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- 2021-06-16 发布
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[全国通用]高中数学高考知识点总结
1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。
如:集合 , , , 、 、A x y x B y y x C x y y x A B C | lg | lg ( , )| lg 中元素各
表示什么?
2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集 的特殊情况。
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
如:集合 ,A x x x B x ax | |2 2 3 0 1
若 ,则实数 的值构成的集合为B A a
(答: , , )
1 0 1
3
3. 注意下列性质:
( )集合 , ,……, 的所有子集的个数是 ;1 21 2a a an
n
( )若 , ;2 A B A B A A B B
(3)德摩根定律:
C C C C C CU U U U U UA B A B A B A B ,
4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)
如:已知关于 的不等式 的解集为 ,若 且 ,求实数x ax
x a M M M a
5 0 3 52
的取值范围。
(∵ ,∴ ·
∵ ,∴ ·
, , )
3 3 5
3 0
5 5 5
5 0
1 5
3 9 25
2
2
M a
a
M a
a
a
5. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或” ,“且” 和( ) ( ) “非”( ).
若 为真,当且仅当 、 均为真p q p q
若 为真,当且仅当 、 至少有一个为真p q p q
若 为真,当且仅当 为假p p
6. 命题的四种形式及其相互关系是什么?
(互为逆否关系的命题是等价命题。)
原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗?映射 f:A→B,是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应
元素的唯一性,哪几种对应能构成映射?
(一对一,多对一,允许 B 中有元素无原象。)
8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?
(定义域、对应法则、值域)
9. 求函数的定义域有哪些常见类型?
例:函数 的定义域是y
x x
x
4
3 2lg
(答: , , , )0 2 2 3 3 4
10. 如何求复合函数的定义域?
如:函数 的定义域是 , , ,则函数 的定f x a b b a F(x f x f x( ) ) ( ) ( ) 0 义域是_。
(答: , )a a
11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?
如: ,求f x e x f xx 1 ( ).
令 ,则t x t 1 0
∴x t 2 1
∴f t e tt() 2 1 2 1
∴f x e x xx( ) 2 1 2 1 0
12. 反函数存在的条件是什么?
(一一对应函数)
求反函数的步骤掌握了吗?
(①反解 x;②互换 x、y;③注明定义域)
如:求函数 的反函数f x
x x
x x
( )
1 0
02
(答: )f x
x x
x x
1 1 1
0
( )
13. 反函数的性质有哪些?
①互为反函数的图象关于直线 y=x 对称;
②保存了原来函数的单调性、奇函数性;
③设 的定义域为 ,值域为 , , ,则y f(x) A C a A b C f(a) = b f 1 ( )b a
f f a f b a f f b f a b1 1 1( ) ( ) ( ) ( ),
14. 如何用定义证明函数的单调性?
(取值、作差、判正负)
如何判断复合函数的单调性?
( , ,则
(外层) (内层)
y f u u x y f x ( ) ( ) ( )
当内、外层函数单调性相同时 为增函数,否则 为减函数。)f x f x ( ) ( )
如:求 的单调区间y x x log 1
2
2 2
(设 ,由 则u x x u x 2 2 0 0 2
且 , ,如图:log 1
2
21 1u u x
u
O 1 2 x
当 , 时, ,又 ,∴x u u y ( ] log0 1 1
2
当 , 时, ,又 ,∴x u u y [ ) log1 2 1
2
∴……)
15. 如何利用导数判断函数的单调性?
在区间 , 内,若总有 则 为增函数。(在个别点上导数等于a b f x f x'( ) ( ) 0
零,不影响函数的单调性),反之也对,若 呢?f x'( ) 0
如:已知 ,函数 在 , 上是单调增函数,则 的最大a f x x ax a 0 13( )
值是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
(令f x x a x a x a'( )
3 3 3 3 02
则 或x a x a 3 3
由已知 在 , 上为增函数,则 ,即f x a a( ) [ )1 3 1 3
∴a 的最大值为 3)
16. 函数 f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?
(f(x)定义域关于原点对称)
若 总成立 为奇函数 函数图象关于原点对称f x f x f x( ) ( ) ( )
若 总成立 为偶函数 函数图象关于 轴对称f x f x f x y( ) ( ) ( )
注意如下结论:
(1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一
个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
( )若 是奇函数且定义域中有原点,则 。2 f(x) f(0) 0
如:若 · 为奇函数,则实数f x a a a
x
x( )
2 2
2 1
(∵ 为奇函数, ,又 ,∴f x x R R f( ) ( ) 0 0 0
即 · ,∴ )a a a2 2
2 1 0 1
0
0
又如: 为定义在 , 上的奇函数,当 , 时, ,f x x f x
x
x( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 2
4 1
求 在 , 上的解析式。f x( ) 1 1
(令 , ,则 , ,x x f x
x
x
1 0 0 1 2
4 1( )
又 为奇函数,∴f x f x
x
x
x
x( ) ( )
2
4 1
2
1 4
又 ,∴
,
,
)f f x
x
x
x
x
x
x
x
( ) ( )
( )
0 0
2
4 1
1 0
0
2
4 1 0 1
17. 你熟悉周期函数的定义吗?
(若存在实数 ( ),在定义域内总有 ,则 为周期T T f x T f x f x 0 ( ) ( )
函数,T 是一个周期。)
如:若 ,则f x a f x ( )
(答: 是周期函数, 为 的一个周期)f x T a f x( ) ( ) 2
又如:若 图象有两条对称轴 ,f x x a x b( )
即 ,f a x f a x f b x f b x( ) ( ) ( ) ( )
则 是周期函数, 为一个周期f x a b( ) 2
如:
18. 你掌握常用的图象变换了吗?
f x f x y( ) ( )与 的图象关于 轴 对称
f x f x x( ) ( )与 的图象关于 轴 对称
f x f x( ) ( )与 的图象关于 原点 对称
f x f x y x( ) ( )与 的图象关于 直线 对称 1
f x f a x x a( ) ( )与 的图象关于 直线 对称2
f x f a x a( ) ( ) ( )与 的图象关于 点 , 对称 2 0
将 图象 左移 个单位
右移 个单位
y f x a a
a a
y f x a
y f x a
( ) ( )
( )
( )
( )
0
0
上移 个单位
下移 个单位
b b
b b
y f x a b
y f x a b
( )
( )
( )
( )
0
0
注意如下“翻折”变换:
f x f x
f x f x
( ) ( )
( ) (| |)
如:f x x( ) log 2 1
作出 及 的图象y x y x log log2 21 1
y
y=log2x
O 1 x
19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?
(k<0) y (k>0)
y=b
O’(a,b)
O x
x=a
( )一次函数:1 0y kx b k
( )反比例函数: 推广为 是中心 ,2 0 0y k
x k y b k
x a k O a b '( ) 的双曲线。
( )二次函数 图象为抛物线3 0 2
4
4
2
2 2
y ax bx c a a x b
a
ac b
a
顶点坐标为 , ,对称轴
b
a
ac b
a x b
a2
4
4 2
2
开口方向: ,向上,函数a y ac b
a 0 4
4
2
min
a y ac b
a 0 4
4
2
,向下, max
应用:①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程
ax bx c x x y ax bx c x2
1 2
20 0 , 时,两根 、 为二次函数 的图象与 轴
的两个交点,也是二次不等式 解集的端点值。ax bx c2 0 0 ( )
②求闭区间[m,n]上的最值。
③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
如:二次方程 的两根都大于ax bx c k b
a k
f k
2 0
0
2
0
( )
y
(a>0)
O k x1 x2 x
一根大于 ,一根小于k k f k ( ) 0
( )指数函数: ,4 0 1y a a ax
( )对数函数 ,5 0 1y x a aa log
由图象记性质! (注意底数的限定!)
y
y=ax(a>1)
(01)
1
O 1 x
(01 e=1
0
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