2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册教案：第11章 11 9页

www.ks5u.com ‎11.1.3　‎多面体与棱柱 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.了解多面体的定义及其分类．(重点)‎ ‎2．理解棱柱的定义和结构特征．(重点)‎ ‎3．了解多面体表面积的概念，知道棱柱表面积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．(难点)‎ ‎1.通过多面体的定义与分类学习，培养数学抽象的核心素养．‎ ‎2．借助棱柱结构特征的学习，培养直观想象的数学核心素养.‎ ‎　‎ 日常生活中的很多物体(如各式各样的包装盒)都可以抽象成多面体．‎ 思考：(1)你能总结出一个几何体是多面体的充要条件吗？‎ ‎(2)你能对常见几何体进行合理分类吗？‎ ‎1．多面体 ‎(1)定义 由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体．‎ ‎(2)相关概念(如图所示)‎ ‎①多面体的面、棱与顶点 围成多面体的各个多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点．‎ ‎②多面体的面对角线与体对角线 一个多面体中，连接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称其为多面体的面对角线；连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的体对角线．如上图所示的多面体中，AC是一条面对角线，而BD′是一条体对角线．‎ ‎③多面体的截面与表面积 一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)，称为这个几何体的一个截面，如上图中多面体的一个截面ACE.‎ 多面体所有面的面积之和称为多面体的表面积(或全面积)．‎ ‎(3)凸多面体 把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则称这样的多面体为凸多面体．‎ 思考1：长方体、正方体是多面体吗？‎ ‎[提示]　是．长方体是由6个矩形围成的，正方体是由6个正方形围成的，均满足多面体的定义．‎ 思考2：最简单的多面体由几个面所围成？‎ ‎[提示]　4个．‎ ‎(4)正多面体 各个面都是全等的正多边形且过各顶点的棱数都相等的多面体一般称为正多面体．‎ ‎[拓展]‎ 已知正多面体顶点数V、面数F、棱数E之间满足关系 V＋F－E＝2.‎ ‎2．棱柱 ‎(1)定义 如果一个多面体有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱．‎ ‎(2)图示及相关概念 棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的底面(底面水平放置时，分别称为上底面、下底面)，其他各面称为棱柱的侧面，两个侧面的公共边称为棱柱的侧棱．‎ ‎(3)棱柱的表示 棱柱可以用底面上的顶点来表示，也可用表示它的体对角线来表示，如上图所示的棱柱可表示为棱柱ABCDEFA′B′C′D′E′F′，此棱柱也可表示为棱柱AD′.‎ ‎(4)棱柱的高与侧面积 过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的高，棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积．‎ ‎(5)棱柱的分类 特别地，底面是正多边形的棱柱称为正棱柱．‎ ‎(6)平行六面体与直平行六面体 底面是平行四边形的棱柱也称为平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形． (　　)‎ ‎(2)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形． (　　)‎ ‎(3)多面体的表面积等于各个面的面积之和． (　　)‎ ‎(4)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等． (　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．下列几何体中是棱柱的个数有(　　)‎ A．5个　 B．4个　　　C．3个　　　D．2个 D　[由棱柱的定义知①③是棱柱，选D．]‎ ‎3．下面没有体对角线的一种几何体是(　　)‎ A．三棱柱 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 A　[三棱柱只有面对角线，没有体对角线．]‎ ‎4．(一题多空)一个棱柱至少有__________个面；面数最少的棱柱有________个顶点，有________条棱．‎ ‎5　6　9　[面数最少的棱柱是三棱柱，有5个面，6个顶点，9条棱．]‎ 棱柱的结构特征 ‎【例1】　下列关于棱柱的说法正确的个数是(　　)‎ ‎①四棱柱是平行六面体；‎ ‎②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；‎ ‎③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；‎ ‎④底面是正多边形的棱柱是正棱柱．‎ A．1　　　 B．‎2　‎　　　　C．3　　　　　D．4‎ A　[四棱柱的底面可以是任意四边形；而平行六面体的底面必须是平行四边形，故①不正确；说法③就是棱柱的定义，故③正确；对比定义，显然②不正确；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故④不正确．]‎ 棱柱结构特征的辨析技巧 ‎(1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义．‎ ‎①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．‎ ‎(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．‎ 提醒：判断一个说法错误时，才用举反例的方法．‎ ‎1．如图所示为长方体ABCDA′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．‎ ‎[解]　截面BCFE右侧部分是棱柱，满足棱柱的定义，它是三棱柱BEB′CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面，EF，B′C′，BC是侧棱．‎ 截面BCFE左侧部分也是棱柱，它是四棱柱ABEA′DCFD′，其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面，A′D′，EF，BC，AD为侧棱．‎ 多面体的表面展开图 ‎【例2】　某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(　　)‎ A　　　　　B　　　　C　　　　D A　[两个不能并列相邻，B、D错误；两个不能并列相邻，C错误，故选A．也可通过实物制作检验来判定．]‎ 多面体展开图问题的解题策略 ‎(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．‎ ‎(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．‎ ‎2．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是(　　)‎ A　　　　B　　　　C　　　　D C　[将四个选项的平面图形折叠，可知C中的图可复原为正方体．]‎ 多面体或棱柱的计算问题 ‎【例3】　如图所示，在正三棱柱ABCA1B‎1C1中，AB＝2，AA1＝2，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记作M.求：‎ ‎(1)三棱柱侧面展开图的对角线长；‎ ‎(2)从B经M到C1的最短路线长及此时的值．‎ ‎[解]　将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形BB1B1′B′(如图)．‎ ‎(1)∵矩形BB1B1′B′的长BB′＝6，宽BB1＝2，‎ ‎∴三棱柱侧面展开图的对角线长为＝2.‎ ‎(2)由侧面展开图可知：当B，M，C1三点共线时，由B经M到C1的路线最短，∴最短路线长为BC1＝＝2，显然Rt△ABM≌Rt△A‎1C1M，‎ ‎∴A‎1M＝AM，即＝1.‎ 求简单几何体表面上两点间最短距离的步骤 此类问题一般将立体图形(或其一部分)展开为平面，使立体几何问题平面化．其基本步骤是：(1)将立体图形展开为平面图形．(2)在平面图形上找出表示最短距离的线段．(3)计算此线段的长．‎ ‎3．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为‎6 cm,‎4 cm，则该棱柱的侧面积为________cm2.‎ ‎72　[棱柱的侧面积S侧＝3×6×4＝72(cm2)．]‎ 知识：‎ ‎1．在理解的基础上，牢记多面体与棱柱的有关概念，能根据定义判断几何体的形状．‎ ‎2．直棱柱的特征 ‎(1)侧棱垂直于底面；‎ ‎(2)侧面都是矩形；‎ ‎(3)侧面垂直于底面；‎ ‎(4)侧棱长等于直棱柱的高；‎ ‎(5)侧面展开图是矩形，此矩形的面积即为棱柱的侧面积；‎ ‎(6)两底面与平行于底面的截面全等．‎ 正棱柱除了满足直棱柱的特征，还具有的特征 ‎(1)侧面都是全等的矩形；‎ ‎(2)底面是全等的正多边形．‎ ‎3．几种常见四棱柱的关系 方法：‎ ‎1．直棱柱的侧面积的求法 直棱柱的侧面展开图是矩形，所以S直棱柱侧面积＝ch(c为底面多边形周长，h为侧棱长(棱柱的高))．‎ ‎2．斜三棱柱的侧面积的两种求法 ‎(1)分别求各侧面的面积，然后求和．在求各侧面的面积时，首先要判断出各侧面的具体形状及与面积有关的大小尺寸，然后求出它们的面积并求和．‎ ‎(2)作斜棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)，则斜棱柱的侧面积等于直截面的周长与侧棱长的乘积．‎ ‎3．棱柱的表面积(全面积)的求法 S表面积＝S侧面积＋2S底面(S底面为底面多边形的面积)．‎ ‎1．下列说法中正确的是(　　)‎ A．直四棱柱是直平行六面体 B．直平行六面体是长方体 C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体 D．底面是正方形的四棱柱是直四棱柱 C　[直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错；直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错；C正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错．]‎ ‎2．下列选项中的图形经过折叠不能围成棱柱的是(　　)‎ D　[观察所给的图形，A，B，C选项均可围成棱柱，D选项围成的几何体是棱柱缺少一个面，无法围成棱柱．]‎ ‎3．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是(　　)‎ A．2 B．‎4 C．6 D．8‎ D　[由已知得底面边长为1，侧棱长为＝2.‎ ‎∴S侧＝1×2×4＝8.]‎ ‎4．有一个正方体的骰子每一面有一个英文字母．如图是从3种不同角度看同一个骰子的情况，则H对面的字母是______．‎ O　[由图可知与H相邻的四个面的字母分别是E，S，P，D，故H的对面的字母为O.]‎ ‎5．如图所示的三棱柱ABCA1B‎1C1，其中E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．‎ ‎[解]　截面以上的几何体是三棱柱AEFA1HG，截面以下的几何体是四棱柱BEFCB1HGC1.‎