2020_2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1 50页

第 1 课时　并集、交集 必备知识 · 自主学习 导思 1. 两个集合的并集是由哪些元素构成的？用什么符号表示两个集合的并集？ 2. 两个集合的交集是由哪些元素构成的？用什么符号表示两个集合的交集？ 1. 并集 (1) 定义 (2) 本质：由 A ， B 两个集合确定一个新的集合，此集合是所有 A ， B 中的元素组成的集合，这个集合中的元素至少具有集合 A 或集合 B 的属性之一 . (3) 作用： ①依据定义求两个集合的并集；②求参数的值或范围 . 【 思考 】 “ x∈A 或 x∈B ” 包含哪几种情况？如何用 Venn 图表示？ 提示： “ x∈A 或 x∈B ” 这一条件包括下列三种情况： x∈A ，但 x∉B ； x∈B ，但 x∉A ； x∈A ，且 x∈B. 用 Venn 图表示如图所示 . 2. 交集 (1) 定义 (2) 本质：由 A ， B 两个集合确定一个新的集合，此集合是 A ， B 中的公共元素组成的集合，这个集合中的元素同时具有集合 A 和集合 B 的属性 . (3) 作用：①依据定义求两个集合的交集；②求参数的值或范围 . 3. 并集与交集的性质 (1)A∩A=__ ， A∩⌀= __ .(2)A∪A=__ ， A∪⌀=__. A ⌀ A A 【 思考 】 (1) 对于任意两个集合 A ， B ， A∩B 与 A 有什么关系？ A∪B 与 A 有什么关系？ (2) 设 A ， B 是两个集合，若已知 A∩B=A ， A∪B=B ，则集合 A 与 B 之间有何关系？ 提示： (1)(A∩B)⊆A ， A⊆(A∪B).(2) 若 A∩B=A ，则 A⊆B ； 若 A∪B=B ，则 A⊆B. 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”，错的打“ ×”) (1) 若 A ， B 中分别有 3 个元素，则 A∪B 中必有 6 个元素 . ( 　　 ) (2) 若 A∩B= ，则 A=B= . ( 　　 ) (3)N∩N * =N * ， N∪N * =N. ( 　　 ) (4) 若 x∈(A∩B) ，则 x∈(A∪B). ( 　　 ) 提示： (1) × . 当 A ， B 有公共元素时， A∪B 中元素个数小于 6. (2) × . 例如对于 A={x|x>11} ， B={x|x<2} ， A∩B= . (3)√. 因为 N * N ，所以 N∩N * =N * ， N∪N * =N. (4)√. 因为 (A∩B)⊆(A∪B) ，所以若 x∈(A∩B) ，则 x∈(A∪B). 2.( 教材二次开发：例题改编 ) 若集合 A={x|x>-1} ， B={x|-3-1} B.{x|x>-3} C.{x|-1-1} ， B={x|-3-3}. 3. 已知集合 则 A∩B= ( 　　 ) 【 解析 】 选 A. 由已知条件可得 A∩B= . 关键能力 · 合作学习 类型一　并集及其应用 ( 数学运算 ) 角度 1 　集合的并集运算  【 典例 】 (2020· 郑州高一检测 ) 定义集合的商集运算为 已知集合 A={2 ， 4 ， 6} ， B={x|x= -1 ， k∈A} ， 则集合 ∪ B 元素的个数为 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.7 B.8 C.9 D.10 【 思路导引 】 先求集合 B 是由哪些元素构成的，再依据“商集”的定义求 ， 最后求 ∪ B 并确定其元素个数 . 【 解析 】 选 A. 因为集合的商集运算为 集合 A={2 ， 4 ， 6} ， B= ={0 ， 1 ， 2} ， 所以 所以 所以集合 ∪ B 元素的个数为 7. 角度 2 　知并集求参数的值或范围  【 典例 】 (2020· 菏泽高一检测 ) 已知集合 A={x|x≤2} ， B={x|x>a} ，如果 A∪B=R ，那么 a 的取值范围是 _______.  【 思路导引 】 根据题意画数轴，分析实数 a 表示的点所在的位置 . 【 解析 】 根据题意画出数轴，表示集合 A 和 B ，如图所示， 由图可知，实数 a 的取值范围是 {a|a≤2}. 答案： {a|a≤2} 【 变式探究 】 本例条件若改为“ A={x|x<-1 或 x>5} ， B={x|a-1} ， B={x|x<2} ，则 A∩B= ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.{x|x>-1} B.{x|x<2} C.{x|-10}= ，求实数 p 的取值范围 . 【 思路导引 】 分析题意可知，解答本题可分 A= 和 A≠ 两种情况讨论 . 【 解析 】 因为 A∩{x∈R|x>0}= ， 所以若 A= ，则 Δ =4-4p<0 ，得 p>1 ； 若 A≠ ，则方程 x 2 +2x+p=0 的根都小于或等于 0. 设两根为 x 1 ， x 2 ， 则 综上所述， p≥0. 【 解题策略 】 1. 求集合 A∩B 的方法与步骤 (1) 步骤 ①首先要搞清集合 A ， B 的代表元素是什么 . ② 把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成 “ A∩B ” 的形式 . ③ 把化简后的集合 A ， B 的所有公共元素都写出来即可 ( 若无公共元素则所求交 集为 ). (2) 方法 ①若 A ， B 的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则 A∩B 是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集 . ② 若 A ， B 是无限数集，可以利用数轴来求解 . 但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示 . 2. 解答与交集有关的参数问题的依据和关注点 (1) 依据：交集的定义和求交集的方法和过程 . (2) 关注点：按照条件和集合元素的互异性进行检验 . 【 题组训练 】 1.(2020· 山东新高考模拟 ) 设集合 A={(x ， y)|x+y=2} ， B={(x ， y)|y=x 2 } ， 则集合 A∩B= ( 　　 ) A.{(1 ， 1)} B. {(-2 ， 4)} C. {(1 ， 1) ， (-2 ， 4)} D. 【 解析 】 选 C. 首先注意到集合 A 与集合 B 均为点集，联立 解得 从而集合 A∩B={(1 ， 1) ， (-2 ， 4)} ，选 C. 2. 若集合 A={x|2x+1>0} ， B={x|-15}. (1) 若 A∩B= ，求实数 a 的取值范围 . (2) 若 A∪B=B ，求实数 a 的取值范围 . 【 解析 】 (1) 因为 A∩B= ，所以 解得 -1≤a≤2. (2) 因为 A∪B=B ，所以 A⊆B ，所以 a>5 或 a+3<-1 ，即 a 的取值范围为 a>5 或 a<-4. 课堂检测 · 素养达标 1. 已知集合 A={x|x 2 -2x=0} ， B={0 ， 1 ， 2} ，则 A∩B 等于 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.{0} B.{0 ， 1} C.{0 ， 2} D.{0 ， 1 ， 2} 【 解析 】 选 C. 因为 A={x|x 2 -2x=0}={0 ， 2} ， B={0 ， 1 ， 2} ，所以 A∩B={0 ， 2}. 2. 已知集合 A={x|x<1} ， B={x|x<0} ，则 ( 　　 ) A.A∩B={x|x<0} B.A∪B=R C.A∪B={x|x>1} D.A∩B= ∅ 【 解析 】 选 A. 因为 A={x|x<1} ， B={x|x<0} ， 则 A∩B={x|x<0} ， A∪B={x|x<1}. 3. 若集合 A={x|x≥0} ，且 A∪B=A ，则集合 B 可能是 ( 　　 ) A.{1 ， 2} B.{x|x≤1} C.{-1 ， 0 ， 1} D.R 【 解析 】 选 A. 因为 A∪B=A ，所以 B ⊆ A ， 四个选项中，符合 B⊆A 的只有选项 A. 4.( 教材二次开发：练习改编 ) 已知集合 M={x|-35} ，则 M∪N=_____ ， M∩N=_______.  【 解析 】 借助数轴可知： M∪N={x|x>-5} ， M∩N={x|-3-5} 　 {x|-3