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- 2021-06-16 发布
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2009年安徽省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1. i是虚数单位，若1+7i2-i=a+bi(a, b∈R)，则乘积ab的值是（ ）
A.-15 B.-3 C.3 D.15
2. 若集合A={x||2x-1|<3}，B={x|2x+13-x<0}，则A∩B是（ ）
A.{x|-1b+d，q:a>b且c>d
B.p:a>1，b>1，q:f(x)=ax-b(a>0，且a≠1)的图象不过第二象限
C.p:x=1，q:x=x2
D.p:a>1，q:f(x)=logax(a>0，且a≠1)在(0, +∞)上为增函数
5. （河南六市一联）在等差数列{an}中，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（ ）
A.21 B.20 C.19 D.18
6. 设a0)，y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是( )
A.[kπ-π12, kπ+5π12]，k∈Z B.[kπ+5π12, kπ+11π12]，k∈Z
C.[kπ-π3, kπ+π6]，k∈Z D.[kπ+π6, kπ+2π3]，k∈Z
9. 已知函数f(x)在R上满足f(1+x)=2f(1-x)-x2+3x+1，则曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程是（ ）
A.x-y-2=0 B.x-y=0 C.3x+y-2=0 D.3x-y-2=0
10. 考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）
A.175 B.275 C.375 D.475
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）
11. 若随机变量X∼N(μ, σ2)，则P(X≤μ)=________．
12. 以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)，它与曲线x=1+2cosαy=2+2sinα（α为参数）相交于两点A和B，则|AB|=________．
13. 程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是________．
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14. 给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→，它们的夹角为120∘．如图所示，点C在以O为圆心，以1半径的圆弧AB上变动．若OC→=xOA→+yOB→，其中x，y∈R，则x+y的最大值是________．
15. 对于四面体ABCD，下列命题正确的序号是________．
①相对棱AB与CD所在的直线异面；
②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD的三条高线的交点；
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；
④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；
⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16. 在△ABC中，sin(C-A)=1，sinB=13．
(1)求sinA的值；
(2)设AC=6，求△ABC的面积．
17. 某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区．B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是12．同样也假定D受A、B和C感染的概率都是13．在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数x就是一个随机变量．写出x的分布列（不要求写出计算过程），并求x的均值（即数学期望）．
18. 如图所示，四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=2．AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2．
（1）求二面角B-AF-D的大小；
（2）求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积．
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19. 已知函数f(x)=x-2x+a(2-lnx)，(a>0)，讨论f(x)的单调性．
20. 点P(x0, y0)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，x0=acosβ，y0=bsinβ，0<β<π2．直线l2与直线l1:x0a2x+y0b2y=1垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为γ
（1）证明：点P是椭圆x2a2+y2b2=1与直线l1的唯一交点；
（2）证明：tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．
21. 首项为正数的数列{an}满足an+1=14(an2+3)，n∈N+．
（1）证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数；
（2）若对一切n∈N+都有an+1>an，求a1的取值范围．
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参考答案与试题解析
2009年安徽省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1.B
2.D
3.B
4.A
5.B
6.B
7.A
8.C
9.A
10.D
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）
11.12
12.14
13.127
14.2
15.①④⑤
三、解答题（共6小题，满分75分）
16.解：(1)因为sin(C-A)=1，
所以C-A=π2，且C+A=π-B，
∴ A=π4-B2，
∴ sinA=sin(π4-B2)=22(cosB2-sinB2)，
两边同时平方得：
∴ sin2A=12(1-sinB)=13，
又sinA>0，
∴ sinA=33.
(2)如图，由正弦定理得ACsinB=BCsinA,
∴ BC=ACsinAsinB=6×3313=32，
cosB=223，cosA=63,
又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
=33×223+63×13=63,
∴ S△ABC=12AC⋅BC⋅sinC
=12×6×32×63
=32.
17.解：由题意知X的可能取值为1，2，3，
随机变量X的分布列是
X
1
2
3
P
13
12
16
X的均值为EX=1×13+2×12+3×16=116．
18.解：（1）解：连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OG⊥AF，G为垂足，连接BG、DG．
由BD⊥AC，BD⊥CF得BD⊥平面ACF，故BD⊥AF．
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于是AF⊥平面BGD，所以BG⊥AF，DG⊥AF，∠BGD为二面角B-AF-D的平面角．
由FC⊥AC，FC=AC=2，得∠FAC=π4，OG=22．
由OB⊥OG，OB=OD=22，得∠BGD=2∠BGO=π2．
（2）解：连接EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，
则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD．
过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足．
因为EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，
所以平面ACEF⊥平面ABCD，从而P∈AC，HP⊥AC．
由HPCF+HPAE=APAC+PCAC=1，得HP=23．
又因为S菱形ABCD=12AC⋅BD=2，
故四棱锥H-ABCD的体积V=13S菱形ABCD⋅HP=229．
19.解：f(x)的定义域是(0, +∞)，f'(x)=1+2x2-ax=x2-ax+2x2．
设g(x)=x2-ax+2，二次方程g(x)=0的判别式△=a2-8．
①当△=a2-8<0，即00都有f'(x)>0，此时f(x)在(0, +∞)上是增函数．
②当△=a2-8=0，即a=22时，仅对x=2有f'(x)=0，对其余的x>0都有f'(x)>0，此时f(x)在(0, +∞)上也是增函数．
③当△=a2-8>0，即a>22时，
方程g(x)=0有两个不同的实根x1=a-a2-82，x2=a+a2-82，0an当且仅当an<1或an>3．
另一方面，若03，则ak+1>32+34=3．
根据数学归纳法得，03⇔an>3，∀n∈N+．
综上所述，对一切n∈N+都有an+1>an的充要条件是03．
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法二：由a2=a12+34>a1，得a12-4a1+3>0，于是03．
an+1-an=an2+34-an-12+34=(an+an-1)(an-an-1)4，
因为a1>0，an+1=an2+34，所以所有的an均大于0，
因此an+1-an与an-an-1同号．
根据数学归纳法，∀n∈N+，an+1-an与a2-a1同号．
因此，对一切n∈N+都有an+1>an的充要条件是03．
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