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- 2021-06-16 发布
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[练案53]第四讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
A组基础巩固
一、单选题
1.(2019·温州十校联考)对任意的实数k,直线y=kx-1与圆C:x2+y2-2x-2=0的位置关系是( C )
A.相离 B.相切
C.相交 D.以上三个选项均有可能
[解析] 直线y=kx-1恒经过点A(0,-1),圆x2+y2-2x-2=0的圆心为C(1,0),半径为,而|AC|=<,故直线y=kx-1与圆x2+y2-2x-2=0相交.
2.(2020·河南八市质检)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为( B )
A.2x+y-5=0 B.2x+y-7=0
C.x-2y-5=0 D.x-2y-7=0
[解析] 由题意,过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则点(3,1)在圆上,圆心与切点连线的斜率为k==,∴切线的斜率为-2,则圆的切线方程为y-1=-2(x-3),即2x+y-7=0,选B.
3.(2019·山东济宁期末)圆C1:x2+(y-1)2=1与圆C2:(x+4)2+(y-1)2=4的公切线的条数为( A )
A.4 B.3
C.2 D.1
[解析] 两圆的圆心距|C1C2|=4>2+1,∴两圆外离,两圆的公切线有4条.
4.(2020·河北沧州段考)已知直线x+ay-1=0是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴,过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=( B )
A.2 B.6
C.4 D.2
[解析] ∵圆C:x2+y2-4x-2y+1=0,即(x-2)2+(y-1)2=4,∴圆心为C(2,1),半径为2.由题意可得,直线l:x+ay-1=0经过圆C的圆心(2,1),故有2+a-1=0,∴a=-1,点A(-4,-1).∵|AC|==2,|CB|=R=2,∴切线的长|AB|==6,故选B.
5.(2019·铜川模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2-4x=0及点A(-1,0),B(1,2).在圆C上存在点P,使得|PA|2+|PB|2=12,则点P的个数为( B )
A.1 B.2
C.3 D.4
- 7 -
[解析] 设P(x,y),则(x-2)2+y2=4,|PA|2+|PB|2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12,即x2+y2-2y-3=0,即x2+(y-1)2=4,因为|2-2|<<2+2,所以圆(x-2)2+y2=4与圆x2+(y-1)2=4相交,所以点P的个数为2.选B.
6.(2019·四川南充模拟)若直线l:y=kx+1被圆C:x2+y2-2x-3=0截得的弦最短,则直线l的方程是( D )
A.x=0 B.y=1
C.x+y-1=0 D.x-y+1=0
[解析] 依题意,直线l:y=kx+1过定点P(0,1).圆C:x2+y2-2x-3=0化为标准方程为(x-1)2+y2=4.故圆心为C(1,0),半径为r=2.则易知定点P(0,1)在圆内.由圆的性质可知当PC⊥l时,此时直线l:y=kx+1被圆C:x2+y2-2x-3=0截得的弦最短.因为kPC==-1,所以直线l的斜率k=1,即直线l的方程是x-y+1=0.
7.(2019·唐山模拟)若方程-x-m=0有实数解,则实数m的取值范围( B )
A.-4≤m≤4 B.-4≤m≤4
C.-4≤m≤4 D.4≤m≤4
[解析] 由题意知方程=x+m有实数解,分别作出y=与y=x+m的图象,若两图象有交点,需-4≤m≤4.
二、多选题
8.直线y=kx+3被圆(x-2)2+(y-3)2=4截得的弦长为2,则直线的倾斜角可能为( AD )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意可知,圆心P(2,3),半径r=2,∴圆心P到直线y=kx+3的距离d=,由d2+()2=r2,可得+3=4,解得k=±.设直线的倾斜角为α,则tan α=±,又α∈[0,π),∴α=或.
9.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的值可以是( AB )
A.1 B.2
C.3 D.4
[解析] x2+y2-4x=0,∴(x-2)2+y2=4,∵过P所作的圆的两条切线相互垂直,所以P、圆心C、两切点构成正方形,PC=2,由题意知,直线y=k(x+1)与以C为圆心,以2
- 7 -
eq
(2)为半径的圆(x-2)2+y2=8相交,∴d=≤2,即-2≤k≤2,故选AB.
10.(2020·山东德州期末)已知点A是直线l:x+y-=0上一定点,点P、Q是圆x2+y2=1上的动点,若∠PAQ的最大值为90°,则点A的坐标可以是( AC )
A.(0,) B.(1,-1)
C.(,0) D.(-1,1)
[解析] 如下图所示:
原点到直线l距离为d==1,
则直线l与圆x2+y2=1相切,
由图可知,当AP、AQ均为圆x2+y2=1的切线时,∠PAQ取得最大值,连接OP、OQ,由于∠PAQ的最大值为90°,且∠APO=∠AQO=90°,|OP|=|OQ|=1,
则四边形APOQ为正方形,所以|OA|=|OP|=,
由两点间的距离公式得
|OA|==,
设A(t,-t)
整理得2t2-2t=0,解得t=0或,因此,点A的坐标为(0,)或(,0),故选AC.
三、填空题
11.自圆外一点P作圆x2+y2=1的两条切线PM,PN(M,N为切点),若∠MPN=90°,则动点P的轨迹方程是__x2+y2=2__.
[解析] 由题意知四边形OMPN是正方形,所以|OP|=,于是点P的轨迹是圆心在原点,半径为的圆,其方程是x2+y2=2.
12.(2019·安徽安庆五校联盟联考)当圆C:x2+y2-4x+6y-3=0的圆心到直线l:mx+y+m-1=0的距离最大时,m= - .
[解析] ∵圆C的方程为(x-2)2+(y+3)2=16,
∴圆C的圆心C(2,-3),
- 7 -
∵直线l的方程为mx+y+m-1=0,
∴直线l过定点A(-1,1),
∴圆心到直线l:mx+y+m-1=0的距离最大为圆心C与点A(-1,1),之间的距离
∴kl·kAC=-1,即-m·=-1,
∴m=-.
13.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为2,则a=__1__.
[解析] 两圆的方程相减,得公共弦所在的直线方程为(x2+y2+2ay-6)-(x2+y2)=0-4⇔y=,又a>0,结合图形,利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形,可知==1⇒a=1.
四、解答题
14.(2019·江西赣州)已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若不经过坐标原点的直线l与圆C相切,且直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;
(2)设点P在圆C上,求点P到直线x-y-5=0距离的最大值与最小值.
[解析] (1)圆C的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=2,即圆心的坐标为(-1,2),半径为,因为直线l在两坐标轴上的截距相等且不经过坐标原点,所以可设直线l的方程为x+y+m=0,于是有=,得m=1或m=-3,
因此直线l的方程为x+y+1=0或x+y-3=0.
(2)因为圆心(-1,2)到直线x-y-5=0的距离为=4,所以点P到直线x-y-5=0距离的最大值与最小值分别为5和3.
15.(2017·课标Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1),当m变化时,解答下列问题:
(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;
(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
[解析] (1)不能出现AC⊥BC的情况,理由如下:
设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,
所以x1x2=-2.
又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为· =-,所以不能出现AC⊥BC的情况.
(2)证明:由BC的中点坐标为(,),
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可得BC的中垂线方程为y-=x2(x-).
由(1)可得x1+x2=-m,
所以AB的中垂线方程为x=-.
联立又x+mx2-2=0,
可得
所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为(-,-),
半径r=.
故圆在y轴上截得的弦长为2=3,
即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
B组能力提升
1.(2018·课标Ⅲ卷)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是( A )
A.[2,6] B.[4,8]
C.[,3] D.[2,3]
[解析] 由圆(x-2)2+y2=2可得圆心坐标为(2,0),半径r=,△ABP的面积记为S,点P到直线AB的距离记为d,则有S=|AB|·d.易知|AB|=2,dmax=+=3,dmin=-=,所以2≤S≤6,故选A.
2.(2019·山东济宁期末)已知圆M:(x-a)2+y2=4(a>0)与圆N:x2+(y-1)2=1外切,则直线x-y-=0被圆M截得线段的长度为( D )
A.1 B.
C.2 D.2
[解析] 由题意,=2+1,
∴a=2,圆心M(2,0)到直线x-y-=0的距离d==1,
∴直线x-y-=0被圆M截得线段的长度为2=2,故选D.
3.(2020·枣庄模拟)已知点A(0,-6),B(0,6),若对圆(x-a)2+(y-3)2=4上任意一点P,都有∠APB为锐角,则实数a的取值范围是( D )
A.(-5,5)
B.(-,)
C.(-∞,-5)∪(5,+∞)
- 7 -
D.(-∞,-)∪(,+∞)
[解析] 若对圆(x-a)2+(y-3)2=4上任意一点P,都有∠APB为锐角,则圆(x-a)2+(y-3)2=4与圆x2+y2=36外离,即圆心距大于两圆的半径之和,>6+2,解得a2>55,a>或a<-.选D.
4.(2020·安徽“江南十校”联考)已知圆C的圆心在直线x+y=0上,圆C与直线x-y=0相切,且在直线x-y-3=0上截得的弦长为,则圆C的方程为__(x-1)2+(y+1)2=2__.
[解析] 解法一:所求圆的圆心在直线x+y=0上,
∴设所求圆的圆心为(a,-a).
又∵所求圆与直线x-y=0相切,
∴半径r==|a|.
又所求圆在直线x-y-3=0上截得的弦长为,
圆心(a,-a)到直线x-y-3=0的距离d=,
∴d2+()2=r2,即+=2a2,
解得a=1,∴圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
解法二:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
则圆心(a,b)到直线x-y-3=0的距离d=,
∴r2=+,即2r2=(a-b-3)2+3.①
由于所求圆与直线x-y=0相切,∴(a-b)2=2r2.②
又∵圆心在直线x+y=0上,∴a+b=0.③
联立①②③,解得
故圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
5.(2019·天津市和平区模拟)已知a,b为正数,若直线2ax+by-2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为2,则a的最大值是 .
[解析] 由题意知圆心到直线的距离d==1,∴=1,即4a2+b2=4.∴a=·2a·≤·=(当且仅当a=,b=时取等号).
6.(2020·湖南省东部六校联考)已知直线l:4x+3y+10=0,半径为2的圆C与l相切,圆心C在x轴上且在直线l的右上方.
- 7 -
(1)求圆C的方程;
(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A,B两点(A在x轴上方),问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分∠ANB?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
[解析] (1)设圆心C(a,0)(a>-),
则=2,解得a=0或a=-5(舍).
所以圆C:x2+y2=4.
(2)如图,当直线AB⊥x轴时,x轴平分∠ANB.
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由得,(k2+1)x2-2k2x+k2-4=0,
所以x1+x2=,x1x2=.
若x轴平分∠ANB,
则kAN=-kBN⇒+=0
⇒+=0
⇒2x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=0
⇒-+2t=0
⇒t=4.
所以当点N为(4,0)时,能使得∠ANM=∠BNM总成立.
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