Ⅱ） 设曲线y=f（x）在点Pi（xi，f（xi））（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x1x2x3≠0，证明．‎ ‎【分析】（Ⅰ）令，．分别求导即可得到其单调性；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f′（x）在区间（﹣∞，0）内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增．‎ 已知曲线y=f（x）在点Pi（xi，f（xi））（i=1，2，3）处的切线相互平行，可知x1，x2，x3互不相等，利用导数的几何意义可得．‎ 不妨x1＜0＜x2＜x3，根据以上等式可得，从而．设g（x）=3x2﹣（a+3）x+a，利用二次函数的单调性可得．‎ 由，解得，于是可得 ‎，通过换元设t=，已知a∈[﹣2，0]，可得，‎ 故，即可证明．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）令，．‎ ‎①，由于a∈[﹣2，0]，从而当﹣1＜x＜0时，，‎ 所以函数f1（x）在区间（﹣1，0）内单调递减，‎ ‎②=（3x﹣a）（x﹣1），由于a∈[﹣2，0]，所以0＜x＜1时，；‎ 当x＞1时，，即函数f2（x）在区间（0，1）内单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．‎ 综合①②及f1（0）=f2（0），可知：f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知：f′（x）在区间（﹣∞，0）内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增．‎ 因为曲线y=f（x）在点Pi（xi，f（xi））（i=1，2，3）处的切线相互平行，从而x1，x2，x3互不相等，且．‎ 不妨x1＜0＜x2＜x3，由+a=．‎ 可得，解得，从而．‎ 设g（x）=3x2﹣（a+3）x+a，则．‎ 由，解得，‎ 所以，‎ 设t=，则，‎ ‎∵a∈[﹣2，0]，∴，‎ 故，‎ 故．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：minqi5；沂蒙松；qiss；gongjy；sxs123（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日