2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册课时分层作业：1 7页

www.ks5u.com 课时分层作业(三)　‎ ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1．若向量{a，b，c}是空间的一个基底，则一定可以与向量p＝2a＋b，q＝2a－b构成空间的另一个基底的向量是(　　)‎ A．a B．b C．c D．a＋b C　[由p＝2a＋b，q＝2a－b得a＝p＋q，所以a、p、q共面，故a、p、q不能构成空间的一个基底，排除A；因为b＝p－q，所以b、p、q共面，故b、p、q不能构成空间的一个基底，排除B；因为a＋b＝p－q，所以a＋b、p、q共面，故a＋b、p、q不能构成空间的一个基底，排除D.]‎ ‎2．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M是上底面对角线AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则可表示为(　　)‎ A．a＋b＋c B．a－b＋c C．－a－b＋c D．－a＋b＋c D　[由于＝＋＝＋(＋)‎ ‎＝－a＋b＋c，故选D.]‎ ‎3．若向量，，的起点M与终点A，B，C互不重合，且点M，A，B，C中无三点共线，满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量，，成为空间一个基底的关系是(　　)‎ A．＝＋＋ B．≠＋ C．＝＋＋ D．＝2－ C　[若，，为空间一组基向量，则M，A，B，C四点不共面．选项A中，因为＋＋＝1，所以点M，A，B，C共面；选项B中，≠＋，但可能存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，所以点M，A，B，C可能共面；选项D中，四点M，A，B，C显然共面．故选C.]‎ ‎4．空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则为(　　)‎ A．a－b＋c B．－a＋b＋c C．a＋b－c D．a＋b－c B　[＝＋＋＝＋－＋(－)＝－＋＋＝－a＋b＋c.]‎ ‎5．平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量，，两两的夹角均为60°且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于(　　)‎ A．5 B．6 C．4 D．8‎ A　[在平行六面体ABCDA1B1C1D1中有，＝＋＋＝＋＋ 所以有||＝|＋＋|，于是有||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2||·||·cos 60°＋2||·||·cos 60°＋2||||·cos 60°＝25，所以||＝5.]‎ 二、填空题 ‎6．在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________.(用a，b，c表示)‎ a＋b＋c　[因为在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，所以＝(＋)＝＋＝a＋×(＋)＝a＋(b＋c)＝a＋b＋c.]‎ ‎7．已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，若向量m在基底{a，b，c}下表示为m＝3a＋5b＋9c，则m在基底{a＋b，a－b,3c}下可表示为________．‎ ‎4(a＋b)－(a－b)＋3(3c)　[由题意知，m＝3a＋5b＋9c，设m＝x(a＋b)＋y(a－b)＋z(3c)‎ 则有 解得 则m在基底{a＋b，a－b,3c}可表示为m＝4(a＋b)－(a－b)＋3(3c)．]‎ ‎8．在四棱锥PABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，＝a，＝b，＝c，试用基底{a，b，c}表示向量＝________.‎ a－b＋c　[因为BG＝2GD，所以＝.‎ 又＝＋＝－＋－＝a＋c－2b，‎ 所以＝＋＝b＋(a＋c－2b)‎ ‎＝a－b＋c.]‎ 三、解答题 ‎9.如图所示，正方体OABCO′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c.‎ ‎(1)用a，b，c表示向量，；‎ ‎(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示.‎ ‎[解]　(1)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.‎ ＝＋＝＋＋＝＋－＝b＋c－a.‎ ‎(2)法一：连接OG，OH(图略)，‎ 则＝＋＝－＋ ‎＝－(＋)＋(＋)‎ ‎＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)‎ ‎＝(c－b)．‎ 法二：连接O′C(图略)，则＝＝(－)‎ ‎＝(c－b)．‎ ‎10.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，＝－，＝，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.‎ ‎[解]　连接AN，则＝＋.‎ 由已知可得四边形ABCD是平行四边形，从而可得 ＝＋＝a＋b，‎ ＝－＝－(a＋b)，‎ 又＝－＝b－c，‎ 故＝＋＝－＝－ ‎＝b－(b－c)，‎ 所以＝＋ ‎＝－(a＋b)＋b－(b－c)‎ ‎＝(－a＋b＋c)．‎ ‎11．(多选题)已知a，b，c是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是(　　)‎ A．2a，a－b，a＋2b B．2b，b－a，b＋2a C．a,2b，b－c D．c，a＋c，a－c ABD　[对于A，因为2a＝(a－b)＋(a＋2b)，得2a、a－b、a＋2b三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于B，因为2b＝(b－a)＋(b＋2a)，得2b、b－a、b＋2a三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于C，因为找不到实数λ、μ，使a＝λ·2b＋μ(b－c)成立，故a、2b、b－c三个向量不共面，它们能构成一个基底；对于D，因为c＝(a＋c)－(a－c)，得c、a＋c、a－c三个向量共面，故它们不能构成一个基底，故选ABD.]‎ ‎12．(多选题)给出下列命题，正确命题的有(　　)‎ A．若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底 B．已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底 C．A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面 D．已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底 ABCD　[根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然B正确．C中由，，不能构成空间的一个基底，知，，共面．又，，过相同点B，知A，B，M，N四点共面．所以C正确．下面证明AD正确：A假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc.∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，∴c与a，b共面，与条件矛盾，∴d与a，b不共面．同理可证D也是正确的．于是ABCD四个命题都正确，故选ABCD.]‎ ‎13．(一题两空)已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.‎ ‎1　－1　[因为m与n共线，‎ 所以存在实数λ，‎ 使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，‎ 于是有 解得]‎ ‎14．(一题多空)已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2＝.若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝，且对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，则x0＝________，y0＝________，|b|＝________.‎ ‎1　2　2　[由题意可令b＝x0e1＋y0e2＋e3，其中|e3|＝1，e3⊥ei，i＝1,2.由b·e1‎ ‎＝2得x0＋＝2，由b·e2＝得＋y0＝，解得x0＝1，y0＝2，∴|b|＝＝2.]‎ ‎15．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．‎ ‎(1)用向量a，b，c表示，；‎ ‎(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．‎ ‎[解]　(1)如图，‎ ＝＋＝－＋－＝a－b－c，‎ ＝＋＝＋＝－(＋)＋(＋)＝(a－c)．‎ ‎(2)＝(＋)＝(－＋－)‎ ‎＝(－＋－－)‎ ‎＝(a－c－b－c)＝a－b－c，‎ ‎∴x＝，y＝－，z＝－1.‎