安徽省蚌埠市2018届高三第三次质量检测 数学（文）（PDF版含答案） 7页

书书书 蚌埠市 ２０１８届高三年级第三次教学质量检查考试 数　　学（文史类） 一、选择题：本题共 １２小题，每小题 ５分，共 ６０分 在每小题给出的 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的  １已知集合 Ｐ ＝｛ｘ｜ｘ２ －４ｘ＜０｝，Ｑ ＝｛ｘ｜ｌｏｇ３ｘ＞０｝，则 Ｐ∩ Ｑ ＝ Ａ（０，１） Ｂ（０，３） Ｃ（１，４） Ｄ（４，＋∞） ２在复平面内，复数 ｚ＝ ｉ １＋ｉ＋ｉ２０１８对应的点位于 Ａ第一象限 Ｂ第二象限 Ｃ第三象限 Ｄ第四象限 ３已知命题 ｐ：ｍ∈ Ｒ，使 ｆ（ｘ）＝ｘ２ ＋ｍｘ是偶函数；ｑ：若 ａ＜ｂ，则 １ ａ ＞ １ ｂ，下列为真命题 的是 Ａｐ∧ ｑ Ｂｐ∧ ｑ Ｃｐ∧ ｑ Ｄｐ∧ ｑ ４双曲线ｘ２ ４ －ｙ２ ｂ２ ＝１的焦距为 ６，则其渐近线方程为 Ａｙ＝±槡２ｘ Ｂｙ＝± 槡２２ｘ Ｃｙ＝±５ ４ｘ Ｄｙ＝±槡５ ２ｘ ５已知 △ＡＢＣ，ＢＥ→ ＝２ＥＣ→ ，若ＡＢ→ ＝λＡＥ→ ＋μＡＣ→，则 λ＝ Ａ１ Ｂ２ Ｃ３ Ｄ４ ６《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠 日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半 问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两 只老鼠从墙的两边同时相向打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天 也进一尺，以后每天减半 ”如果这两只老鼠恰好用了 ６天把墙打穿，则墙厚为 Ａ８２５５ ６４ 尺 Ｂ１２９尺 Ｃ２０７９ ３２ 尺 Ｄ６５尺 第 ７题图 ７执行如图所示的程序框图，输出 ｓ的值为 Ａ－７ ５ Ｂ－１７ ３ Ｃ－２３ １１ Ｄ２３ １１ ８已知一个圆柱的侧面展开图是边长为 ２π的正方形，则该圆柱的外接球 表面积为 Ａπ（π２ ＋１） ４ Ｂ４π（π２ ＋１） Ｃπ２ ＋１ ４π Ｄ４π（π＋１） ）页４共（页１第卷试）文（学数级年三高市埠蚌 ９数列｛ａｎ｝的前 ｎ项和记为 Ｓｎ，ａｎ＋１ ＝ａｎ －ａｎ－１（ｎ∈ Ｎ ，ｎ≥ ２），ａ１ ＝２０１８，ａ２ ＝２０１７， 则 Ｓ１００ ＝ Ａ２０１６ Ｂ２０１７ Ｃ２０１８ Ｄ２０１９ １０已知函数 ｆ（ｘ）＝２－ｓｉｎ２ｘ－２｜ｘ｜，则 Ａｆ（ｘ）是偶函数，最大值为 １ Ｂｆ（ｘ）是偶函数，最小值为 ０ Ｃｆ（ｘ）是奇函数，最大值为 １ Ｄｆ（ｘ）是奇函数，最小值为 ０ 第 １１题图 １１已知点 Ｍ，Ｎ分别为正方体 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的棱 Ａ１Ｂ１与 ＡＡ１上的 点，且 Ｂ１Ｍ ＝２Ａ１Ｍ，ＡＮ＝２Ａ１Ｎ，面 ＤＭＮ与面 ＡＢＣＤ的交线记为 ｌ，则 ｌ与 Ａ１Ｃ１的位置关系是 Ａ相交 Ｂ平行 Ｃ垂直 Ｄ异面 １２已知抛物线 ｙ２ ＝４ｘ，Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）为抛物线上不同的两点，且 ｙ１ｙ２ ＝－４，延长 ＡＯ交 准线于点 Ｐ若 ｜ＰＢ｜＝ ３ ２，点 Ａ在第一象限，则直线 ＡＢ的斜率为 槡 槡Ａ１ Ｂ２ Ｃ２２ Ｄ ２ 二、填空题：本大题共 ４小题，每小题 ５分，共 ２０分 请将答案填在答题卷相应横线上  １３若方程 ｘ２ ＋ｙ２ －８ｘ＋２ｍｙ＋ｍ２ ＋ｍ＋１０＝０表示圆，则 ｍ的范围是  １４曲线 ｙ＝ｅｘ ＋ｃｏｓｘ在点（０，２）处的切线方程为  １５已知等差数列｛ａｎ｝前三项和 Ｓ３ ＝１５，且 ａ７ ＋ａ９ ＝３４，则数列 １ ａｎａｎ＋ { }１ 前 ｎ项和 Ｔｎ ＝  １６设函数 ｆ（ｘ）＝ ａ－２ｘ，ｘ≤ ０ ３ｘ＋１，ｘ＞{ ０ ，若函数 ｆ（ｘ）有且仅有 １个零点，则实数 ａ的取值范围是  三、解答题：共７０分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第１７～２１题为必考题，每 个试题考生都必须作答．第 ２２、２３题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 ６０分 １７（本小题满分 １２分） 已知 △ＡＢＣ，角 Ａ，Ｂ，Ｃ所对边分别为 ａ，ｂ，ｃ若函数 ｆ（ｘ）＝２ｃｏｓｘ（槡３ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ）的最大 值为 ｆ（Ｂ） （Ⅰ）求 ｔａｎ（Ｂ＋π ４）； （Ⅱ）若 ｂ＝４，ｓｉｎＣ ＝２ｓｉｎＡ，求 △ＡＢＣ的面积  ）页４共（页２第卷试）文（学数级年三高市埠蚌 　　１８某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化 学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目若一个学生从六个科 目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方 案待确定 例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确 定，“物理、化学和生物”为其选考方案  某学校为了解高一年级 ４２０名学生选考科目的意向，随机选取 ３０名学生进行了一次调查， 统计选考科目人数如下表： 性 　 别 选考方案确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治 男 　 生 选考方案确定的有 ６人 ６ ６ ３ １ ２ ０ 选考方案待确定的有 ８人 ５ ４ ０ １ ２ １ 女 　 生 选考方案确定的有 １０人 ８ ９ ６ ３ ３ １ 选考方案待确定的有 ６人 ５ ４ ０ ０ １ １ （Ⅰ）写出选考方案确定的男生中选择“物理、化学和地理”的人数 （直接写出结果） （Ⅱ）试估计该学校高一年级确定选考生物的学生有多少人？ （Ⅲ）从选考方案确定的男生中任选 ２名，试求出这 ２名学生选考科目完全相同的概率  １９（本小题满分 １２分） 如图，在四棱锥 Ｐ－ＡＢＣＤ中，Ｍ为侧棱 ＰＣ上一点，侧棱 ＰＡ⊥ 底面 ＡＢＣＤ，底面 ＡＢＣＤ是 边长为 ２的菱形，Ｏ为 ＡＣ与 ＢＤ交点，且 ∠ＢＡＤ ＝６０°，△ＰＢＤ面积为 ２ （第 １９题图） （Ⅰ）证明：ＯＭ⊥ ＢＤ； （Ⅱ）若 Ｍ为 ＰＣ三等分点（靠近 Ｃ点），求三棱锥 Ｐ—ＤＯＭ的体积  ２０（本小题满分 １２分） 在平面直角坐标系中，椭圆 Ｃ：ｘ２ ４ ＋ｙ２ ｂ２ ＝１（ｂ＞０）的左、右顶点分别为 Ａ，Ｂ，Ｐ为椭圆与 ｙ轴的交点，ＰＡ，ＰＢ的斜率为 ｋ１，ｋ２，且 ｋ１ｋ２ ＝－１ ２ （Ⅰ）求 ｂ； （Ⅱ）若斜率存在的直线 ｌ交椭圆于点 Ｍ，Ｎ，ＢＭ⊥ ＢＮ，△ＡＭＮ的面积为８０ ２７，求直线 ｌ的方程 （第 ２０题图） ）页４共（页３第卷试）文（学数级年三高市埠蚌 　　２１（本小题满分 １２分） 已知函数 ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ＋ａ（ｘ－１）２ （Ⅰ）若 ｘ＝２是 ｆ（ｘ）的极值点，求函数 ｆ（ｘ）的单调区间； （Ⅱ）若 ａ＞０，当函数 ｆ（ｘ）在（０，１）内存在唯一零点 ｘ０时，证明：ｆ′（ｘ０）＝０ （二）选考题：共 １０分 请考生在第 ２２、２３题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分  ２２［选修 ４—４：坐标系与参数方程］（１０分） 在直角坐标系 ｘＯｙ中，直线 ｌ的参数方程为 ｘ＝－１ ２ｔ， ｙ＝ 槡３３＋槡３ ２ｔ{ ， （ｔ为参数），以 Ｏ为极点，ｘ轴 非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 Ｃ的极坐标方程为 ρ＝２ｃｏｓθ，射线 ＯＭ：θ＝ π ３（ρ≥ ０） 与圆 Ｃ交于点 Ｏ，Ｐ，且与直线 ｌ交于点 Ｑ （Ⅰ）求直线 ｌ的极坐标方程； （Ⅱ）求线段 ＰＱ的长度  ２３［选修 ４—５：不等式选讲］（１０分） 设 ｆ（ｘ）＝｜２ｘ－ａ｜＋｜ｘ－ａ｜ （Ⅰ）若 ａ＝１，解关于 ｘ的不等式 ｆ（ｘ）＞２； （Ⅱ）求证：ｆ（ｔ）＋ｆ－１( )ｔ ≥ ６ ）页４共（页４第卷试）文（学数级年三高市埠蚌 蚌埠市 ２０１８届高三年级第三次教学质量检查考试 数学（文史类）参考答案及评分标准 一、选择题 题　号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答　案 Ｃ Ｂ Ａ Ｄ Ｃ Ｃ Ｄ Ｂ Ａ Ａ Ｄ Ｃ 二、填空题 １３（－∞，６）　　１４ｘ－ｙ＋２＝０　　１５ ｎ ３（２ｎ＋３）　　１６（０，１］ 三、解答题 １７解：（Ⅰ）ｆ（ｘ）＝２ｃｏｓｘ（槡３ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ）＝槡３ｓｉｎ２ｘ－ｃｏｓ２ｘ－１＝２ｓｉｎ（２ｘ－π ６） ２分… 因为函数 ｆ（ｘ）的最大值为 ｆ（Ｂ），Ｂ∈ （０，π）， ∴２Ｂ－π ６ ＝ π ２，即 Ｂ ＝ π ３， ４分………………………………………………… ∴ｔａｎ（Ｂ＋π ４）＝ｔａｎ（π ３ ＋π ４）＝ 槡３＋１ １－槡３·１ ＝－２－槡３ ６分………………… （Ⅱ）∵ｂ＝４，则由 ｂ２ ＝ａ２ ＋ｃ２ －２ａｃｃｏｓＢ得 １６＝ａ２ ＋ｃ２ －２ａｃ· １ ２得 ａ２ ＋ｃ２ －ａｃ＝１６， ８分………………………………… 而 ∵ｓｉｎＣ ＝２ｓｉｎＡ，∴ｃ＝２ａ，，联立解得 ａ＝ 槡４３ ３ ，ｃ＝ 槡８３ ３ １０分………………… ∴Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ａｃｓｉｎＢ ＝ 槡８３ ３ １２分…………………………………………………… １８解：（Ⅰ）选考方案确定的男生中，选择“物理、化学和地理”的人数是 ２人  ３分……… （Ⅱ）由数据可知，男生确定选考生物的学生有 ３人，女生确定选考生物的学生有 ６人， 该学校高一年级有 ９ ３０×４２０＝１２６人  ６分………………………………………… （Ⅲ）由数据可知，已确定选考科目的男生共６人其中有３人选择“物理、化学和生物”，记 为 ａ１，ａ２，ａ３；有 １人选择“物理、化学和历史”，记为 ｂ；有 ２人选择“物理、化学和地 理”，记为 ｃ１，ｃ２ 从已确定选考科目的男生中任选 ２人，有 ａ１ａ２，ａ１ａ３，ａ１ｂ，ａ１ｃ１，ａ１ｃ２，ａ２ａ３，ａ２ｂ，ａ２ｃ１， ａ２ｃ２，ａ３ｂ，ａ３ｃ１，ａ３ｃ２，ｂｃ１，ｂｃ２，ｃ１ｃ２共 １５种选法 两位学生选考科目完全相同的选法种 数有 ａ１ａ２，ａ１ａ３，ａ２ａ３，ｃ１ｃ２，共 ４种选法  设事件 Ａ：从已确定选考科目的男生中任选出 ２人，这两位学生选考科目完全相同  则 Ｐ（Ａ）＝ ４ １５ １２分…………………………………………………………………… １９证明：（Ⅰ）∵ＰＡ⊥ 平面 ＡＢＣＤ，ＢＤ 平面 ＡＢＣＤ，∴ＰＡ⊥ ＢＤ， ∵ 菱形 ＡＢＣＤ　∴ＢＤ⊥ ＡＣ ２分……………………………………………… 又 ＰＡ∩ ＡＣ ＝Ａ，∴ＢＤ⊥ 平面 ＰＡＣ ４分……………………………………… ）页３共（页１第案答考参）文（学数级年三高市埠蚌 ∵ＯＭ 平面 ＰＡＣ　∴ＢＤ⊥ ＯＭ ６分………………………………………… （Ⅱ）设 ＰＡ＝ｈ，连接 ＰＯ，则由（Ⅰ）知 ＢＤ⊥ ＰＯ，且 ＰＯ２ ＝ｈ２ ＋ＡＯ２， ∵ 菱形 ＡＢＣＤ边长为 ２，∠ＢＡＤ ＝６０°　∴ＢＤ ＝２，ＡＯ ＝槡３， Ｓ△ＰＢＤ ＝ １ ２ＰＯ·ＢＤ ＝ １ ２ ｈ２ ＋槡 ３·２，解得 ｈ＝１ ９分…………………………… Ｍ为 ＰＣ的三等分点，∴Ｍ到平面 ＡＢＣＤ的距离为 １ ３ＰＡ， ∴ＶＰ－ＤＯＭ ＝２ＶＣ－ＤＯＭ ＝２ＶＭ－ＣＤＯ ＝２· １ ３Ｓ△ＣＤＯ· １ ３ｈ＝槡３ ９ １２分…………………… （ＶＰ－ＤＯＭ ＝ＶＤ－ＯＭＰ 也可） ２０解：（Ⅰ）易知点 Ａ（－２，０），Ｂ（２，０），不妨设 Ｐ（０，ｂ） 则 ｋ１ｋ２ ＝ ｂ ２· ｂ －２＝－１ ２，解得 ｂ＝槡２ ４分…………………………………… （Ⅱ）设 Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２），直线 ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｔ，联立ｘ２ ４ ＋ｙ２ ２ ＝１得 （１＋２ｋ２）ｘ２ ＋４ｋｔｘ＋２ｔ２ －４＝０， ∴ｘ１ ＋ｘ２ ＝ －４ｋｔ １＋２ｋ２，ｘ１ｘ２ ＝２ｔ２ －４ １＋２ｋ２ ６分……………………………………………… 由题意知ＢＭ→ ·ＢＮ→ ＝０，化简得 （ｘ２ －２）（ｘ２ －２）＋ｙ１ｙ２ ＝０ （１＋ｋ２）ｘ１ｘ２ ＋（ｋｔ－２）（ｘ１ ＋ｘ２）＋ｔ２ ＋４＝０ ９分………………………………… 化简得 ４ｋ２ ＋８ｋｔ＋３ｔ２ ＝０∴ｔ＝－２ｋ或 ｔ＝－２ｋ ３ 若 ｔ＝－２ｋ即 ｌ：ｙ＝ｋ（ｘ－２），此时直线 ｌ经过点 Ｂ，不合题意，舍去  故 ｔ＝－２ ３ｋ，即 ｌ：ｙ＝ｋ（ｘ－２ ３），不妨令 Ｔ（２ ３，０）， 则 Ｓ△ＡＭＮ ＝ １ ２·｜ＡＴ｜·｜ｙ１ －ｙ２｜＝１６｜ｋ｜ １６ｋ２ ＋槡 ９ ９（２ｋ２ ＋１） ＝８０ ２７， １１分……………… 解得 ｋ＝±１故直线 ｌ的方程为 ｌ：ｘ－ｙ－２ ３ ＝０或 ｘ＋ｙ－２ ３ ＝０ １２分……… ２１解：（Ⅰ）ｆ′（ｘ）＝ １ ｘ＋２ａｘ－２ａ，由 ｆ′（２）＝０，解得 ａ＝－１ ４ ２分…………………… 所以 ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ－１ ４（ｘ－１）２，ｆ′（ｘ）＝ －（ｘ＋１）（ｘ－２） ２ｘ ， ４分……………… 当 ０＜ｘ＜２，ｆ′（ｘ）＞０；ｘ＞２时，ｆ′（ｘ）＜０， ∴ｆ（ｘ）的单调增区间是（０，２），ｆ（ｘ）的单调减区间是（２，＋∞） ６分………… （Ⅱ）ｆ′（ｘ）＝２ａｘ２ －２ａｘ＋１ ｘ ，令 ｇ（ｘ）＝２ａｘ２ －２ａｘ＋１，△ ＝４ａ２ －８ａ， ① 当 ０＜ａ≤ ２时，即 △ ≤ ０，ｇ（ｘ）≥ ０∴ｆ（ｘ）在（０，１）单调递增， ∵ｘ∈ （０，１），ｆ（ｘ）＜ｆ（１）＝０，∴ｆ（ｘ）在（０，１）没有零点  ８分……………… ② 当 ａ＞２时，即 △ ＞０，又 ｇ（１）＝ｇ（０）＝１＞０， ）页３共（页２第案答考参）文（学数级年三高市埠蚌 ∴ｇ（ｘ）＝０在（０，１）上有两解 ｘ１，ｘ２，不妨设 ｘ１ ＜ｘ２， ∴ｆ（ｘ）在（０，ｘ１）单调递增，在（ｘ１，ｘ２）单调递减，在（ｘ２，１）单调递增 ９分………… 若 ｆ（ｘ１）＜０，则 ｘ∈ （０，ｘ１）时，ｆ（ｘ）＜ｆ（ｘ１）＜０；ｘ∈ （ｘ２，１）时，ｆ（ｘ）＜ｆ（１）＝０ ∴ｘ∈ （０，１），ｆ（ｘ）＜０，∴ｆ（ｘ）在（０，１）没有零点 不合题意  若 ｆ（ｘ１）＞０，则 ｘ∈ （ｘ２，１）时，ｆ（ｘ）＜ｆ（１）＝０ ｆ（ｘ１）＞０，ｆ（ｘ２）＜０，ｆ（ｘ）在（ｘ１，ｘ２）单调递减 ｆ（ｘ）在（ｘ１，ｘ２）上有一个零点； 又 ∵ｆ（ｅ－ａ）＝ｌｎ（ｅ－ａ）＋ａ（ｅ－ａ －１）２ ＜－ａ＋ａ＝０， 且 ∵ｅ－ａ ＜ １ １＋ａ＋ａ２ ２ ＜ １ ２ａ＜ １ ａ＋ ａ２ －２槡 ａ ＝ａ－ ａ２ －２槡 ａ ２ａ ＝ｘ１ ∴ｆ（ｘ）在（ｅ－ａ，ｘ１）上也有一个零点 不合题意  ∴ｆ（ｘ１）＝０，即 ｘ１ ＝ｘ０，ｆ′（ｘ０）＝０ １２分…………………………………………… ２２（Ⅰ）将直线 ｌ的参数方程化为普通方程为槡３ｘ＋ｙ＝ 槡３３， （２分）……………………… 再结合 ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，得直线 ｌ的极坐标方程为槡３ρｃｏｓθ＋ρｓｉｎθ＝ 槡３３， 即 ２ρｓｉｎθ＋π( )３ ＝ 槡３３． （４分）……………………………………………………… （Ⅱ）联立 ２ρｓｉｎθ＋π( )３ ＝ 槡３３， θ＝ π ３（ρ≥ ０{ ）， 　 解得 Ｑ ３，π( )３ ． （６分）……………………………… 联立 θ＝ π ３（ρ≥ ０）， ρ＝２ｃｏｓθ { ， 　 解得 Ｐ １，π( )３ ． （８分）……………………………………… 则线段 ＰＱ的长度为 ３－１＝２． （１０分）……………………………………………… ２３（Ⅰ）当 ａ＝１时，ｆ（ｘ）＝｜２ｘ－１｜＋｜ｘ－１｜， （１分）…………………………………… ① 当 ｘ＜ １ ２时，１－２ｘ＋１－ｘ＞２，∴ｘ＜０； （２分）……………………………… ② 当 １ ２≤ ｘ≤ １时，２ｘ－１＋１－ｘ＞２，∴ 无解； （３分）…………………………… ③ 当 ｘ＞１时，２ｘ－１＋ｘ－１＞２，∴ｘ＞ ４ ３， （４分）……………………………… 综上所述，所求不等式的解集为｛ｘ｜ｘ＜０或 ｘ＞ ４ ３｝ （５分）……………………… （Ⅱ）证明：ｆ（ｔ）＋ｆ－１( )ｔ ＝｜２ｔ－ａ｜＋｜ｔ－ａ｜＋｜－２ ｔ－１｜＋｜－１ ｔ－ａ｜ ≥｜（２ｔ－ａ）－ －２ ｔ( )－ａ｜＋｜（ｔ－ａ）－ －１ ｔ( )－ａ｜＝｜２ｔ＋２ ｔ｜＋｜ｔ＋１ ｔ｜＝３｜ ｔ＋１ ｔ｜≥ ３×２＝６， 当且仅当 ｔ＝±１时取等号． （１０分）………………………………………………… ）页３共（页３第案答考参）文（学数级年三高市埠蚌