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- 2021-06-16 发布
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10.1.1
有限样本空间与随机事件
10.1.2
事件的关系和运算
课标阐释
思维脉络
1
.
理解有限样本空间、样本空间、样本点的概念
.
(
数学抽象
)
2
.
理解必然事件、不可能事件、随机事件、基本事件的含义及其关系
.
(
数学抽象
)
3
.
理解事件
A
与事件
B
之间的
关
系
,
及并事件、交事件、事件互斥、事件互为对立等相关概念
.
(
数学抽象
)
激趣诱思
知识点拨
体育彩票摇奖时
,
将
10
个质地和大小完全相同的小球标上号码
,
分别为
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
然后放入摇奖器中经过充分搅拌后先后摇出两个小球
,
观察该球的号码
,
那么这个试验的结果共有多少种情况
?
如何表示这些结果
?
如果改为抽取时先抽出一球
,
放回后再抽出一球
,
观察该球的号码
,
那么这个试验的结果共有多少种情况
?
激趣诱思
知识点拨
知识点一、有限样本空间的相关概念
1
.
随机试验
:
我们把对随机现象的
实现
和对它的
观察
称为随机试验
,
简称
试验
,
常用字母
E
表示
.
说明
:
本节中我们研究的是具有以下特点的随机试验
.
(1)
试验可以在相同条件下重复进行
;
(2)
试验的所有可能结果是明确可知的
,
并且不止一个
;
(3)
每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个
,
但事先不能确定出现哪一个结果
.
激趣诱思
知识点拨
2
.
样本点
:
我们把随机试验
E
的
每个可能的基本结果
称为样本点
,
一般用
ω
表示样本点
.
3
.
样本空间
:
全体样本点的
集合
称为试验
E
的样本空间
,
一般用
Ω
表示样本空间
.
4
.
有限样本空间
:
如果一个随机试验有
n
个可能结果
ω
1
,
ω
2
,…,
ω
n
,
则称样本空间
Ω=
{
ω
1
,
ω
2
,…,
ω
n
}
为有限样本空间
,
也就是说
Ω
为有限集的情况即为有限样本空间
.
名师点析
样本点与样本空间的关系可联想元素与集合的关系来理解记忆
.
注意
:
试验不同
,
对应的样本空间也不同
;
同一试验
,
若试验的目的不同
,
则对应的样本空间也不同
.
激趣诱思
知识点拨
微思考
抛掷两枚骰子
,
观察它们落地时朝上面的点数情况
,
你能写出该试验的样本空间吗
?
提示
:
可以考虑用有序数对
(
a
,
b
)
来表示试验的结果
.
其中
a
表示其中一枚骰子的点数
,
b
表示另一枚骰子的点数
,
则有
Ω=
{(
a
,
b
)
|
1≤
a
≤6,1≤
b
≤6,
且
a
,
b
∈
N
*
},
当然
Ω
还可以用列举法进行表示
,
该样本空间中有
36
个样本点
.
激趣诱思
知识点拨
微练习
袋中装有大小相同的红、白、黄、黑
4
个球
,
分别写出以下随机试验的样本空间
.
(1)
从中任取
1
球
;
(2)
从中任取
2
球
.
解
:
(1)
Ω=
{
红
,
白
,
黄
,
黑
}
.
(2)
若记
(
红
,
白
)
表示一次试验中取出的是红球与白球
,
则
Ω=
{(
红
,
白
),(
红
,
黄
),(
红
,
黑
),(
白
,
黄
),(
白
,
黑
),(
黄
,
黑
)}
.
激趣诱思
知识点拨
知识
点二、事件的概念及分类
1
.
随机事件
:
样本空间
Ω
的
子集
称为随机事件
,
简称
事件
.
2
.
基本事件
:
只包含
一个样本点
的事件称为基本事件
.
3
.
事件
A
发生
:
在每次试验中
,
当且仅当
A
中某个样本点出现时
,
称为事件
A
发生
.
4
.
必然事件
:
Ω
作为自身的子集
,
包含了所有的样本点
,
在每次试验中总有一个样本点发生
,
所以
Ω
总会发生
,
我们称
Ω
为必然事件
.
5
.
不可能事件
:
空间
⌀
不包含任何样本点
,
在每次试验中都不会发生
,
我们称
⌀
为不可能事件
.
说明
:(1)
为了方便统一处理
,
将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形
.
(2)
每个事件都是样本空间
Ω
的一个子集
.
激趣诱思
知识点拨
名师点析
应该注意事件发生的结果是相对应于
“
一定条件
”
而言的
.
故要弄清某一随机事件
,
必须明确何为事件发生的条件
.
随机事件发生有可能性大小之分
.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)
已知集合
A
是集合
B
的真子集
,
则下列关于非空集合
A
,
B
的四个说法
:
①
若任取
x
∈
A
,
则
x
∈
B
是必然事件
;
②
若任取
x
∉
A
,
则
x
∈
B
是不可能事件
;
③
若任取
x
∈
B
,
则
x
∈
A
是随机事件
;
④
若任取
x
∉
B
,
则
x
∉
A
是必然事件
.
其中正确的说法有
(
)
A.1
个
B.2
个
C.3
个
D.4
个
解析
:
∵
集合
A
是集合
B
的真子集
,
∴
A
中的任意一个元素都是
B
中的元素
,
而
B
中至少有一个元素不在
A
中
,
因此
①
正确
,
②
错误
,
③
正确
,
④
正确
.
答案
:
C
激趣诱思
知识点拨
(2)
判断下列说法是否正确
,
正确的在后面的括号内打
“
√
”,
错误的打
“
×
”
.
①
从集合的角度看
,
事件
⌀
与事件
Ω
的关系为
⌀⊆
Ω.
(
)
②
必然事件也可能不发生
,
不可能事件一定不能发生
.
(
)
③
只有当
A
中的样本点都发生了
,
事件
A
才发生
.
(
)
答案
:
①
√
②
×
③
×
激趣诱思
知识点拨
知识点三、利用集合的知识研究
随机事件
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)
掷一颗骰子
,
统计正面向上的点数
.
记
“
出现
5
点
”
=A
,“
出现
3
点
”
=B
,“
出现
1
点
”
=C
,
则
“
出现奇数点
”
这一事件可表示为
.
事件
A
∪
B
与事件
C
是否互为对立事件
,
(
填
“
是
”
或
“
否
”)
.
答案
:
A
∪
B
∪
C
否
(2)
有甲、乙两台机床
,
记
“
甲正常工作
”
=A
,“
乙正常工作
”
=B
,
则
AB
表示
,“
甲不能正常工作
”
可记为
.
答案
:
“
甲、乙同时正常工作
”
激趣诱思
知识点拨
(3)
判断下列说法是否正确
,
正确的在后面的括号内打“
√
”
,
错误的打“
×”
.
③
事件
A
,
B
,
C
至少有两个发生可表示为
A
∪
B
∪
C.
(
)
④
若事件
A
与事件
B
互为对立事件
,
则事件
A
与事件
B
一定为互斥事件
.
(
)
答案
:
①√
②√
③
×
④√
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
试验的样本空间
例
1
某人做试验
,
从一个装有标号为
1,2,3,4
的小球的盒子中
,
无放回地取两个小球
,
每次取一个
,
先取的小球的标号为
x
,
后取的小球的标号为
y
,
这样构成有序实数对
(
x
,
y
)
.
(1)
写出这个试验的样本空间
;
(2)
写出
“
第一次取出的小球上的标号为
2”
这一事件
.
分析
利用列举法按照一定的顺序逐个列举即可
.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解
:
(1)
当
x=
1
时
,
y=
2,3,4;
当
x=
2
时
,
y=
1,3,4;
当
x=
3
时
,
y=
1,2,4;
当
x=
4
时
,
y=
1,2,3
.
因此
,
这个试验的样本空间是
Ω=
{(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}
.
(2)
记
“
第一次取出的小球上的标号为
2”
为事件
A
,
则
A=
{(2,1),(2,3),(2,4)}
.
反思感悟
随机事件的结果是相对于条件而言的
,
要弄清某一随机事件的结果
,
首先必须明确事件发生的条件
.
在写试验结果时
,
要按照一定的顺序采用列举法写出
,
注意不能重复也不能遗漏
.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究
1
若将本例中的条件改为有放回地取两个小球呢
?
每次取一个
,
先取的小球的标号为
x
,
看清编号后放回盒子摇匀
,
再取一个小球的标号为
y
,
这样构成有序实数对
(
x
,
y
)
.
试写出这个试验的样本空间
.
解
:
当
x=
1
时
,
y
可取
1,2,3,4
.
同理
,
x=
2,3,4
时
,
对应的不同的试验结果也有
4
个
.
所以这个试验的样本空间为
Ω=
{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}
.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究
2
若将本例中的条件改为无放回地取三个小球呢
?
每次取一个
,
先取的小球的标号为
x
,
后取的小球的标号为
y
,
最后取的小球的标号为
z
,
这样构成有序实数对
(
x
,
y
,
z
)
.
试写出这个试验的样本空间
.
解
:
当
x=
1
时
,
y
可取
2,3,4
.
若
y=
2,
则
z
可取
3,4;
若
y=
3,
则
z
可取
2,4;
若
y=
4,
则
z
可取
2,3
.
同理
,
x=
2,3,4
时
,
对应的不同的试验结果也有
6
个
.
所以
,
这个试验的样本空间是
Ω=
{(1,2,3),(1,2,4),(1,3,2),(1,3,4),(1,4,2),(1,4,3),(2,1,3),(2,1,4),(2,3,1),(2,3,4),(2,4,1),(2,4,3),(3,1,2),(3,1,4),(3,2,1),(3,2,4),(3,4,2),(3,4,1),(4,1,2),(4,1,3),(4,2,1),(4,2,3),(4,3,2),(4,3,1)}
.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
随机事件的概念及分类
例
2
(1)(2020
辽宁高一期末
)
以下的随机事件中不是必然事件的是
(
)
A
.
标准大气压下
,
水加热到
100
℃
,
必会沸腾
B
.
长和宽分别为
a
,
b
的矩形
,
其面积为
a
×
b
C
.
走到十字路口
,
遇到红灯
D
.
三角形内角和为
180°
(2)(2020
辽宁鞍山一中高一期末
)
下列事件中
,
是必然事件的是
(
)
A.
任意买一张电影票
,
座位号是
2
的倍数
B.12
个人中有两个人生肖相同
C.
买了一注彩票中一等奖
D.
实数
a+b=b+a
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解析
:
(1)
在
A
中
,
标准大气压下
,
水加热到
100
℃
,
必会沸腾是必然事件
,
故
A
不符合题意
;
在
B
中
,
长和宽分别为
a
,
b
的矩形
,
其面积为
a
×
b
是必然事件
,
故
B
不符合题意
;
在
C
中
,
走到十字路口
,
遇到红灯是随机事件但不是必然事件
,
故
C
符合题意
;
在
D
中
,
三角形内角和为
180°
是必然事件
,
故
D
不符合题意
.
(2)
四个选项都是随机事件
,
但选项
A,B,C
中的事件都不确定发生
,
因此都不是必然事件
,
只有选项
D
总会发生
,
因此是必然事件
.
答案
:
(1)C
(2)D
反思感悟
1
.
要判断一个事件是必然事件、随机事件
,
还是不可能事件
,
要从定义出发
.
2
.
必然事件和不可能事件不具有随机性
,
但为了统一处理
,
将必然事件和不可能事件作为随机事件的特殊情形
,
具有随机性的和不具有随机性的事件都可以理论上认为是随机事件
.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练
1
从
6
个篮球、
2
个排球中任选
3
个球
,
则下列事件中
,
不可能事件是
(
)
A.3
个都是篮球
B.
至少有
1
个是排球
C.3
个都是排球
D.
至少有
1
个是篮球
解析
:
根据题意
,
从
6
个篮球、
2
个排球中任选
3
个球
,
四个选项都是随机事件
,
进一步
C
是不可能事件
,D
是必然事件
.
答案
:
C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
互斥事件、对立事件的判断
例
3
(2020
山东潍坊高一检测
)
把红、黄、蓝、白
4
张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁
4
个人
,
每人分得一张
,
事件
“
甲分得红牌
”
与事件
“
乙分得红牌
”
是
(
)
A.
对立事件
B.
互斥但不对立事件
C.
不可能事件
D.
以上都不对
分析
由题意可知事件
“
甲分得红牌
”
与
“
乙分得红牌
”
不会同时发生
,
但除了
“
甲分得红牌
”
与
“
乙分得红牌
”
之外
,
还有
“
丙分得红牌
”
和
“
丁分得红牌
”,
则两者不是对立事件
.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解析
:
根据题意
,
把红、黄、蓝、白四张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四个人
,
事件
“
甲分得红牌
”
与
“
乙分得红牌
”
不会同时发生
,
则两者是互斥事件
,
但除了
“
甲分得红牌
”
与
“
乙分得红牌
”
之外
,
还有
“
丙分得红牌
”
和
“
丁分得红牌
”,
则两者不是对立事件
.
∴
事件
“
甲分得红牌
”
与
“
乙分得红牌
”
是互斥但不对立事件
.
故选
B
.
答案
:
B
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
1
.
一般判断互斥事件或对立事件从集合的角度来认识
,
若
A
∪
B=Ω
,
A
∩
B=
⌀
,
则称事件
A
与事件
B
互为对立
;
若
A
∩
B=
⌀
,
则称事件
A
与事件
B
互斥
(
互不相容
)
.
对于本例中的问题
,
要把样本空间明确
,
再进行分析
.
2
.
判互斥事件的步骤
(1)
确定每个事件包含的结果
;
(2)
确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生
,
若是
,
则两事件不互斥
,
否则就是互斥的
.
3
.
判对立事件的步骤
(1)
判断是互斥事件
;
(2)
确定两个事件必然有一个发生
,
否则只有互斥
,
但不对立
.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练
2
从装有
3
个红球和
2
个白球的口袋中随机取出
3
个球
,
则事件
“
取出
1
个红球和
2
个白球
”
的对立事件是
(
)
A.
取出
2
个红球和
1
个白球
B.
取出的
3
个球全是红球
C.
取出的
3
个球中既有红球也有白球
D.
取出的
3
个球中不止一个红球
解析
:
从装有
3
个红球和
2
个白球的口袋中随机取出
3
个球
,
则事件
“
取出
1
个红球和
2
个白球
”
的对立事件是取出的
3
个球中至少有两个红球
.
故选
D
.
答案
:
D
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
用简单事件的和或积表示复杂
事件
例
4
已知
电路图
,
其中记
A
1
=
“
开关
K
1
合上
”,
A
2
=
“
开关
K
2
合上
”
.
则
A
1
A
2
表示的含义是
.
答案
:
开关
K
1
,K
2
同时合上
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
例
5
盒子里有
6
个红球
,4
个白球
,
现从中任取
3
个球
,
设事件
A=
“3
个球中有
1
个红球
,2
个白球
”,
事件
B=
“3
个球中有
2
个红球
,1
个白球
”,
事件
C=
“3
个球中至少有
1
个红球
”,
事件
D=
“3
个球中既有红球又有白球
”
.
问
:
(1)
事件
D
与
A
,
B
是什么样的运算关系
?
(2)
事件
C
与
A
的交事件是什么事件
?
分析
事件间运算的类型
:
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解
:
(1)
对于事件
D
,
可能的结果为
1
个红球
2
个白球或
2
个红球
1
个白球
,
故
D=A
∪
B.
(2)
对于事件
C
,
可能的结果为
1
个红球
2
个白球
,2
个红球
1
个白球
,3
个均为红球
,
故
C
∩
A=A.
反思感悟
进行事件运算时应注意的问题
(1)
进行事件的运算时
,
一是要紧扣运算的定义
,
二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果
,
必要时可利用
Venn
图或列出全部的试验结果进行分析
.
(2)
在一些比较简单的题目中
,
需要判断事件之间的关系时
,
可以根据常识来判断
.
但如果遇到比较复杂的题目
,
就得严格按照事件之间关系的定义来推理
.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练
3
在掷质地均匀的骰子的试验中
,
可以定义许多事件
.
例如
:
C
1
=
“
出现
1
点
”,
C
2
=
“
出现
2
点
”,
C
3
=
“
出现
3
点
”,
C
4
=
“
出现
4
点
”,
C
5
=
“
出现
5
点
”,
C
6
=
“
出现
6
点
”,
D
1
=
“
出现的点数不大于
1”,
D
2
=
“
出现的点数大于
3”,
D
3
=
“
出现的点数小于
5”,
E=
“
出现的点数小于
7”,
F=
“
出现的点数为偶数
”,
G=
“
出现的点数为奇数
”,
请根据上述定义的事件
,
回答下列问题
.
(1)
请列出事件
D
2
,
事件
F
包含的事件及符合相等关系的事件
;
(2)
利用和事件的定义
,
判断上述哪些事件是和事件
.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解
:
(1)
事件
D
2
包含事件
C
4
,
C
5
,
C
6
.
事件
F
包含事件
C
2
,
C
4
,
C
6
.
事件
C
1
与事件
D
1
相等
,
即
C
1
=D
1
.
(2)
因为
D
2
=
“
出现的点数大于
3”
=
“
出现
4
点或出现
5
点或出现
6
点
”,
所以
D
2
=C
4
∪
C
5
∪
C
6
,
所以事件
D
2
为和事件
.
同理可得事件
D
3
,
事件
E
,
事件
F
,
事件
G
均为和事件
.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练
4
(2020
全国高一课时练习
)
从一批
100
件的产品中每次取出一个
(
取后不放回
),
假设
100
件产品中有
5
件是次品
,
用事件
A
k
表示第
k
次取到次品
(
k=
1,2,3),
试用
A
1
,
A
2
,
A
3
表示下列事件
.
(1)
三次全取到次品
;
(2)
只有第一次取到次品
;
(3)
三次中至少有一次取到次品
;
(4)
三次中恰有两次取到次品
;
(5)
三次中至多有一次取到次品
.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
分类讨论与数形结合思想的应用
典例
先后抛掷两枚质地均匀的硬币
,
则
:
(1)
一共可能出现多少种不同的结果
?
(2)
出现
“
一枚正面
,
另一枚反面
”
的情况有几种
?
解
:
(1)(
方法一
)
一共可能出现
“
两枚正面
”“
两枚反面
”“
一枚正面
,
一枚反面
”“
一枚反面
,
一枚正面
”4
种不同的结果
.
(
方法二
)
借助树状图列出试验所有可能结果
.
共
4
种不同的结果
.
(2)
出现
“
一枚正面
,
另一枚反面
”
的情况有
2
种
.
方法点睛
(1)
把握随机试验的实质
,
明确一次试验的含义
.
(2)
按一定的顺序用有序数组的形式写出
,
要不重不漏
.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练
一个家庭有两个小孩儿
,
则可能的结果为
(
)
A.{(
男
,
女
),(
男
,
男
),(
女
,
女
)}
B.{(
男
,
女
),(
女
,
男
)}
C.{(
男
,
男
),(
男
,
女
),(
女
,
男
),(
女
,
女
)}
D.{(
男
,
男
),(
女
,
女
)}
解析
:
随机试验的所有结果要保证等可能性
.
两小孩儿有大小之分
,
所以
(
男
,
女
)
与
(
女
,
男
)
是不同的结果
,
故选
C
.
答案
:
C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
1
.
(2020
全国高一课时练习
)
下列事件
:
①
连续两次抛掷同一骰子
,
两次都出现
2
点
;
②
走到十字路口
,
遇到绿灯
;
③
异性电荷相互吸引
;
④
掷一石块
,
下落
.
其中是随机事件的个数是
(
)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析
:
由随机事件的概念可知
①②
是随机事件
,
③④
是必然事件
,
也属于随机事件的极端情形
.
答案
:
D
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
2
.
抽查
10
件产品
,
设
“
至少抽到
2
件次品
”
为事件
A
,
则
A
的对立事件是
(
)
A.
至多抽到
2
件次品
B.
至多抽到
2
件正品
C.
至少抽到
2
件正品
D.
至多抽到
1
件次品
解析
:
抽查
10
件产品
,
设
“
至少抽到
2
件次品
”
为事件
A
,
则
为
至多抽到一件次品
.
故选
D
.
答案
:
D
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
3
.
一箱产品中有正品
4
件
,
次品
3
次
,
从中任取
2
件
,
下列四组事件
:
①
恰有一件次品和恰有两件次品
;
②
至少有一件次品和全是次品
;
③
至少有一件正品和至少有一件次品
;
④
至少有一件次品和全是正品
.
其中两个事件互斥的是
.
(
填序号
)
解析
:
∵
从一箱产品中任取
2
件
,
观察正品件数和次品件数
,
其中正品、次品都多于
2
件
,
∴
恰有一件次品和恰有两件次品是互斥的
,
至少有一件次品和全是正品是互斥的
,
∴①④
是互斥事件
.
答案
:
①④
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
4
.
下列事件是随机事件的有
.
(
填序号
)
①
北京每年
1
月
1
日刮西北风
;
②
当
x
为实数时
,2
x+
1
>
0;
③
手电筒的电池没电
,
灯泡发亮
;
④
函数
f
(
x
)
=
3
x
没有零点
.
解析
:
①②
是随机事件
,
③
是不可能事件
,
属于随机事件的极端情形
,
④
是必然事件
,
也属于随机事件的极端情形
.
答案
:
①②③④
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
5
.
设集合
M=
{1,2,3,4},
a
∈
M
,
b
∈
M
,(
a
,
b
)
是一个基本事件
.
(1)“
a+b=
5”
这一事件包含哪几个基本事件
?“
a<
3
且
b>
1”
呢
?
(2)“
ab=
4”
这一事件包含哪几个基本事件
?“
a=b
”
呢
?
解
:
这个试验的样本空间
Ω=
{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}
.
(1)“
a+b=
5”
这一事件包含以下
4
个基本事件
:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)
.
“
a<
3
且
b>
1”
这一事件包含以下
6
个基本事件
:(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)
.
(2)“
ab=
4”
这一事件包含以下
3
个基本事件
:(1,4),(2,2),(4,1)
.
“
a=b
”
这一事件包含以下
4
个基本事件
:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)
.
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