2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§5-1　三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式（讲解部分） 16页

考点    三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式 一、三角函数的概念 1.任意角的概念 (1)我们把角的概念推广到任意角,任意角包括正角、负角、零角.正角:按 ① 　逆时针     方向旋转形成的角;负角:按② 　顺时针     方向旋转形成的角; 零角:如果一条射线③ 　没有作任何旋转     ,我们称它形成了一个零角. (2)终边相同的角:与 α 终边相同的角可表示为④ 　{ β | β = α +2 k π, k ∈Z}     . 2.弧度与角度的互化 (1)1弧度的角:长度等于⑤ 　半径长     的弧所对的圆心角. 考点清单 (2)角 α 的弧度数公式:| α |=⑥             . (3)角度与弧度的换算 360 ° =⑦ 　2π   rad,1 ° =⑧             rad,1 rad=⑨        °   ≈ 57.30 ° =57 ° 18'. (4)扇形的弧长及面积公式: 弧长公式: l =⑩ 　| α |· r      . 面积公式: S =          l · r      =   | α |· r 2 . 第一象限角的集合   第二象限角的集合   第三象限角的集合   第四象限角的集合   3.象限角 4.三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P ( x , y ),那么: y 叫做 α 的正弦,记作sin α ,即sin α = y x 叫做 α 的余弦,记作cos α ,即cos α = x   叫做 α 的正切,记作tan α ,即tan α =   ( x ≠ 0)   Ⅰ + + + Ⅱ + - - Ⅲ - - + Ⅳ - + -   一全正,二正弦,三正切,四余弦 5.终边相同的角的三角函数 sin( α + k ·2π)=sin α , cos( α + k ·2π)=cos α , tan( α + k ·2π)=tan α ,其中 k ∈Z, 即终边相同的角的同一三角函数值相等. 知识拓展 　终边相同的角与对称性 (1) β , α 终边相同 ⇔ β = α +2 k π, k ∈Z. (2) β , α 终边关于 x 轴对称 ⇔ β =- α +2 k π, k ∈Z. (3) β , α 终边关于 y 轴对称 ⇔ β =π- α +2 k π, k ∈Z. (4) β , α 终边关于原点对称 ⇔ β =π+ α +2 k π, k ∈Z. 6.三角函数线 各象限内角的三角函数线如下表: 角的终边所在的象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 图形         　　当角 α 的终边与 x 轴重合时,正弦线、正切线分别变成一个点,此时角 α 的正弦值和正切值都为0;当角 α 的终边与 y 轴重合时,余弦线变成一个点,正 切线不存在,此时角 α 的余弦值为0,正切值不存在. 二、同角三角函数的基本关系式 1.平方关系:       sin 2 α +cos 2 α =1     . 2.商数关系:tan α =     . 　　　函数 角　　     正弦 余弦 正切 - α -sin α cos α -tan α π- α sin α -cos α -tan α π+ α -sin α -cos α tan α 2π- α -sin α cos α -tan α 2π+ α sin α cos α tan α   - α cos α sin α   + α cos α -sin α 三、诱导公式   - α -cos α -sin α   + α -cos α sin α 　角“   ± α ( k ∈Z)”的三角函数的记忆口诀为“奇变偶不变,符号看象限”. 考法一 　利用三角函数定义解题 知能拓展 例1     (2018广东广州模拟,3)在平面直角坐标系中,以 x 轴的非负半轴为角 的始边,角 α , β 的终边分别与单位圆交于点   和   ,则sin( α + β )=   (　　) A.-   　    B.   　    C.-   　    D.   解题导引      解析　 因为角 α , β 的终边分别与单位圆交于点   和   ,所以sin α =   ,cos α =   ,sin β =   ,cos β =-   ,所以sin( α + β )=sin α cos β +cos α sin β =   ×   +   ×   =   . 答案     D 总结拓展 　1.已知角 α 终边上一点 P (不与原点重合)的坐标,求三角函数值: 先求出点 P 到原点的距离 r ,然后利用三角函数的定义求解;若含参数,则需 对参数进行讨论. 2.已知角 α 的终边所在直线的方程,求三角函数值:先设出终边上一点(除原 点)的坐标,求出此点到原点的距离,然后利用三角函数的定义求解相关的 问题;若直线的倾斜角为特殊角,则可直接写出角 α 的三角函数值. 考法二 　同角三角函数的基本关系式的应用技巧 例2     (2018皖南八校第二次联考,11)已知 θ ∈   ,且   +   =35,则 tan 2 θ =   (　　) A.   　    B.   　    C. ±   　    D. ±   解题导引        解析 　依题意,知12(sin θ +cos θ )=35sin θ cos θ ,令sin θ +cos θ = t , t ∈(1,   ],两 边平方并整理得sin θ cos θ =   ,原式化为12 t =35·   ,解得 t =     , 故sin θ +cos θ =   ,则sin θ cos θ =   ,即   =   ,即   =   ,12tan 2 θ - 25tan θ +12=0,解得tan θ =   或   ,则tan 2 θ =   = ±   ,故选D. 答案     D 方法总结 　1.已知sin α ,cos α 与tan α 三者中的一个求另外两个:利用平方关 系和商数关系求解; 2.已知tan α 的值,求关于sin α 与cos α 的齐 n 次分式的值:分子、分母同除以 cos n α ,转化为关于tan α 的式子求解; 3.“1”的代换问题:含有sin 2 α ,cos 2 α 及sin α cos α 的整式求值问题,可将所求式子的分母看作“1”,利用“sin 2 α +cos 2 α =1”代换后转化为“切”,然后求解. 特别提醒　 对于sin α +cos α ,sin α cos α ,sin α -cos α 这三个式子,已知其中一 个式子的值,其余二式的值可求.转化的公式为(sin α ± cos α ) 2 =1 ± 2sin α cos α . 考法三 　利用诱导公式化简求值的思路和要求 例3 　(1)设cos(-36 ° )= k ,那么tan 2 016 ° =   (　　) A.   　    B.-   　    C.   　    D.-   (2)已知sin(3π+ θ )=   ,求   +   的值. 解题导引 　(1)先利用同角三角函数的基本关系求出sin 36 ° 的值,再利用诱 导公式化简求解. (2)利用诱导公式及同角三角函数的基本关系化简求解. 解析 　(1)cos(-36 ° )=cos 36 ° = k ,所以sin 36 ° =   =   , 所以tan 2 016 ° =tan(360 °× 5+216 ° )=tan 216 ° =tan(180 ° +36 ° )=tan 36 ° =   =   . (2)因为sin(3π+ θ )=-sin θ =   ,所以sin θ =-   . 原式=   +   =   +   =   +   =   =   =   =18. 答案 　(1)A 方法总结　 1.化简求值的思路方法:(1)分析结构特点,选择恰当的公式;(2) 利用公式化成单角三角函数;(3)整理得出最简形式. 2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可 能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值. 3.常见的互余和互补的角 (1)常见的互余的角:   - α 与   + α ;   + α 与   - α ;   + α 与   - α 等. (2)常见的互补的角:   + θ 与   - θ ;   + θ 与   - θ 等. 4.求任意角的三角函数值的步骤 负角化正角,正角化锐角,最后求值. 考法四 　同角三角函数的基本关系和诱导公式的综合应用 例4 　已知3cos 2 (π+ x )+5cos   =1,求6sin x +4tan 2 x -3cos 2 (π- x )的值. 解题导引 　将已知条件化简,求出sin x ,cos 2 x ,tan 2 x ,代入化简后的式子求解 即可. 解析　 由已知得3cos 2 x +5sin x =1, 即3sin 2 x -5sin x -2=0,解得sin x =-   (sin x =2舍去).这时cos 2 x =1-   =   ,tan 2 x =   =   , 故6sin x +4tan 2 x -3cos 2 (π- x )=6sin x +4tan 2 x -3cos 2 x =6 ×   +4 ×   -3 ×   =-   . 方法总结 　1.求值:(1)给角求值:用诱导公式遵循“负化正,正化小,到锐 角”的一般步骤求值;(2)给值求值:先用诱导公式统一角,再用同角三角函 数的基本关系求值;(3)给值求角:先确定要求的那个角的一个三角函数的 单调区间,然后求这个角的三角函数值,最后根据三角函数图象或定义求角 的值. 2.弦切互化法:主要利用商数关系tan α =   进行弦化切或切化弦,如   , a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x 的类型要弦化切.