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- 2021-06-16 发布
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第七节
利用向量求空间角和距离
内容索引
必备知识
·
自主学习
【教材
·
知识梳理】
1.
异面直线所成角的求法
设
a
,
b
分别是两异面直线
l
1
,
l
2
的方向向量,则:
2.
直线和平面所成角的求法
如图所示,设直线
l
的方向向量为
e
,
平面
α
的法向量为
n
,直线
l
与平面
α
所成的角为
φ
,
两向量
e
与
n
的夹角为
θ
,则有
sin
φ
=|cos θ|=________.
3.
二面角的求法
(1)
如图
①
,
AB
,
CD
是二面角
α
-
l
-
β
两个半平面内与棱
l
垂直的直线,
则二面角的大小为
θ=
___________
.
(2)
如图
②③
,
n
1
,
n
2
分别是二面角
α
-
l
-
β
的两个半平面
α
,
β
的法向量,
则二面角的大小
θ
满足
cos θ=cos<
n
1
,
n
2
>
或
-cos<
n
1
,
n
2
>.
【常用结论】
1.
利用空间向量如何求线段长度
利用
| |
2
=
可以求空间中有向线段的长度
.
2.
点到平面的距离
①“
作一证一求”法:作出点
P
到平面的垂线后求出垂线段的长;
②
转移法:如果平面
α
的斜线上两点
A
,
B
到斜足
C
的距离
AC
,
BC
的比为
m∶n
,则点
A
,
B
到平面
α
的距离比也为
m∶n
;
③
体积法:通常借助三棱锥,通过转换底面与顶点求点到平面的距离
.
【知识点辨析】
(
正确的打“
√”,
错误的打“
×”)
(1)
设
a
,
b
是异面直线
l
1
,
l
2
的方向向量
,
则
l
1
与
l
2
所成的角就是
a
,
b
的夹角
.(
)
(2)
设
a
是直线
l
的方向向量
,
b
是平面
α
的法向量
,
则直线
l
与平面
α
成的角就是
a
,
b
的夹角
. (
)
(3)
设
a
,
b
是两个平面
α
,β
的法向量
,
则
α
与
β
所成的二面角的大小等于
a
,
b
的夹
角的大小
. (
)
(4)
利用 可以求空间中有向线段的长度
. (
)
(5)
直线
l
的方向向量与平面
α
的法向量夹角为
120°,
则
l
和
α
所成角为
30°.(
)
提示
:
(1)×.
因为
<
a
,
b
>∈(0,π),
l
1
与
l
2
夹角
θ∈(0, ].
(2)×.
因为
<
a
,
b
>
的余弦的绝对值等于线面角的正弦值
.
(3)×.
因为
<
a
,
b
>
与二面角的大小相等或互补
.
(4)√.
(5)√.
【易错点索引】
序号
易错警示
典题索引
1
混淆线线角与两向量夹角的范围致误
考点一、
T1,2
2
线面角与向量夹角混淆致误
考点二、典例
【教材
·
基础自测】
1.(
选修
2-1P115
习题
3-2AT1
改编
)
在正方体
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
中
,E
是
C
1
D
1
的中点
,
则
异面直线
DE
与
AC
所成角的余弦值为
(
)
【解析】
选
D.
建立如图空间直角坐标系
D -xyz,
设
DA=1,A(1,0,0),C(0,1,0),E ,
则
=(-1,1,0), = ,
设异面直线
DE
与
AC
所成的角为
θ,
则
cos θ=|cos< >|= .
2.(
选修
2-1P114
练习
AT4
改编
)
如图所示
,
在空间直角坐标系中
,
有一棱长为
a
的正方体
ABCO-A′B′C′D′,A′C
的中点
E
与
AB
的中点
F
的距离为
________.
【解析】
由图易知
A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A′(a,
答案
:
a
3.(
选修
2-1P108
练习
AT3
改编
)
正三棱柱
(
底面是正三角形的直棱柱
)ABC-A
1
B
1
C
1
的底面边长为
2,
侧棱长为
2 ,
则
AC
1
与侧面
ABB
1
A
1
所成的角为
________.
【解析】
以
A
为原点
,
以
(AE⊥AB),
所在直线为坐标轴
(
如图
)
建立空间
直角坐标系
,
设
D
为
A
1
B
1
的中点
,
则
A(0,0,0),C
1
(1, ,2 ),D(1,0,2 ),
所以
=(1, ,2 ),
=(1,0,2 ).
∠C
1
AD
为
AC
1
与平面
ABB
1
A
1
所成的角
cos∠C
1
AD=
又因为
∠C
1
AD∈ ,
所以
∠C
1
AD= .
答案
:
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