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- 2021-06-16 发布
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湖南省新田县第一中学高中数学 第一章 1.2.4 函数的最大值练习
新人教 B 版选修 2-2
班级___________ 姓名___________学号___________
1.函数 y=xe-x,x∈[0,4]的最大值是 ( ).
A.0 B.1
e
C.4
e4 D.2
e2
2.函数 f(x)=x3-3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围是( ).
A.[0,1) B.(0,1) C.(-1,1) D.
0,1
2
3.设 f(x)=x(ax2+bx+c)(a≠0)在 x=1 和 x=-1 处均有极值,则下列点中一定在 x 轴上
的是 ( ).
A.(a,b) B.(a,c) C.(b,c) D.(a+b,c)
4.已知函数 f(x)=2x3-6x2+m(m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么此函数在[-2,2]
上的最小值为 ( ).
A.-37 B.-29 C.-5 D.-11
5.函数 y=x+2cos x 在区间
0,π
2 上的最大值是________.
6.函数 f(x)=sin x+cos x 在 x∈
-π
2
,π
2 的最大、最小值分别是________.
7.函数 f(x)= 4x
x2+1
,x∈[-2,2]的最大值是________,最小值是________.
8.如果函数 f(x)=x3-3
2
x2+a 在[-1,1]上的最大值是 2,那么 f(x)在[-1,1]上的最小值
是________.
9.已知函数 f(x)=-x3+3x2+9x+a.
(1)求 f(x)的单调递减区间;
(2)若 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.
10.已知函数 f(x)=x2e-ax(a>0),求函数在[1,2]上的最大值.
1.函数 y=xe-x,x∈[0,4]的最大值是
( ).
A.0 B.1
e
C.4
e4 D.2
e2
解析 y′=e-x-x·e-x=e-x(1-x),令 y′=0,∴x=1,
∴f(0)=0,f(4)=4
e4,f(1)=e-1=1
e
,∴f(1)为最大值,故选 B.
答案 B
2.函数 f(x)=x3-3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围是
( ).
A.[0,1) B.(0,1)
C.(-1,1) D.
0,1
2
解析 ∵f′(x)=3x2-3a,令 f′(x)=0,可得 a=x2,
又∵x∈(0,1),∴0f(2)>f(-2),∴m=3,最小
值为 f(-2)=-37.
答案 A
9.函数 f(x)= 4x
x2+1
,x∈[-2,2]的最大值是________,最小值是________.
解析 ∵y′=4 x2+1 -2x·4x
x2+1 2 = -4x2+4
x2+1 2,
令 y′=0 可得 x=1 或-1.
又∵f(1)=2,f(-1)=-2,f(2)=8
5
,f(-2)=-8
5
,
∴最大值为 2,最小值为-2.
答案 2 -2
10.如果函数 f(x)=x3-3
2
x2+a 在[-1,1]上的最大值是 2,那么 f(x)在[-1,1]上的最小值
是________.
解析 f′(x)=3x2-3x,
令 f′(x)=0 得 x=0,或 x=1.
∵f(0)=a,f(-1)=-5
2
+a,
f(1)=-1
2
+a,∴f(x)max=a=2.
∴f(x)min=-5
2
+a=-1
2
.
答案 -1
2
11.已知函数 f(x)=-x3+3x2+9x+a.
(1)求 f(x)的单调递减区间;
(2)若 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.
解 (1)∵f′(x)=-3x2+6x+9.
令 f′(x)<0,解得 x<-1 或 x>3,
∴函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).
(2)∵f(-2)=8+12-18+a=2+a,
f(2)=-8+12+18+a=22+a,
∴f(2)>f(-2).
于是有 22+a=20,∴a=-2.
∴f(x)=-x3+3x2+9x-2.
∵在(-1,3)上 f′(x)>0,∴f(x)在[-1,2]上单调递增.
又由于 f(x)在[-2,-1]上单调递减,
∴f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,
∴f(-1)=1+3-9-2=-7,
即 f(x)最小值为-7.
12.(创新拓展)已知函数 f(x)=x2e-ax(a>0),求函数在[1,2]上的最大值.
解 ∵f(x)=x2e-ax(a>0),
∴f′(x)=2xe-ax+x2(-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x).
令 f′(x)>0,即 e-ax(-ax2+2x)>0,
得 02 时,f(x)在(1,2)上是减函数,
∴f(x)max=f(1)=e-a.
当 1≤2
a
≤2,即 1≤a≤2 时,
f(x)在
1,2
a 上是增函数,
在
2
a
,2
上是减函数,
∴f(x)max=f
2
a =4
a2e-2.
当2
a
>2,即 02 时,f(x)的最大值为 e-a.
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