2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6 40页

第 4 课时　余弦定理、正弦定理应用举例 课标阐释 思维脉络 1 . 掌握基线、坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等测量问题中的常用概念 . ( 数学抽象 ) 2 . 能够运用正弦定理和余弦定理解决与距离、高度、角度有关的实际问题 . ( 逻辑推理、数学运算 ) 激趣诱思 知识点拨 解三角形在现实生活中有着广泛的应用 , 例如在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向 , 并保持一定的航速和航向呢 ? 这就需要用到解三角形中关于角度测量这方面的问题 . 再如喜马拉雅山 , 我们怎样测出它的高度 ? 这就需要用到解三角形中关于高度测量这方面的问题 . 由此可见学好解三角形知识 , 还能在现实生活中发挥 “ 一技之长 ” . 激趣诱思 知识点拨 知识点一、测量问题中的常用概念 1 . 基线 (1) 定义 : 在测量过程中 , 我们把根据测量的需要而确定的 线段 叫做基线 . (2) 性质 : 为使测量具有较高的精确度 , 应根据实际需要选取合适的 基线长度 . 一般来说 , 基线越长 , 测量的精确度越 高 . 2 . 坡角与坡度 坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度 , 如图所示 , α 为坡角 , 坡比 激趣诱思 知识点拨 3 . 仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角中 , 目标视线在水平视线上方时叫做仰角 , 目标视线在水平视线下方时叫做俯角 ( 如图所示 ) . 激趣诱思 知识点拨 4 . 视角 观察物体的两端 , 视线张开的夹角叫做视角 , 如图所示 . 激趣诱思 知识点拨 5 . 方位角与方向角 (1) 方位角 从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角 . 如点 B 的方位角为 α , 如图 ① 所示 . (2) 方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于 90° 的水平角 . 如南偏西 60°, 指以正南方向为始边 , 顺时针方向向西旋转 60°, 如图 ② 所示 . 图 ① 图② 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 从 A 处望 B 处的仰角为 α , 从 B 处望 A 处的俯角为 β , 则 α , β 的关系是 ( 　　 ) A. α > β B. α = β C. α + β = 90° D. α + β = 180° (2) 若 P 在 Q 的北偏东 37° 方向上 , 则 Q 在 P 的 ( 　　 ) A. 东偏北 53° 方向上 B. 北偏东 37° 方向上 C. 南偏西 37° 方向上 D. 南偏西 53° 方向上 激趣诱思 知识点拨 (3) 下图中 , 两个方向对应的方位角分别等于 　　　 .  激趣诱思 知识点拨 解析 : (1) 如图 , 从 A 处望 B 处的仰角 α 与从 B 处望 A 处的俯角 β 是内错角 , 由水平线平行 , 得 α = β . (2) 如图所示 , Q 在 P 的南偏西 37° 的方向上 . (3) 左题图中方向对应的方位角等于 30°, 右题图中方向对应的方位角等于 240° . 答案 : (1)B 　 (2)C 　 (3)30°,240° 激趣诱思 知识点拨 知识点二、解决实际测量问题的思路和步骤 1 . 基本思路 激趣诱思 知识点拨 2 . 一般步骤 (1) 分析 : 理解题意 , 弄清已知与未知 , 画出示意图 ; (2) 建模 : 根据已知条件与求解目标 , 把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中 , 建立一个解三角形的数学模型 ; (3) 求解利用正弦定理、余弦定理解三角形 , 求得数学模型的解 ; (4) 检验 : 检验所求的解是否符合实际问题 , 从而得出实际问题的解 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 海上有 A , B 两个小岛相距 10 海里 , 从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60° 的视角 , 从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75° 的视角 , 则 B , C 岛间的距离是 ( 　　 ) 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 测量距离问题 例 1 如图 , 一名学生在河岸紧靠岸边笔直行走 , 开始在 A 处 , 经观察 , 在河的对岸有一参照物 C , 与学生前进方向成 30° 角 , 学生前进 200 m 后到达点 B , 测得该参照物与前进方向成 75° 角 . (1) 求点 A 与参照物 C 的距离 ; (2) 求河的宽度 . 分析 根据图形 , 先由已知求出 ∠ ACB , 再利用正弦定理求得 AC 的长度 , 最后在直角三角形中求出河的宽度 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 三角形中与距离有关的问题的求解策略 (1) 解决与距离有关的问题 , 若所求的线段在一个三角形中 , 则直接利用正弦定理、余弦定理求解即可 ; 若所求的线段在多个三角形中 , 要根据条件选择适当的三角形 , 再利用正弦定理、余弦定理求解 . (2) 解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边 , 分析所解三角形中已知哪些元素 , 还需要求出哪些元素 , 灵活应用正弦定理、余弦定理来解决 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 如图所示 , 为了测定河的宽度 , 在一岸边选定两点 A , B , 望对岸标记物 C , 测得 ∠ CAB= 30°, ∠ CBA= 75°, AB= 120 m, 则河的宽度为 　　　　　 m .  解析 : 作 CD ⊥ AB , 垂足为 D , 则 CD 即为河的宽度 . 在 △ ABC 中 , ∠ CAB= 30°, ∠ CBA= 75°, 所以 ∠ ACB= 75°, ∠ ACB= ∠ ABC , 所以 AC=AB= 120 m . 答案 : 60 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 测量高度问题 例 2 如图 , 为了测量河对岸的塔高 AB , 选取与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 和 D , 测得 CD= 200 m, 在点 C 和点 D 测得塔顶 A 的仰角分别是 45° 和 30°, 且 ∠ CBD= 30°, 求塔高 AB. 分析 先在 Rt △ ABC 和 Rt △ ABD 中 , 用 AB 表示 BC 和 BD , 再在 △ BCD 中 , 由余弦定理建立方程 , 求得 AB . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 测量高度问题的求解策略 (1) 在测量底部不可到达的建筑物的高度时 , 可以借助正弦定理或余弦定理 , 构造两角 ( 两个仰角或两个俯角 ) 和一边或三角 ( 两个方向角和仰角 ) 和一边 , 如图所示 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2) 解决测量高度问题的一般步骤是 : 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 如图 , 在山顶铁塔上 B 处测得一点 A 的俯角为 α , 在塔底 C 处测得 A 处的俯角为 β . 若铁塔高为 m 米 , 则山高 CD 为 　　　　　 米 .  探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 测量角度问题 角度 1 　 实际测量中的角度问题 例 3 地图测绘人员在点 A 测得某一目标参照物 P 在他的北偏东 30° 的方向 , 且距离他 40 m, 之后该测绘人员沿正北方向行走了 40 m, 达到点 B. 试确定此时目标参照物 P 相对于他的方位角以及他与目标参照物 P 的距离 . 分析 画出图形 , 在三角形中 , 利用余弦定理求出内角的大小以及边的长度 , 从而确定相应的方位角以及距离 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 因为 AB= 40 m, 所以 AB=PB , 所以 ∠ APB= ∠ PAB= 30°, 所以 ∠ PBA= 120° . 因此测绘人员到达点 B 时 , 目标参照物 P 相对于该测绘人员的方位角为 180° - 120° = 60°, 且目标参照物 P 与他的距离为 40 m . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 3 如图所示 , 从 A 到 B , 方位角是 50°, 距离是 470 m; 从 B 到 C , 方位角是 80°, 距离是 860 m; 从 C 到 D , 方位角是 150°, 距离是 640 m, 试计算从 A 到 D 的方位角和距离 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 角度 2 　 航海与追及中的角度问题 例 4 某渔轮在航行中不幸遇险 , 发出呼救信号 , 我海军舰艇在 A 处获悉后 , 立即测出该渔轮在方位角为 45°, 距离为 10 n mile 的 C 处 , 并测得渔轮正沿方位角为 105° 的方向 , 以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢 , 我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救 , 求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间 . 分析 本题中所涉及的路程在不断变化 , 但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等 , 先设出所用时间 t , 找出等量关系 , 再解三角形 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 测量角度问题画示意图的基本 步骤 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 本题中其他条件不变 , 将 “ 渔轮向小岛靠拢的速度 ” 改为 “10 n mile/h”, 将 “ 我海军舰艇的速度 ” 改为 “ 10 n mile/h”, 求舰艇的航向和靠近渔轮所需要的时间 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 函数与方程思想在解三角形应用举例中的应用 典例 如图 , 游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径 . 一种是从 A 沿直线步行到 C , 另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B , 然后从 B 沿直线步行到 C. 现有甲、乙两位游客从 A 处下山 , 甲沿 AC 匀速步行 , 速度为 50 m/min . 在甲出发 2 min 后 , 乙从 A 乘缆车到 B , 在 B 处停留 1 min 后 , 再从 B 匀速步行到 C. 假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min, 山路 AC 长为 1 260 m, 经测量 , (1) 求索道 AB 的长 ; (2) 问 : 乙出发多少分钟后 , 乙在缆车上与甲的距离最短 ? 分析 (1) 利用正弦定理求出 AB 的长 . (2) 先设出乙出发后所用的时间 t , 再建立时间 t 与甲、乙间距离 d 的函数关系式 , 利用关系式求最值 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛 与函数思想相联系的就是方程思想 . 所谓方程思想 , 就是在解决问题时 , 用事先设定的未知数沟通问题所涉及的各量间的制约关系 , 列出方程 ( 组 ), 从而求出未知数及各量的值 , 使问题获得解决 , 所设的未知数沟通了变量之间的联系 . 方程可以看做未知量与已知量相互制约的条件 , 它架设了由已知探索未知的桥梁 . 函数与方程思想在数学中有着广泛的应用 , 本章在利用正弦定理、余弦定理求角或边长时 , 往往渗透着函数与方程思想 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 如 图 , 从山顶 A 望地面上 C , D 两点 , 测得它们的俯角分别为 45° 和 30°, 已知 CD= 100 m, 点 C 位于 BD 上 , 则山高 AB 等于 ( 　　 ) 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 从某电视塔的正东方向的 A 处 , 测得塔顶仰角是 60°, 从电视塔的西偏南 30° 的 B 处 , 测得塔顶仰角为 45°, A , B 间距离为 35 m, 则此电视塔的高度是 ( 　　 ) 答案 : A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . 一艘轮船从 A 出发 , 沿南偏东 70° 的方向航行 40 n mile 后到达海岛 B , 然后从 B 出发 , 沿北偏东 35° 的方向航行了 40 n mile 到达海岛 C. 如果下次航行直接从 A 出发到 C , 那么此船航行的方向和路程分别为 ( 　　 ) 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 在 某次军事演习中 , 红方为了准确分析战场形势 , 在两个相距 为 a 的军事基地 C 和 D 处测得蓝方两支精锐部队分别在 A 处和 B 处 , 且 ∠ ADB= 30°, ∠ BDC= 30°, ∠ DCA= 60°, ∠ ACB= 45°, 如图所示 , 求蓝方这两支精锐部队之间的距离 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . 如图 , 渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60° 方向的 B 处 , 且与岛屿 A 相距 12 n mile, 渔船乙以 10 n mile/h 的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行 , 若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 α 的方向追赶渔船乙 , 刚好用 2 h 追上 . (1) 求渔船甲的速度 ; (2) 求 sin α 的值 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : (1) 在 △ ABC 中 , ∠ BAC= 180° - 60° = 120°, AB= 12 n mile, AC= 10 × 2 = 20(n mile), ∠ BCA= α . 由余弦定理 , 得 BC 2 =AB 2 +AC 2 - 2 AB · AC ·cos ∠ BAC = 12 2 + 20 2 - 2 × 12 × 20 × cos 120° = 784, 解得 BC= 28 n mile .