高中数学第7章（第20课时）圆的方程3 8页

课 题：7.6圆的方程（三）‎ 教学目的：‎ ‎1.理解圆的参数方程 ‎2.熟练求出圆心在原点、半径为r的圆的参数方程 ‎3.理解参数θ的意义 ‎4.理解圆心不在原点的圆的参数方程 ‎5.能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程 ‎6.可将圆的参数方程化为圆的普通方程 教学重点：圆的参数方程(分圆心在原点与不在原点的两种情形) ‎ 教学难点：参数方程，参数的概念 ‎ 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：‎ 本节为第三课时讲解圆的参数方程 为了突出重点，突破难点，可以对本节的例题、练习进行适当的调整和组合，并安排一些变式练习 ‎ 将参数方程化为普通方程时，常用的消参方法有：代入法、加减法、换元法等 要注意不能缩小或扩大曲线中的取值范围 ‎ 圆上的点的特征性质，在圆的参数方程中，得到了另一种形式的表示 在涉及圆上的动点距离、面积、定值、最值等问题时，用圆的参数方程来解往往更为简捷 ‎ 教学过程：‎ 一、复习引入： ‎ 一、复习引入： ‎ ‎1．圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 ‎2．求曲线方程的一般步骤为：‎ ‎（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；‎ ‎（2）写出适合条件P的点M的集合；(可以省略，直接列出曲线方程)‎ ‎（3）用坐标表示条件P（M），列出方程;‎ ‎（4）化方程为最简形式；‎ ‎（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(可以省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明)‎ ‎3．建立圆的标准方程的步骤：建系设点；写点集；列方程；化简方程 ‎ ‎4. 圆的标准方程 ： 圆心为，半径为，‎ 若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是 ‎5．圆的标准方程的两个基本要素： ‎ ‎6．圆的一般方程：只有当时，①表示的曲线才是圆，把形如①的表示圆的方程称为圆的一般方程 ‎（1）当时，①表示以（-，-）为圆心,为半径的圆；‎ ‎（2）当时，方程①只有实数解，，即只表示一个点（-，-）;‎ ‎（3）当时，方程①没有实数解，因而它不表示任何图形 ‎ 二、讲解新课：‎ ‎1. “旋转角”的概念：一条射线从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置形成的角，叫正角；按顺时针方向旋转形成的角形成的角，叫做负角；若没有旋转，就称为零角 ‎ 2．圆心为原点半径为r的圆的参数方程 如图所示在圆上，对于的每一个允许值，由方程组 ①，所确定的点P()都在圆上 方程组①叫做圆心为原点，半径为r的圆的参数方程，为参数 ‎3．圆心为原点半径为r的圆的参数方程 把圆心为原点O，半径为r的圆按向量平移，可得到圆心为，半径为r的圆 如图，设圆上任意一点P(x,y)，它是圆O上一点按平移向量平移后得到的，则根据平移公式，有，‎ 由于，故 ②‎ 这就是圆心为，半径为r的圆的参数方程 ‎ 4．参数方程的意义：一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数，即 ③‎ 并且对于的每一个允许值，由方程组③所确定的点M（)都在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，其中联系之间关系的变数叫做参变数，简称参数.它可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数 点评：参数方程的特点是在于没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系 三、讲解范例：‎ 例 如图所示，已知点P是圆上的一个动点，点A是轴上的定点，坐标为（12，0）.点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？‎ 分析：应先根据线段中点坐标公式特点M的横、纵坐标表示出来，然后判断其关系，从而确定其曲线类型 ‎ 解：设点M的坐标是()‎ ‎∵圆的参数方程为：‎ 又∵点P在圆上，∴设P的坐标为(4cosθ,4sinθ)‎ 由线段中点坐标公式可得点M的轨迹的参数方程为：‎ 从而判断线段PA的中点M的轨迹是以点（6，0）为圆心、2为半径的圆 ‎ 四、课堂练习：课本P81练习 1，2.‎ ‎1.填空：已知圆O的参数方程是 ‎ (0≤θ＜2π）‎ ‎(1)如果圆上点P所对应的参数θ=，则点P的坐标是 ‎ ‎（2）如果圆上点Q的坐标是（-），则点Q所对应的参数θ等于 ‎ 解析：(1)由得 ‎ (2)由 (0≤θ＜2π）得 ∴θ=.‎ 答案：（1）（） （2）‎ ‎2.把圆的参数方程化成普通方程：‎ ‎（1） (2)‎ 解：(1)由 得 ‎∵ ∴‎ 即： ‎ ‎(2)由 得 又∵ ∴‎ ‎3.经过圆上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通方程 解：设M（)为线段PQ的中点，‎ ‎∵圆的参数方程为 ‎ 又∵点P为圆上任一点 ‎∴可设点P的坐标为(2cosθ,2sinθ)‎ 则Q点的坐标为（2cosθ,０)‎ 由线段中点坐标公式，得点M的轨迹的参数方程为：‎ 消去参数θ,可得： 即 五、小结 ：圆的参数方程(分圆心在原点与不在原点的两种情形) 参数方程，参数的概念； 参数方程与普通方程的互化；参数方程的意义及实际应用 ‎ 六、课后作业：‎ ‎1.填空题 ‎（1）已知圆的参数方程是 (0≤θ＜2π）若圆上一点M的坐标为(4,-4)，则M所对应的参数θ的值为 ‎ 分析：将点M的坐标代入参数方程分别求得sinθ,cosθ的值，由此求θ的值 解：将点M（4，-4）代入 得 又∵0≤θ＜2π,∴θ=.答案：‎ ‎(2)已知圆的参数方程为,则它的普通方程为 ‎ 分析：由参数方程解得cosθ、sinθ的表达式，由求出x与y的关系式，即可求得 解：由得 由 得 ‎ 答案：‎ ‎2.已知点M是圆上的一个动点，点N（2，6）为定点，当点M在圆上运动时，求线段MN的中点P的轨迹方程，并说明轨迹的图形 分析：先将圆化为利用圆的参数方程求解 解：将已知圆的方程化为：‎ 则其参数方程为故可设点M（2+2cosθ,2sinθ)‎ 又∵点N（2，6）.∴MN的中点P为 ‎∴点P的轨迹方程为： ‎ 它表示圆心在（2，3），半径为1的圆 ‎3.若实数满足，求的最大值.‎ 分析一：将圆化为参数方程来解 解法一：将圆变为 ‎∴圆的参数方程为 代入得 ‎=（1+cosθ）-(-2+sinθ)=3+（cosθ-sinθ)‎ ‎=3+cos(θ+)≤3+‎ ‎∴的最大值为3+‎ 分析二：令=u代入圆方程来解.‎ 解析二：令u=，则代入圆方程得 由即 ‎∴3-≤u≤3+，即3-≤x-y≤3+‎ ‎∴的最大值为3+‎ ‎4.已知对于圆上任意一点P（），不等式恒成立，求实数的取值范围 分析：将圆的参数方程代入，转化为求的最值问题来解 解：由得其参数方程为：‎ 代入，得cosθ+1+sinθ+≥0‎ ‎∴≥-cosθ-sinθ-1‎ ‎∴≥-sin(θ＋)-1恒成立，‎ ‎∴转化为求-sin(θ+)-1的最大值，‎ ‎∵-sin（θ+）-1的最大值为-1‎ ‎∴≥-1‎ ‎5.已知圆,定点A(1,0),B、C是圆上两个动点，保持A、B、C在圆上逆时针排列，且∠BOC=（O为坐标原点），求△ABC重心G的轨迹方程 分析：利用三角形重心坐标公式：来解 解：令B（cosθ,sinθ）,则C(cos(θ+),sin(θ+)),‎ 设重心G坐标为（）‎ 则即 化为普通方程得：‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎ ‎ ‎