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- 2021-06-16 发布
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课时提升作业 五
综 合 法
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)
1.(2016·三明高二检测)在△ABC 中,若 sinAsinB0.即 cosC<0,
所以 C 为钝角,即△ABC 为钝角三角形.
2.(2016·济宁高二检测)命题“对任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的证明过程:“cos4θ
-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”应用了( )
A.分析法 B.综合法
C.分析法与综合法 D.演绎法
【解析】选 B.证明过程是由已知条件入手利用有关公式进行证明的,属于综合法,即证明过
程应用了综合法.
3.(2016·德州高二检测)在 R 上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足 x☉(x-2)<0 的实数 x 的
取值范围为 ( )
A.(0,2) B.(-2,1)
C.(-1,2) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
【解析】选 B,由题意知 x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2<0.
解得-20,b>0,若 是 3a 与 3b 的等比中项,则 + 的最小值为 ( )
A.8 B.4 C.1 D.
【解析】选 B.因为 是 3a 与 3b 的等比中项,
所以 3a·3b=3,即 a+b=1.
又 a>0,b>0,
所以 ≤ = ,得 ab≤ .
故 + = = ≥ =4.
即 + 的最小值为 4.
5.(2016·阜阳高二检测)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),称f(x)
为“局部奇函数”,若 f(x)=4x-m2x+1+m2-3 为定义域 R 上的“局部奇函数”,则实数 m 的取值
范围是 ( )
A.1- ≤m≤1+ B.1- ≤m≤2
C.-2 ≤m≤2 D.-2 ≤m≤1-
【解析】选 B.因为 f(x)为“局部奇函数”,所以存在实数 x 满足 f(-x)=-f(x),即
4-x-2m2-x+m2-3=-4x+2m2x-m2+3,
令 t=2x(t>0),则 +t2-2m +2m2-6=0,
-2m +2m2-8=0 在 t∈(0,+∞)上有解,
再令h= +t(h≥2),则g(h)=h2-2mh+2m2-8=0在h∈[2,+∞)上有解,函数关于h的对称轴为h=m,
①当 m≥2 时,g(h)≥g(m),所以 g(m)=m2-2m2+2m2-8≤0,解得 2≤m≤2 ;②当 m<2 时,则
g(2)=4-4m+2m2-8≤0,即 m2-2m-2≤0,解得 1- ≤m<2.综合①②,可知 1- ≤m≤2 .
二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)
6.(2016·江阳高二检测)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x).则 f(9)的值为
________.
【解析】因为 f(x+2)=-f(x),
所以 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即 T=4.
所以 f(9)=f(1)=-f(-1)=-f(1),
所以 f(1)=0 即 f(9)=0.
答案:0
7.(2016·石家庄高二检测)若 lgx+lgy=2lg(x-2y),则 lo =________.
【解析】由题设条件知
即 x2-5xy+4y2=0,
解得 =1 或 =4,
因为 x>2y,所以 =4,
即 log =lo 4=4.
答案:4
8.(2016·烟台高二检测)设 a>0,b>0,c>0 且 a+b+c=1.
则 + + 的最小值为________.
【解题指南】应用 a+b+c=1 代换应用基本不等式.
【解析】因为 a>0,b>0,c>0 且 a+b+c=1
所以 + + = + +
=3+ + +
≥3+2+2+2=9.
当且仅当 a=b=c 时等号成立.
答案:9
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
9.已知 x>0,y>0,x+y=1,
求证: ≥9.
【证明】因为 x+y=1,
所以 =
= =5+2 .
又因为 x>0,y>0,所以 >0, >0.
所以 + ≥2,
当且仅当 = ,即 x=y= 时取等号.
则有 ≥5+2×2=9 成立.
【一题多解】因为 x>0,y>0,1=x+y≥2 ,当且仅当 x=y= 时等号成立,
所以 xy≤ .
则有 =1+ + + =1+ + =1+ ≥1+8=9 成立.
10.如图,在四棱锥 P -ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=
60°,PA=AB=BC,点 E 是 PC 的中点.
(1)证明:CD⊥AE.
(2)证明:PD⊥平面 ABE.
【证明】(1)在四棱锥 P-ABCD 中,
因为 PA⊥底面 ABCD,CD⊂平面 ABCD,
所以 PA⊥CD.
因为 AC⊥CD,PA∩AC=A,
所以 CD⊥平面 PAC.
又因为 AE⊂平面 PAC,
所以 CD⊥AE.
(2)由 PA=AB=BC,∠ABC=60°,
可得 AC=PA.
因为点 E 是 PC 的中点,所以 AE⊥PC.
由(1)知,AE⊥CD,又 PC∩CD=C,
所以 AE⊥平面 PCD.
又因为 PD⊂平面 PCD,所以 AE⊥PD.
因为 PA⊥底面 ABCD,
所以平面 PAD⊥平面 ABCD.
又 AB⊥AD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,
所以 AB⊥平面 PAD,所以 AB⊥PD.
又因为 AB∩AE=A,
所以 PD⊥平面 ABE.
一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)
1.(2016·济南高二检测)在一个数列中,如果对任意 n∈N*,都有 anan+1an+2=K(K 为常数),那么
这个数列叫做等积数列,K 叫做这个数列的公积,已知数列{an}是等积数列,且 a1=1,a2=2,公积
K=8 则 a1+a2+a3+……+a12= ( )
A.24 B.28 C.32 D.36
【解析】选 B.由已知 anan+1an+2=8,an+1an+2an+3=8,
两式相除得 =1 即 an+3=an,
即此数列是一个以 3 为周期的数列.
由 a1a2a3=8 得 a3=4,所以 a1+a2+a3=7,
所以 a1+a2+a3+…+a12=4(a1+a2+a3)=4×7=28.
2.(2016·大连高二检测)在非等边三角形 ABC 中,∠A 为钝角,则三边 a,b,c 满足的条件是
( )
A.b2+c2≥a2 B.b2+c2>a2
C.b2+c2≤a2 D.b2+c20,b>0,所以 ≥ ,
所以 ≤1,
所以 ≤ ,
故 ≤ ≤ ,
又 f(x)=2x 为增函数,
所以 f ≤f( )≤f ,
即 C≤B≤A,当且仅当 a=b=c 时取等号.
答案:C≤B≤A
4.(2016·郑州高二检测)若不等式(-1)na<2+ 对任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取
值范围为________.
【解析】当 n 为偶数时,a<2- .
而 2- ≥2- = .故 a< ,①
当 n 为奇数时,a>-2- .
而-2- <-2,故 a≥-2,②
由①,②得-2≤a< .
答案:
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
5.已知 a+b+c=1,求证:ab+bc+ca≤ .
【解题指南】不等式左边为两两乘积的形式,而已知条件是 a+b+c=1,将已知平方可得 a,b,c
两两乘积及 a,b,c 的平方和的形式,然后可用基本不等式证明.
【证明】因为 a+b+c=1,
所以 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
又因为 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,
所以 2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca).
所以 a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
所以 1=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca).
所以 ab+bc+ca≤ .
6.(2014·山东高考)如图,四棱锥 P-ABCD 中,AP⊥平面 PCD,AD∥BC,AB=BC= AD,点 E,F 分别
为线段 AD,PC 的中点.
(1)求证:AP∥平面 BEF.
(2)求证:BE⊥平面 PAC.
【解题指南】(1)本题考查线面平行的证法,可利用线线平行,来证明线面平行.
(2)本题考查了线面垂直的判定,在平面 PAC 中找两条相交直线与 BE 垂直即可.
【证明】(1)连接 AC 交 BE 于点 O,连接 OF,CE,不妨设 AB=BC=1,则 AD=2,
因为 AB=BC= AD,AD∥BC,E 为 AD 的中点,所以四边形 ABCE 为菱形,所以 O 为 AC 的中点,
因为 O,F 分别为 AC,PC 中点,所以 OF∥AP,
又因为 OF⊂平面 BEF,AP⊄ 平面 BEF,
所以 AP∥平面 BEF.
(2)因为 AP⊥平面 PCD,CD⊂平面 PCD,
所以 AP⊥CD,
因为 BC∥ED,BC=ED,所以四边形 BCDE 为平行四边形,所以 BE∥CD,所以 BE⊥PA,
又因为四边形 ABCE 为菱形,所以 BE⊥AC,
又因为 PA∩AC=A,PA,AC⊂平面 PAC,
所以 BE⊥平面 PAC.
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