高中数学人教a版选修1-1第二章圆锥曲线与方程学业分层测评6word版含答案 9页

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2021-06-16 发布

高中数学人教a版选修1-1第二章圆锥曲线与方程学业分层测评6word版含答案

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学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．椭圆 x2 16 ＋ y2 25 ＝1的焦点坐标是( ) A．(±4,0) B．(0，±4) C．(±3,0) D．(0，±3) 【解析】根据椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在 y轴上，所以对应的焦点坐标为(0，±3)，故选 D. 【答案】 D 2．如果方程 x2 a2 ＋ y2 a＋6 ＝1表示焦点在 x轴上的椭圆，则实数 a的取值范围是( ) A．a>3 B．a<－2 C．a>3或 a<－2 D．a>3或－6a＋6>0，得 a2－a－6>0， a＋6>0，所以 a<－2或 a>3， a>－6，所以 a>3或－6b>0)，且可知左焦点为 F′(－2,0)．从而有 c＝2， 2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，解得 c＝2， a＝4. 又 a2＝b2＋c2，所以 b2＝12，故椭圆 C的标准方程为 x2 16 ＋ y2 12 ＝1. 法二：依题意，可设椭圆 C的方程为 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0)，则 4 a2 ＋ 9 b2 ＝1， a2－b2＝4，解得 b2＝12或 b2＝－3(舍去)，从而 a2＝16，所以椭圆 C的标准方程为 x2 16 ＋ y2 12 ＝1. 【答案】 x2 16 ＋ y2 12 ＝1 8．椭圆 x2 9 ＋ y2 2 ＝1的焦点为 F1，F2，点 P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．【解析】由|PF1|＋|PF2|＝6，且|PF1|＝4，知|PF2|＝2. 在△PF1F2中， cos ∠F1PF2＝ |PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 2|PF1||PF2| ＝－ 1 2 . ∴∠F1PF2＝120°. 【答案】 2 120° 三、解答题 9．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆上一点 P(3,2)到两焦点的距离之和为 8； (2)椭圆两焦点间的距离为 16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于 9或 15. 【解】 (1)①若焦点在 x轴上，可设椭圆的标准方程为 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝ 1(a>b>0)．由题意知 2a＝8，∴a＝4，又点 P(3,2)在椭圆上， ∴ 9 16 ＋ 4 b2 ＝1，得 b2＝64 7 . ∴椭圆的标准方程为 x2 16 ＋ y2 64 7 ＝1. ②若焦点在 y轴上，设椭圆标准方程为 y2 a2 ＋ x2 b2 ＝1(a>b>0)． ∵2a＝8，∴a＝4，又点 P(3,2)在椭圆上， ∴ 4 16 ＋ 9 b2 ＝1，得 b2＝12. ∴椭圆的标准方程为 y2 16 ＋ x2 12 ＝1. 由①②知椭圆的标准方程为 x2 16 ＋ y2 64 7 ＝1或y2 16 ＋ x2 12 ＝1. (2)由题意知，2c＝16,2a＝9＋15＝24， ∴a＝12，c＝8，b2＝80. 又焦点可能在 x轴上，也可能在 y轴上， ∴所求方程为 x2 144 ＋ y2 80 ＝1或 y2 144 ＋ x2 80 ＝1. 10．已知 B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长为 18，求这个三角形顶点 A的轨迹方程．【解】以过 B，C两点的直线为 x轴，线段 BC的中点为原点，建立平面直角坐标系．由|BC|＝8，可知点 B(－4,0)，C(4,0)．由|AB|＋|BC|＋|AC|＝18，得|AB|＋|AC|＝10＞|BC|＝8. 因此，点 A的轨迹是以 B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为 2a＝10，即 a＝5，且点 A不能在 x轴上．由 a＝5，c＝4，得 b2＝9. 所以点 A的轨迹方程为 x2 25 ＋ y2 9 ＝1(y≠0)． [能力提升] 1．已知 P为椭圆 C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2 3，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆 C的标准方程为( ) A.x 2 12 ＋ y2 9 ＝1 B.x 2 12 ＋ y2 9 ＝1或x2 9 ＋ y2 12 ＝1 C.x 2 9 ＋ y2 12 ＝1 D.x 2 48 ＋ y2 45 ＝1或x2 45 ＋ y2 48 ＝1 【解析】由已知 2c＝|F1F2|＝2 3， ∴c＝ 3. ∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4 3， ∴a＝2 3，∴b2＝a2－c2＝9. 故椭圆 C的标准方程是 x2 12 ＋ y2 9 ＝1或x2 9 ＋ y2 12 ＝1. 故选 B. 【答案】 B 2．(2016·银川高二检测)已知△ABC的顶点 B，C在椭圆 x2 4 ＋y2＝1 上，顶点 A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC边上，则△ABC的周长是( ) A．2 B．4 C．8 D．16 【解析】设 A为椭圆的左焦点，而 BC边过右焦点 F，如图．可知|BA|＋|BF|＝2a，|CA|＋|CF|＝2a，两式相加得|AB|＋|BF|＋|CA|＋|CF| ＝|AB|＋|AC|＋|BC|＝4a.而椭圆标准方程为 x2 4 ＋y2＝1，因此 a＝2，故 4a ＝8，故选 C. 【答案】 C 3．(2016·苏州高二检测)P为椭圆 x2 100 ＋ y2 64 ＝1上一点，左、右焦点分别为 F1，F2，若∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．【解析】设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，由椭圆定义，得 r1＋r2＝20.① 由余弦定理，得(2c)2＝r21＋r22－2r1r2cos 60°，即 r21＋r22－r1r2＝144，② 由①2－②，得 3r1r2＝256， ∴S△PF1F2＝1 2 r1r2sin 60°＝1 2 × 256 3 × 3 2 ＝ 64 3 3 . 【答案】 64 3 3 4．(2016·南京高二检测)设 F1，F2分别是椭圆 x2 4 ＋y2＝1的两焦点， B为椭圆上的点且坐标为(0，－1)． (1)若 P是该椭圆上的一个动点，求|PF1→ |·|PF2→ |的最大值； (2)若 C为椭圆上异于 B的一点，且BF1→ ＝λCF1→ ，求λ的值； (3)设 P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值. 【导学号：26160033】【解】 (1)因为椭圆的方程为 x2 4 ＋y2＝1，所以 a＝2，b＝1，c＝ 3，即|F1F2|＝2 3，又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，所以|PF1|·|PF2|≤ |PF1|＋|PF2| 2 2＝ 4 2 2＝4，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取“＝”，所以|PF1|·|PF2|的最大值为 4，即|PF1→ |·|PF2→ |的最大值为 4. (2)设 C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－ 3，0)，由BF1→ ＝λCF1→ 得 x0＝ 31－λ λ ，y0＝－ 1 λ . 又 x20 4 ＋y20＝1，所以有λ2＋6λ－7＝0，解得λ＝－7 或λ＝1，又BF1→ 与CF1→ 方向相反，故λ＝1舍去，即λ＝－7. (3)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|，所以△PBF1的周长≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8，所以当 P点位于直线 BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为 8.

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