高中数学人教a版必修二 模块综合测评 word版含答案 12页

模块综合测评 (时间 120 分钟，满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．过点 A(3，－4)，B(－2，m)的直线 l 的斜率为－2，则 m 的值为( ) A．6 B．1 C．2 D．4 【解析】 由题意知 kAB＝ m＋4 －2－3 ＝－2，∴m＝6. 【答案】 A 2．在 x 轴、y 轴上的截距分别是－2、3 的直线方程是( ) A．2x－3y－6＝0 B．3x－2y－6＝0 C．3x－2y＋6＝0 D．2x－3y＋6＝0 【解析】 由直线的截距式得，所求直线的方程为 x －2 ＋y 3 ＝1，即 3x－2y＋6 ＝0. 【答案】 C 3．已知正方体外接球的体积是32 3 π，那么正方体的棱长等于( ) A．2 2 B.2 2 3 C.4 2 3 D.4 3 3 【解析】 设正方体的棱长为 a，球的半径为 R，则4 3πR3＝32 3 π，∴R＝2.又∵ 3a ＝2R＝4，∴a＝4 3 3 . 【答案】 D 4．关于空间直角坐标系 Oxyz 中的一点 P(1,2,3)有下列说法： ①点 P 到坐标原点的距离为 13； ②OP 的中点坐标为 1 2 ，1，3 2 ； ③与点 P 关于 x 轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)； ④与点 P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)； ⑤与点 P 关于坐标平面 xOy 对称的点的坐标为(1,2，－3)． 其中正确的个数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】 点 P 到坐标原点的距离为 12＋22＋32＝ 14，故①错；②正确； 与点 P 关于 x 轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故③错；与点 P 关于坐标原点 对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故④错；⑤正确，故选 A. 【答案】 A 5．如图 1，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N 分别是棱 BB1、B1C1 的中点， 若∠CMN＝90°，则异面直线 AD1 和 DM 所成角为( ) 图 1 A．30° B．45° C．60° D．90° 【解析】 因为 MN⊥DC，MN⊥MC， 所以 MN⊥平面 DCM. 所以 MN⊥DM. 因为 MN∥AD1，所以 AD1⊥DM. 【答案】 D 6．(2015·福建高考)某几何体的三视图如图 2 所示，则该几何体的表面积等于 ( ) 图 2 A．8＋2 2 B．11＋2 2 C．14＋2 2 D．15 【解析】 由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形， 如图所示． 直角梯形斜腰长为 12＋12＝ 2，所以底面周长为 4＋ 2，侧面积为 2×(4＋ 2) ＝8＋2 2，两底面的面积和为 2×1 2 ×1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为 8 ＋2 2＋3＝11＋2 2. 【答案】 B 7．已知圆 x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0 和定点 P(1，－1)，若过点 P 的圆的切线有 两条，则 k 的取值范围是( ) A．(－2，＋∞) B．(－∞，2) C．(－2,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【解析】 因为方程 x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0 表示一个圆，所以 4＋4－4k＞0， 所以 k＜2.由题意知点 P(1，－1)在圆外，所以 12＋(－1)2＋2×1＋2×(－1)＋k＞0， 解得 k＞－2，所以－2＜k＜2. 【答案】 C 8．在三棱柱 ABCA1B1C1 中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点 D 是侧面 BB1C1C 的中心，则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 【解析】 如图，取 BC 的中点 E，连接 DE、AE、AD.依题设知 AE⊥平面 BB1C1C. 故∠ADE 为 AD 与平面 BB1C1C 所成的角．设各棱长为 2，则 AE＝ 3 2 ×2＝ 3， DE＝1. ∵tan∠ADE＝AE DE ＝ 3 1 ＝ 3， ∴∠ADE＝60°，故选 C. 【答案】 C 9．(2015·开封高一检测)若 m、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的 平面，则下列说法中正确的是( ) ①若直线 m、n 都平行于平面α，则 m、n 一定不是相交直线； ②若直线 m、n 都垂直于平面α，则 m、n 一定是平行直线； ③已知平面α、β互相垂直，且直线 m、n 也互相垂直，若 m⊥α，则 n⊥β； ④若直线 m、n 在平面α内的射影互相垂直，则 m⊥n. A．② B．②③ C．①③ D．②④ 【解析】 对于①，m 与 n 可能平行，可能相交，也可能异面； 对于②，由线面垂直的性质定理可知，m 与 n 一定平行，故②正确； 对于③，还有可能 n∥β；对于④，把 m，n 放入正方体中，如图，取 A1B 为 m， B1C 为 n，平面 ABCD 为平面α，则 m 与 n 在α内的射影分别为 AB 与 BC，且 AB⊥BC. 而 m 与 n 所成的角为 60°，故④错．因此选 A. 【答案】 A 10．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点 A(1,0)，B(0， 3)，C(2， 3)，则△ABC 外接圆 的圆心到原点的距离为( ) A.5 3 B. 21 3 C.2 5 3 D.4 3 【解析】 在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝ 2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC 为等边三角形．设 BC 的中点为 D， 点 E 为外心，同时也是重心．所以|AE|＝2 3|AD|＝2 3 3 ，从而|OE|＝ |OA|2＋|AE|2＝ 1＋4 3 ＝ 21 3 ，故选 B. 【答案】 B 11．(2016·重庆高一检测)已知 P(x，y)是直线 kx＋y＋4＝0(k＞0)上一点，PA 是圆 C：x2＋y2－2y＝0 的一条切线，A 是切点，若 PA 长度的最小值为 2，则 k 的 值是( ) 【导学号：09960153】 A．3 B. 21 2 C．2 2 D．2 【解析】 圆 C：x2＋y2－2y＝0 的圆心是(0,1)，半径是 r＝1， ∵PA 是圆 C：x2＋y2－2y＝0 的一条切线，A 是切点，PA 长度的最小值为 2， ∴圆心到直线 kx＋y＋4＝0 的最小距离为 5， 由点到直线的距离公式可得 |1＋4| k2＋1 ＝ 5， ∵k＞0，∴k＝2，故选 D. 【答案】 D 12．(2016·德州高一检测)将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得 BD＝a，则三棱锥 DABC 的体积为( ) A. 2 12a3 B.a3 12 C. 2 4 a3 D.a3 6 【解析】 取 AC 的中点 O，如图， 则 BO＝DO＝ 2 2 a， 又 BD＝a，所以 BO⊥DO，又 DO⊥AC， 所以 DO⊥平面 ACB， VDABC＝1 3S△ABC·DO ＝1 3 ×1 2 ×a2× 2 2 a＝ 2 12a3. 【答案】 A 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线 上) 13．已知两条平行直线的方程分别是 2x＋3y＋1＝0，mx＋6y－5＝0，则实数 m＝________. 【解析】 由于两直线平行，所以2 m ＝3 6 ≠ 1 －5 ，∴m＝4. 【答案】 4 14．一个横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶 直立时，水的高度与桶的高度的比为________． 【解析】 设圆柱形水桶的底面半径为 R，高为 h，桶直立时，水的高度为 x. 横放时水桶底面在水内的面积为 1 4πR2－1 2R2 ，水的体积为 V 水＝ 1 4πR2－1 2R2 h. 直立时水的体积不变，则有 V 水＝πR2x， ∴x∶h＝(π－2)∶4π. 【答案】 (π－2)∶4π 15．已知一个等腰三角形的顶点 A(3,20)，一底角顶点 B(3,5)，另一顶点 C 的 轨迹方程是________． 【解析】 设点 C 的坐标为(x，y)， 则由|AB|＝|AC|得 x－32＋y－202 ＝ 3－32＋20－52， 化简得(x－3)2＋(y－20)2＝225. 因此顶点 C 的轨迹方程为(x－3)2＋(y－20)2＝225(x≠3)． 【答案】 (x－3)2＋(y－20)2＝225(x≠3) 16．(2015·湖南高考)若直线 3x－4y＋5＝0 与圆 x2＋y2＝r2(r>0)相交于 A，B 两 点，且∠AOB＝120°(O 为坐标原点)，则 r＝__________. 【解析】 如图，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，则|OD|＝ 5 32＋－42 ＝1. ∵∠AOB＝120°，OA＝OB， ∴∠OBD＝30°， ∴|OB|＝2|OD|＝2，即 r＝2. 【答案】 2 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤) 17．(本小题满分 10 分)直线 l1 过点 A(0,1)，l2 过点 B(5,0)，如果 l1∥l2 且 l1 与 l2 的距离为 5，求 l1，l2 的方程． 【解】 若直线 l1，l2 的斜率都不存在，则 l1 的方程为 x＝0，l2 的方程为 x＝5， 此时 l1，l2 之间距离为 5，符合题意； 若 l1，l2 的斜率均存在，设直线的斜率为 k，由斜截式方程得直线 l1 的方程为 y＝kx＋1，即 kx－y＋1＝0， 由点斜式可得直线 l2 的方程为 y＝k(x－5)，即 kx－y－5k＝0，在直线 l1 上取点 A(0,1)，则点 A 到直线 l2 的距离 d＝|1＋5k| 1＋k2 ＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k ＝12 5 . ∴l1 的方程为 12x－5y＋5＝0，l2 的方程为 12x－5y－60＝0. 综上知，满足条件的直线方程为 l1：x＝0，l2：x＝5 或 l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0. 18．(本小题满分 12 分)已知圆 C1：x2＋y2－4x＋2y＝0 与圆 C2：x2＋y2－2y－4 ＝0. (1)求证：两圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程． 【导学号：09960154】 【解】 (1)证明：圆 C1：x2＋y2－4x＋2y＝0 与圆 C2：x2＋y2－2y－4＝0 化为 标准方程分别为圆 C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝5 与圆 C2：x2＋(y－1)2＝5，则圆心坐标 分别为 C1(2，－1)与 C2(0,1)，半径都为 5，故圆心距为 2－02＋－1－12＝2 2， 又 0<2 2<2 5，故两圆相交． (2)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在直线的方程，即(x2＋y2－4x ＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，得 x－y－1＝0. 19．(本小题满分 12 分)如图 3，在三棱锥 ABPC 中，AP⊥PC，AC⊥BC，M 为 AB 中点，D 为 PB 中点，且△PMB 为正三角形． 图 3 (1)求证：DM∥平面 APC； (2)求证：平面 ABC⊥平面 APC. 【证明】 (1)∵M 为 AB 的中点，D 为 PB 的中点， ∴MD∥AP. 又∵DM⊄平面 APC，AP⊂平面 APC， ∴DM∥平面 APC. (2)∵△PMB 为正三角形，D 为 PB 中点， ∴MD⊥PB.又∵MD∥AP，∴AP⊥PB. 又∵AP⊥PC，PC∩PB＝P，∴AP⊥平面 PBC. ∵BC⊂平面 PBC，∴AP⊥BC. 又∵AC⊥BC，且 AC∩AP＝A，∴BC⊥平面 APC. 又∵BC⊂平面 ABC，∴平面 ABC⊥平面 APC. 20．(本小题满分 12 分)已知△ABC 的顶点 A(0,1)，AB 边上的中线 CD 所在的 直线方程为 2x－2y－1＝0，AC 边上的高 BH 所在直线的方程为 y＝0. (1)求△ABC 的顶点 B、C 的坐标； (2)若圆 M 经过 A、B 且与直线 x－y＋3＝0 相切于点 P(－3,0)，求圆 M 的方程． 【解】 (1)AC 边上的高 BH 所在直线的方程为 y＝0，所以 AC 边所在直线的 方程为 x＝0， 又 CD 边所在直线的方程为 2x－2y－1＝0， 所以 C 0，－1 2 ， 设 B(b,0)， 则 AB 的中点 D b 2 ，1 2 ， 代入方程 2x－2y－1＝0， 解得 b＝2， 所以 B(2,0)． (2)由 A(0,1)，B(2,0)可得，圆 M 的弦 AB 的中垂线方程为 4x－2y－3＝0，① 由与 x－y＋3＝0 相切，切点为(－3,0)可得，圆心所在直线方程为 y＋x＋3＝0， ② ①②联立可得，M －1 2 ，－5 2 ， 半径|MA|＝ 1 4 ＋49 4 ＝ 50 2 ， 所以所求圆方程为 x＋1 2 2＋ y＋5 2 2＝25 2 . 21．(本小题满分 12 分)如图 4，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱垂直于底面， AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F 分别是 A1C1，BC 的中点． 图 4 (1)求证：平面 ABE⊥平面 B1BCC1； (2)求证：C1F∥平面 ABE； (3)求三棱锥 EABC 的体积． 【解】 (1)证明：在三棱柱 ABCA1B1C1 中， BB1⊥底面 ABC，所以 BB1⊥AB. 又因为 AB⊥BC， 所以 AB⊥平面 B1BCC1， 又 AB⊂平面 ABE， 所以平面 ABE⊥平面 B1BCC1. (2)证明：取 AB 的中点 G，连接 EG，FG. 因为 E，F 分别是 A1C1，BC 的中点， 所以 FG∥AC，且 FG＝1 2AC. 因为 AC∥A1C1，且 AC＝A1C1， 所以 FG∥EC1，且 FG＝EC1， 所以四边形 FGEC1 为平行四边形．所以 C1F∥EG. 又因为 EG⊂平面 ABE，C1F⊄平面 ABE， 所以 C1F∥平面 ABE. (3)因为 AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC， 所以 AB＝ AC2－BC2＝ 3. 所以三棱锥 EABC 的体积 V＝1 3S△ABC·AA1＝1 3 ×1 2 × 3×1×2＝ 3 3 . 22．(本小题满分 12 分)已知圆 M 过两点 A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心 M 在 x＋y－2＝0 上． (1)求圆 M 的方程； (2)设 P 是直线 3x＋4y＋8＝0 上的动点，PC、PD 是圆 M 的两条切线，C、D 为切点，求四边形 PCMD 面积的最小值. 【导学号：09960155】 【解】 (1)法一 线段 AB 的中点为(0,0)，其垂直平分线方程为 x－y＝0. 解方程组 x－y＝0， x＋y－2＝0. 所以圆 M 的圆心坐标为(1,1)， 半径 r＝ 1－12＋－1－12＝2. 故所求圆 M 的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 法二 设圆 M 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，(r＞0)， 根据题意得 1－a2＋－1－b2＝r2， －1－a2＋1－b2＝r2， a＋b－2＝0. 解得 a＝b＝1，r＝2. 故所求圆 M 的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. (2)由题知，四边形 PCMD 的面积为 S＝S△PMC＋S△PMD＝1 2|CM|·|PC|＋1 2|DM|·|PD|. 又|CM|＝|DM|＝2，|PC|＝|PD|， 所以 S＝2|PC|， 而|PC|＝ |PM|2－|CM|2 ＝ |PM|2－4， 即 S＝2 |PM|2－4. 因此要求 S 的最小值，只需求|PM|的最小值即可， 即在直线 3x＋4y＋8＝0 上找一点 P，使得|PM|的值最小，所以 |PM|min＝|3×1＋4×1＋8| 32＋42 ＝3， 所以四边形 PCMD 面积的最小值为 S＝2 |PM|2－4＝2 32－4＝2 5.