2021版高考数学一轮复习第八章立体几何初步8-3空间中的平行关系课件新人教B版 22页

第三节　 空间中的平行关系 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养 · 微专题 核心素养测评 【教材 · 知识梳理】 1. 直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 平面外一条直线与 _________ 的一条直线平行，则该直线 与此平面平行 ( 简记为“线 线平行 ⇒ 线面平行” ) 因为 ______ ___________ ， 所以 l ∥α 性质 定理 一条直线与一个平面平行， 则过这条直线的任一平面与 此平面的 _____ 与该直线平行 ( 简记为“线面平行 ⇒ 线线 平行” ) 因为 _______ _______ _________ ， 所以 l ∥b 此平面内 l ∥a ， a⊂α ， l ⊄α 交线 l ∥α ， l ⊂β ， α∩β=b 2. 平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面内的两条 _________ 与另一个平面平行，则 这两个平面平行 ( 简记为 “线面平行 ⇒ 面面平行” ) 因为 ________ ________________ ____________ ， 所以 α∥β 性质 定理 如果两个平行平面同时和 第三个平面 _____ ，那么它 们的 _____ 平行 因为 _________ ___________ _________ ， 所以 a∥b 相交直线 a∥β ， b∥β ， a∩b=P ， a⊂α ， b⊂α 相交 交线 α∥β ， α∩γ=a ， β∩γ=b 【常用结论】 1. 两个平面平行，则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行 . 2. 三种平行关系的转化： 线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想，解题中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向 . 【知识点辨析】 　 ( 正确的打“ √” ，错误的打“ ×”) (1) 若直线 a 与平面 α 内无数条直线平行，则 a∥α. ( 　　 ) (2) 若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条 直线 . ( 　　 ) (3) 如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 . ( 　　 ) (4) 若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面 . ( 　　 ) (5) 如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面 . ( 　　 ) (6) 平行于同一条直线的两个平面平行 . ( 　　 ) 提示： (1) ×. 若直线 a 与平面 α 内无数条直线平行，则 a∥α 或 a⊂α. (2)×. 一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的直线可能平行，也可能是异面直线 . (3)×. 如果一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 . (4)×. 若平面外的一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面 . (5)√. 这两条直线没有公共点 . (6)×. 平行于同一条直线的两个平面平行或相交 . 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 证明线面平行时忽略该直线不在平面内致误 考点一、 T3 考点二、 T2 2 利用线面平行的性质定理时不会找过该直线的平面 考点二、 T1 3 证明面面平行时忽略两直线相交致误 考点三、角度 1 【教材 · 基础自测】 1.( 必修 2 P44 练习 BT2 改编 ) 平面 α∥ 平面 β 的一个充分条件是 ( 　　 ) A. 存在一条直线 a,a∥α,a∥β B. 存在一条直线 a,a⊂α,a∥β C. 存在两条平行直线 a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α D. 存在两条异面直线 a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α 【解析】 选 D. 若 α∩β= l ,a∥ l ,a ⊄α ,a ⊄β , 则 a∥α,a∥β, 故排除 A. 若 α∩β= l ,a ⊂α ,a∥ l , 则 a∥β, 故排除 B. 若 α∩β= l ,a ⊂α ,a∥ l ,b ⊂β ,b∥ l , 则 a∥β,b∥α, 故排除 C. 2.( 必修 2 P46 练习 AT1 改编 ) 下列命题中正确的是 ( 　　 ) A. 若 a,b 是两条直线 , 且 a∥b, 那么 a 平行于经过 b 的任何平面 B. 若直线 a 和平面 α 满足 a∥α, 那么 a 与 α 内的任何直线平行 C. 平行于同一条直线的两个平面平行 D. 若直线 a,b 和平面 α 满足 a∥b,a∥α,b⊄α, 则 b∥α 【解析】 选 D.A 中 ,a 可以在过 b 的平面内 ;B 中 ,a 与 α 内的直线可能异面 ;C 中 , 两平面可相交 ;D 中 , 由直线与平面平行的判定定理知 ,b∥α, 正确 . 3.( 必修 2 P44 练习 BT4 改编 ) 如图 , 长方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 ,E 为 DD 1 的中点 , 则 BD 1 与平面 AEC 的位置关系为 ________.  【解析】 连接 BD, 设 BD∩AC=O, 连接 EO, 在 △BDD 1 中 ,O 为 BD 的中点 , 所以 EO 为 △BDD 1 的中位线 , 则 BD 1 ∥EO, 而 BD 1 ⊄ 平面 ACE,EO ⊂ 平面 ACE, 所以 BD 1 ∥ 平面 ACE. 答案 : 平行 【思想方法】 　函数与方程思想在立体几何中的应用   【典例】 如图所示 , 在四面体 ABCD 中 , 截面 EFGH 平行于对棱 AB 和 CD, 试问截面在什么位置时 , 其截面面积最大 ? 【解析】 因为 AB∥ 平面 EFGH, 平面 EFGH 与平面 ABC 和平面 ABD 分别交于 FG,EH. 所以 AB∥FG,AB∥EH, 所以 FG∥EH, 同理可证 EF∥GH, 所以截面 EFGH 是平行四边形 . 设 AB=a,CD=b,∠FGH=α (α 即为异面直线 AB 和 CD 所成的角或其补角 ). 又设 FG=x,GH=y, 则由平面几何知识可得 两式相加得 即 y= (a-x), 所以 S ▱EFGH =FG · GH · sin α =x · · (a-x) · sin α= (a-x). 因为 x>0,a-x>0 且 x+(a-x)=a 为定值 , 所以当且仅当 x=a-x 时 , 此时 x= ,y= . 即当截面 EFGH 的顶点 E 、 F 、 G 、 H 为棱 AD 、 AC 、 BC 、 BD 的中点时截面面积最大 . 【思想方法指导】 (1) 立体几何中的最值或范围问题 , 常用函数思想来解决 . (2) 常见问题是求几何体截面面积或周长的最值或范围 , 动点的轨迹等 , 解题关键是通过对几何体中条件的分析和转化 , 设出未知量 , 建立函数关系式或轨迹方程 . 【迁移应用】 如图所示 , 侧棱与底面垂直 , 且底面为正方形的四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 ,AA 1 =2,AB=1,M,N 分别在 AD 1 ,BC 上移动 , 始终保持 MN∥ 平面 DCC 1 D 1 , 设 BN=x,MN=y, 则函数 y=f(x) 的图象大致是 ( 　　 ) 【解析】 选 C. 过 M 作 MQ∥DD 1 , 交 AD 于点 Q, 连接 QN. 因为 MQ⊄ 平面 DCC 1 D 1 ,DD 1 ⊂ 平面 DCC 1 D 1 , 所以 MQ∥ 平面 DCC 1 D 1 . 因为 MN∥ 平面 DCC 1 D 1 , MN∩MQ=M, 所以平面 MNQ∥ 平面 DCC 1 D 1 . 又平面 ABCD 与平面 MNQ 和 DCC 1 D 1 分别交于 QN 和 DC, 所以 NQ∥DC, 可得 QN=CD=AB=1,AQ=BN=x, 因为 =2, 所以 MQ=2x. 在 Rt△MQN 中 ,MN 2 =MQ 2 +QN 2 , 即 y 2 =4x 2 +1, 所以 y 2 -4x 2 =1(x≥0,y≥1), 所以函数 y=f(x) 的图象为焦点在 y 轴上的双曲线上支的一部分 .