人教新课标A版高三数学复习 公式大全 7页

第页（共7页） 1 一、函数 1、函数的单调性：（1）设 2121 ],,[ xxbaxx 、 那么 ],[)(0)()( 21 baxfxfxf 在− 上是增函数； ],[)(0)()( 21 baxfxfxf 在− 上是减函数. 也可以这样定义：设   2121 ,, xxbaxx  那么  1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x− −    baxf xx xfxf ,)(0 )()( 21 21 在 − − 上是增函数；  1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x− −    baxf xx xfxf ,)(0 )()( 21 21 在 − − 上是减函数. （2）复合函数单调性：同增异减 2、函数的奇偶性 首先判断函数定义域是否关于原点对称，若不对称则为非奇非偶函数；若对称则继续往下判断： 对于定义域内任意的 x ，都有 )()( xfxf =− ，则 )(xf 是偶函数； 对于定义域内任意的 x ，都有 )()( xfxf −=− ，则 )(xf 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y轴对称。 3、复合函数定义域求法规则：（1）定义域指的是单个 x 的取值范围 (2) 同类型的函数括号内的范围相同 4、二次函数 )0(2 ++= acbxaxy 的性质 （1）顶点坐标公式：       − − a bac a b 4 4 , 2 2 ， 对称轴： a b x 2 −= ，最大（小）值： a bac 4 4 2− （2）.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 2( ) ( 0)f x ax bx c a= + +  ; (2)顶点式 2( ) ( ) ( 0)f x a x h k a= − +  ; (3)两根式 1 2( ) ( )( )( 0)f x a x x x x a= − −  . 5、指数与指数函数 幂的运算法则： （1）a m • a n = a m + n ，（2） nmnm aaa −= ，（3）( a m ) n = a m n （4）( ab ) n = a n • b n （5） n nn b a b a =      （6）a 0 = 1 ( a≠0)（7） n n a a 1 =− （8） m nm n aa = （9） m n m n a a 1 = − 根式的性质 （1） ( )nn a a= .（2）当 n 为奇数时， n na a= ； 当 n 为偶数时， , 0 | | , 0 n n a a a a a a  = =  −  . 指数函数 y = a x (a > 0 且 a≠1)的性质： （1）定义域：R ； 值域：( 0 , +∞) （2）图象过定点（0，1） 6、指数式与对数式的互化： log b a N b a N=  = ( 0, 1, 0)a a N   . 7、对数与对数函数 对数的运算法则： （1）a b = N <=> b = log a N（2）log a 1 = 0（3）log a a = 1（4）log a a b = b（5）a log a N = N （6）log a (MN) = log a M + log a N （7）log a ( N M ) = log a M -- log a N （8）log a N b = b log a N （9）换底公式：log a N = a N b b log log （10）推论 log logm n aa n b b m = ( 0a  ,且 1a  , , 0m n  ,且 1m  , 1n  , 0N  ). （11）log a N = aNlog 1 （12）常用对数：lg N = log 10 N （13）自然对数：ln A = log e A （其中 e = 2.71828…） 对数函数 y = log a x (a > 0 且 a≠1)的性质： （1）定义域：( 0 , +∞) ； 值域：R （2）图象过定点（1，0） 8、幂函数 y = x a 的图象:根据 a 的取值画出函数在第一象限的简图 . 例如： y = x 2 2 1 xxy == 11 −== x x y 9、图象平移：若将函数 )(xfy = 的图象右移a 、上移b 个单位， 得到函数 baxfy +−= )( 的图象； 规律：左加右减，上加下减 10、函数的零点：（1）定义：对于 ( )y f x= ，把使 ( ) 0f x = 的 X 叫 ( )y f x= 的零点。即 ( )y f x= 的图象与 X 轴相交时交点的横坐标。 （2）函数零点存在性定理：如果函数 ( )y f x= 在区间  ,a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并有 ( ) ( ) 0f a f b  ，那么 ( )y f x= 在区间 ( ),a b 内有零点，即存在 ( ),c a b ，使得 ( ) 0f c = ，这个 C 就是零点。 Y 0 X 1 a > 1 0 Y X 1 0 < a < 1 0 Y X 1 a >1 X 0 Y 1 0 < a < 1 a > 1 0 < a < 1 a < 0 第页（共7页） 2 二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 1、三角函数的定义：若角 终边上任意一点的坐标为 ( )00, yx ，则 2 0 2 0 0sin yx y + = ， 2 0 2 0 0cos yx x + = ， 0 0tan x y = 2、同角三角函数的基本关系式 2 2sin cos 1 + = ， tan =   cos sin . 3、正弦、余弦的诱导公式  k 的正弦、余弦，等于 的同名函数，前面加上把 看成锐角时该函数的符号；    + 2 k 的正弦、余弦，等于 的余名函数，前面加上把 看成锐角时该函数的符号。 4、和角与差角公式 sin( ) sin cos cos sin      =  ;cos( ) cos cos sin sin      = ; tan tan tan( ) 1 tan tan         = . 5、二倍角公式 sin 2 2sin cos  = . 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin    = − = − = − . 2 2 tan tan 2 1 tan    = − . 公式变形： ; 2 2cos1 sin,2cos1sin2 ; 2 2cos1 cos,2cos1cos2 22 22     − =−= + =+= 6、三角函数的周期 函数 sin( )y x = + ，x∈R及函数 cos( )y x = + ，x∈R(A,ω, 为常数，且 A≠0，ω＞0)的周期 2 T   = ； 函数 tan( )y x = + ， , 2 x k k Z   +  (A,ω, 为常数，且 A≠0，ω＞0)的周期T   = . 7、 函数 sin( )y x = + 的周期、最值、单调区间、图象变换 函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 图象 定义域 R R {x| x≠ 2  +kπ,k∈Z} 值域 [-1,1] [-1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 增区间[- 2  +2kπ, 2  +2kπ] 减区间[ 2  +2kπ, 2 3 +2kπ] 增区间[-π+2kπ, 2kπ] 减区间[2kπ,π+2kπ] ( k∈Z ) 增区间 (- 2  +kπ, 2  +kπ) ( k∈Z ) 对称轴 x = 2  + kπ( k∈Z ) x = kπ ( k∈Z ) 无 对称中心 ( kπ,0 ) ( k∈Z ) ( 2  + kπ,0 )( k∈Z ) ( k 2  ,0 ) ( k∈Z ) 8、辅助角公式 )sin(cossin 22 ++=+= xbaxbxay 其中 a b =tan 9、正弦定理 2 sin sin sin a b c R A B C = = = . 10、余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − ; 2 2 2 2 cosb c a ca B= + − ; 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − . 11、三角形面积公式 （1） 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 S ab C bc A ca B= = = .（2） ( )rcbaS ++= 2 1 ， r 为内切圆半径 （3） ( )( )( )cpbpappS −−−= ， 2 cba p ++ = 12、三角形内角和定理 在△ABC 中，有 ( )A B C C A B + + =  = − + 13、 a 与b 的数量积(或内积) cos|||| baba = 14、平面向量的坐标运算 (1)设 A 1 1( , )x y ，B 2 2( , )x y ,则 2 1 2 1( , )AB OB OA x x y y= − = − − . (2)设 a = 1 1( , )x y ,b = 2 2( , )x y ，则 ba  = 2121 yyxx + .(3)设 a = ),( yx ，则 22 yxa += 15、两向量的夹角公式 设 a = 1 1( , )x y ,b = 2 2( , )x y ，且 0b ，则 2 2 2 2 2 1 2 1 2121cos yxyx yyxx ba ba ++ + =  = 16、向量的平行与垂直 ba //  ab = 1 2 2 1 0x y x y − = . )0( ⊥ aba  0=ba 1 2 1 2 0x x y y + = . 17、 三角形四“心”向量形式的充要条件 设O 为 ABC 所在平面上一点，角 , ,A B C 所对边长分别为 , ,a b c，则 （1）O 为 ABC 的外心 2 2 2 OA OB OC = = .（2）O 为 ABC 的重心 0OA OB OC + + = . （3）O 为 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA  =  =  . （4）O 为 ABC 的内心 0aOA bOB cOC + + = . 三、数列 1、数列的通项公式与前 n项的和的关系 第页（共7页） 3 1 1 , 1 , 2 n n n s n a s s n− = =  −  ( 数列{ }na 的前 n项的和为 1 2n ns a a a= + + + ). 2、等差数列的通项公式 * 1 1( 1) ( )na a n d dn a d n N= + − = + −  ； 3、等差数列其前 n项和公式为 1( ) 2 n n n a a s + = 1 ( 1) 2 n n na d − = + 2 1 1 ( ) 2 2 d n a d n= + − . 4、等比数列的通项公式 1 *1 1 ( )n n n a a a q q n N q −= =   ； 5、等比数列前 n项的和公式为 1 1 (1 ) , 1 1 , 1 n n a q q s q na q  −  = −  = 或 1 1 , 1 1 , 1 n n a a q q qs na q −  −=   = . 四、不等式 1、一元二次不等式 2 0( 0)ax bx c+ +  或 2( 0, 4 0)a b ac  = −  ，如果a 与 2ax bx c+ + 同号，则其解集在 两根之外；如果 a 与 2ax bx c+ + 异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. 1 2 1 2 1 2( )( ) 0( )x x x x x x x x x   − −   ； 1 2 1 2 1 2, ( )( ) 0( )x x x x x x x x x x   − −  或 . 2、含有绝对值的不等式 当 a> 0时，有 22x a x a a x a   −   . 2 2x a x a x a     或 x a − . 3、已知 yx, 都是正数，则有 xy yx  + 2 ，当 yx = 时等号成立。 变形：（1） xyyx 2+ （2） 2 2       +  yx xy 应用：（1）若积 xy是定值 p ，则当 yx = 时和 yx + 有最小值 p2 ；积定和小 （2）若和 yx + 是定值 s ，则当 yx = 时积 xy有最大值 2 4 1 s .和定积大 * 4、三个特殊不等式 （3） 3 3 3 3 ( 0, 0, 0).a b c abc a b c+ +     （4）柯西不等式 2 2 2 2 2( )( ) ( ) , , , , .a b c d ac bd a b c d R+ +  +  （5） bababa ++− . 五、解析几何 1、直线的五种方程 （1）点斜式 1 1( )y y k x x− = − (直线 l 过点 1 1 1( , )P x y ，且斜率为 k )． （2）斜截式 y kx b= + (b为直线 l 在 y轴上的截距). （3）两点式 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x − − = − − ( 1 2y y )( 1 1 1( , )P x y 、 2 2 2( , )P x y ( 1 2x x )). (4)截距式 1 x y a b + = ( a b、 分别为直线的横、纵截距， 0a b 、 ) （5）一般式 0Ax By C+ + = (其中 A、B 不同时为 0). 2、两条直线的平行和垂直 若 1 1 1:l y k x b= + ， 2 2 2:l y k x b= + ① 1 2 1 2 1 2|| ,l l k k b b =  ;② 1 2 1 2 1l l k k⊥  =− . 3、平面两点间的距离公式 ,A Bd 2 2 2 1 2 1( ) ( )x x y y= − + − (A 1 1( , )x y ，B 2 2( , )x y ). 4、点到直线的距离 0 0 2 2 | |Ax By C d A B + + = + (点 0 0( , )P x y ,直线 l ： 0Ax By C+ + = ). 5、两条平行线间距离公式 22 12 BA CC d + − = （两条线为 01 =++ CByAx 与 02 =++ CByAx ） 6、线段的定比分公式 设 1 1 1( , )P x y ， 2 2 2( , )P x y ， ( , )P x y 是线段 1 2PP 的分点, 是实数，且 1 2PP PP= ，则 1 2 1 2 1 1 x x x y y y     + = +  + =  +  1 2 1 OP OP OP   + = +  1 2(1 )OP tOP t OP= + − （ 1 1 t  = + ）. 7、三角形的重心坐标公式 △ ABC 三个顶点的坐标分别为 1 1A(x ,y )、 2 2B(x ,y )、 3 3C(x ,y ) , 则△ ABC 的重心的坐标是 1 2 3 1 2 3( , ) 3 3 x x x y y y G + + + + . 8、圆的三种方程 （1）圆的标准方程 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = .（2）圆的一般方程 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = ( 2 2 4D E F+ − ＞0). *（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r   = +  = + . 9、直线与圆的位置关系 直线 0=++ CByAx 与圆 222 )()( rbyax =−+− 的位置关系有三种: 0 相离rd ; 0== 相切rd ; 0 相交rd . 弦长= 222 dr − 其中 22 BA CBbAa d + ++ = . 10、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质 椭圆： 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b + =   ， 222 bca =− ，离心率 1= a c e ，* 参数方程是 cos sin x a y b   =  = . 双曲线： 1 2 2 2 2 =− b y a x (a>0,b>0)， 222 bac =− ，离心率 1= a c e ，渐近线方程是 x a b y = . 抛物线： pxy 22 = ，焦点 )0, 2 ( p ,准线 2 p x −= 。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离. 11、双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为 1 2 2 2 2 =− b y a x 渐近线方程： 2 2 2 2 0 x y a b − =  x a b y = . (2)若渐近线方程为 x a b y =  0= b y a x 双曲线可设为 =− 2 2 2 2 b y a x . (3)若双曲线与 1 2 2 2 2 =− b y a x 有公共渐近线，可设为 =− 2 2 2 2 b y a x （ 0 ，焦点在 x 轴上， 0 ，焦点在 y 轴 上）. 第页（共7页） 4 12、抛物线 pxy 22 = 的焦半径公式 抛物线 2 2 ( 0)y px p=  焦半径 2 || 0 p xPF += .（抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。） 13、过抛物线焦点的弦长 pxx p x p xAB ++=+++= 2121 22 . 六、立体几何 1、证明直线与直线平行的方法 （1）三角形中位线 （2）平行四边形（一组对边平行且相等） 2、证明直线与平面平行的方法 （1）直线与平面平行的判定定理（证平面外一条直线与平面内的一条直线平行）（2）先证面面平行 3、证明平面与平面平行的方法 平面与平面平行的判定定理（一个平面内的两条相交．．．．直线分别与另一平面平行） 4、证明直线与直线垂直的方法 转化为证明直线与平面垂直 5、证明直线与平面垂直的方法 （1）直线与平面垂直的判定定理（直线与平面内两条相交．．．．直线垂直） （2）平面与平面垂直的性质定理（两个平面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面） 6、证明平面与平面垂直的方法 平面与平面垂直的判定定理（一个平面内有一条直线与另一个平面垂直） 7、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式 圆柱侧面积= rl2 ，表面积= 222 rrl  + 圆椎侧面积= rl ，表面积= 2rrl  + V Sh=柱体 （ S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高）. 1 3 V Sh=锥体 （ S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高）. 球的半径是 R ，则其体积 34 3 V R= ,其表面积 24S R= ． 8、异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算 9、点到平面距离的计算（定义法、等体积法） 10、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。 正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。 七、排列组合 1.分类计数原理（加法原理） 1 2 nN m m m= + + + . 2.分步计数原理（乘法原理） 1 2 nN m m m=    . 3.排列数公式 m nA = )1()1( +−− mnnn  = ！ ！ )( mn n − .( n ，m∈N * ，且m n )．注:规定 1!0 = . 4.排列恒等式 (1） 1( 1)m m n nA n m A −= − + ;（2） 1 m m n n n A A n m −= − ;（3） 1 1 m m n nA nA − −= ; （4） 1 1 n n n n n nnA A A+ += − ;（5） 1 1 m m m n n nA A mA − + = + .(6) 1! 2 2! 3 3! ! ( 1)! 1n n n+  +  + +  = + − . 5.组合数公式 m nC = m n m m A A = m mnnn  +−−   21 )1()1( = ！！ ！ )( mnm n − ( n ∈N * ，m N ，且m n ). 6.组合数的两个性质 (1) m nC = mn nC − ;(2) m nC + 1−m nC = m nC 1+ .注:规定 10 =nC . 7.组合恒等式 （1） 11m m n n n m C C m −− + = ;（2） 1 m m n n n C C n m −= − ;（3） 1 1 m m n n n C C m − −= ; （4） = n r r nC 0 = n2 ; （5） 1 121 + +++ =++++ r n r n r r r r r r CCCCC  .(6) nn n r nnnn CCCCC 2210 =++++++  . (7) 1420531 2 −+++=+++ n nnnnnn CCCCCC  . (8) 1321 232 −=++++ nn nnnn nnCCCC  . (9) r nm r n r mn r mn r m CCCCCCC + − =+++ 0110  .(10) n n n nnnn CCCCC 2 2222120 )()()()( =++++  . 8.排列数与组合数的关系 m m n nA m C= ！ . 9．单条件排列 以下各条的大前提是从n 个元素中取m个元素的排列. （1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有 1 1 − − m nA 种；②某（特）元不在某位有 1 1 − −− m n m n AA （补集思想） 1 1 1 1 − −−= m nn AA （着眼位置） 1 1 1 11 − −−− += m nm m n AAA （着眼元素）种. （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位紧贴： )( nmkk  个元在固定位的排列有 km kn k k AA − − 种. ②浮动紧贴：n 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 k k kn kn AA 1 1 +− +− 种.注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有 k、h 个（ 1+ hk ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列 数有 k h h h AA 1+ 种. （3）两组元素各相同的插空 m个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当 1+ mn 时，无解；当 1+ mn 时，有 n mn n n m C A A 1 1 + + = 种排法. （4）两组相同元素的排列：两组元素有 m 个和 n 个，各组元素分别相同的排列数为 n nmC + . 10．分配问题 （1）(平均分组有归属问题)将相异的 m 、 n 个物件等分给 m 个人，各得 n 件，其分配方法数共有 m n n n n n nmn n nmn n mn n mn CCCCCN )!( )!( 22 == −−  . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m · n 个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有 m n n n n n nmn n nmn n mn nm mn m CCCCC N )!(! )!( ! ... 22 =  = −− . （3）(非平均分组有归属问题)将相异的 )1 2 mP(P=n +n + +n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得 到 1n ， 2n ， … ， mn 件 ， 且 1n ， 2n ， … ， mn 这 m 个 数 彼 此 不 相 等 ， 则 其 分 配 方 法 数 共 有 !!...! !! !... 21 2 1 1 m n n n np n p nnn mp mCCCN m m == − . （4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的 )1 2 mP(P=n +n + +n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分 别得到 1n ， 2n ，…， mn 件，且 1n ， 2n ，…， mn 这m 个数中分别有 a、b、c、…个相等，则其分配方法数有 !...!! !...2 1 1 cba mCCC N m m n n n np n p  = − 1 2 ! ! ! !... !( ! ! !...)m p m n n n a b c = . （5）(非平均分组无归属问题)将相异的 )1 2 mP(P=n +n + +n 个物体分为任意的 1n ， 2n ，…， mn 件无记号的m堆， 且 1n ， 2n ，…， mn 这m个数彼此不相等，则其分配方法数有 !!...! ! 21 mnnn p N = . 第页（共7页） 5 （6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的 )1 2 mP(P=n +n + +n 个物体分为任意的 1n ， 2n ，…， mn 件无记号的 m堆，且 1n ， 2n ，…， mn 这m个数中分别有 a、b、c、…个相等，则其分配方法数有 !...)!!(!!...! ! 21 cbannn p N m = . （7）(限定分组有归属问题)将相异的 p （ 2 mp n n n= 1+ + + ）个物体分给甲、乙、丙，……等m个人，物体必 须被分完，如果指定甲得 1n 件，乙得 2n 件，丙得 3n 件，…时，则无论 1n ， 2n ，…， mn 等m个数是否全相异或 不全相异其分配方法数恒有 !!...! ! ... 21 2 1 1 m n n n np n p nnn p CCCN m m == − . 11．“错位问题”及其推广 贝努利装错笺问题:信 n 封信与 n 个信封全部错位的组合数为 1 1 1 1 ( ) ![ ( 1) ] 2! 3! 4! ! nf n n n = − + − + − . 推广: n 个元素与 n 个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为 1 2 3 4( , ) ! ( 1)! ( 2)! ( 3)! ( 4)! ( 1) ( )! ( 1) ( )! m m m m p p m m m m f n m n C n C n C n C n C n p C n m = − − + − − − + − − + − − + + − − 1 2 3 4 1 2 2 4 ![1 ( 1) ( 1) ] p m p mm m m m m m p m n n n n n n C C C C C C n A A A A A A = − + − + − + − + + − . 12．不定方程 2 nx x x m=1+ + + 的解的个数 (1)方程 2 nx x x m=1+ + + （ ,n m N ）的正整数解有 1 1 m nC − − 个. (2) 方程 2 nx x x m=1+ + + （ ,n m N ）的非负整数解有 1 1 n m nC + − − 个. (3) 方程 2 nx x x m=1+ + + （ ,n m N ）满足条件 ix k ( k N  , 2 1i n  − )的非负整数解有 1 1 ( 2)( 1)m n n kC + − − − − 个. (4) 方程 2 nx x x m=1+ + + （ ,n m N ）满足条件 ix k ( k N  , 2 1i n  − )的正整数解有 1 2 2 2 2 3 2 1 ( 2) 1 1 1 2 1 2 2 1( 1) n m n m n k n m n k n m n k n n n n n nC C C C C C C + − − + − − − + − − − + − − − − − − − −− + − + − 个. 13.二项式定理 nn n rrnr n n n n n n n n bCbaCbaCbaCaCba ++++++=+ −−− 222110)( ; 二项展开式的通项公式 rrnr nr baCT − + =1 )210( nr ，，， = . 八、事件期望方差回归方程 1.等可能性事件的概率 ( ) m P A n = . 2.互斥事件 A，B分别发生的概率的和 P(A＋B)=P(A)＋P(B)． 3. n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 4.独立事件 A，B同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). 5.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)． 6. n次独立重复试验中某事件恰好发生 k次的概率 ( ) (1 ) .k k n k n nP k C P P −= − 7.离散型随机变量的分布列的两个性质（1） 0( 1,2, )iP i = ;（2） 1 2 1P P+ + = . 8.数学期望 1 1 2 2 n nE x P x P x P = + + + + 9.数学期望的性质 （1） ( ) ( )E a b aE b + = + .（2）若 ～ ( , )B n p ,则 E np = . (3) 若 服从几何分布,且 1( ) ( , ) kP k g k p q p −= = = ，则 1 E p  = . 10.方差 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 n nD x E p x E p x E p   = −  + −  + + −  + 11.标准差 = D . 12.方差的性质 (1) ( ) 2D a b a D + = ；(2）若 ～ ( , )B n p ，则 (1 )D np p = − . (3) 若 服从几何分布,且 1( ) ( , ) kP k g k p q p −= = = ，则 2 q D p  = . 13.方差与期望的关系 ( ) 22D E E  = − . 14.正态分布密度函数 ( ) ( ) ( ) 2 226 1 , , 2 6 x f x e x   − − =  − + ，式中的实数μ， （ >0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差. 15.标准正态分布密度函数 ( ) ( ) 2 2 1 , , 2 6 x f x e x  − =  − + . 16.对于 2( , )N   ，取值小于 x的概率 ( ) x F x   −  =     . ( ) ( ) ( )12201 xxPxxPxxxP −= ( ) ( )2 1F x F x= − 2 1x x    − −    =  −        . 17.回归直线方程 y a bx= + ，其中 ( )( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 1 n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx = = = =  − − −  = =  − −   = −     . 18.相关系数 ( )( ) 1 2 2 1 1 ( ) ( ) n i i i n n i i i i x x y y r x x y y = = = − − = − −    ( )( ) 1 2 2 2 2 1 1 ( )( ) n i i i n n i i i i x x y y x nx y ny = = = − − = − −    . |r|≤1，且|r|越接近于 1，相关程度越大；|r|越接近于 0，相关程度越小. 九、极限与导数 1.特殊数列的极限 （1） 0 | | 1 lim 1 1 | | 1 1 n n q q q q q →   = =   = −不存在 或 .（2） 1 1 0 1 1 0 0 ( ) lim ( ) ( ) k k k k t t tn t t k k t a n a n a a k t b n b n b b k t − − −→ −    + + +  = = + + +   不存在 . （3） ( )1 1 1 lim 1 1 n n a q a S q q→ − = = − − （ S 无穷等比数列  1 1 na q − ( | | 1q  )的和）. 2. 函数的极限定理 0 lim ( ) x x f x a → =  0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x a − +→ → = = . 3.函数的夹逼性定理 如果函数 f(x)，g(x)，h(x)在点 x0 的附近满足： 第页（共7页） 6 （1） ( ) ( ) ( )g x f x h x  ; （2） 0 0 lim ( ) , lim ( ) x x x x g x a h x a → → = = （常数）,则 0 lim ( ) x x f x a → = .本定理对于单侧极限和 →x 的情况仍然成立. 4.几个常用极限 （1） 1 lim 0 n n→ = ， lim 0n n a → = （ | | 1a  ）；（2） 0 0lim x x x x → = ， 0 0 1 1 lim x x x x→ = . 5.两个重要的极限 （1） 0 sin lim 1 x x x→ = ；（2） 1 lim 1 x x e x→   + =    (e=2.718281845…). 6.函数极限的四则运算法则 若 0 lim ( ) x x f x a → = ， 0 lim ( ) x x g x b → = ，则 (1) ( ) ( ) 0 lim x x f x g x a b →  =    ； (2) ( ) ( ) 0 lim x x f x g x a b →  =    ; (3) ( ) ( ) ( ) 0 lim 0 x x f x a b g x b→ =  . 7.数列极限的四则运算法则 若 lim , limn n n n a a b b → → = = ，则 (1) ( )lim n n n a b a b →  =  ； (2) ( )lim n n n a b a b →  =  ； (3) ( )lim 0n n n a a b b b→ =  (4) ( )lim lim limn n n n n c a c a c a → → →  =  =  ( c 是常数). 8. )(xf 在 0x 处的导数（或变化率或微商） 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim limx x x x f x x f xy f x y x x =  →  → + −  = = =   . 9.瞬时速度 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim t t s s t t s t s t t t   →  →  + − = = =   . 10.瞬时加速度 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim t t v v t t v t a v t t t →  →  + − = = =   . 11. )(xf 在 ),( ba 的导数 ( ) dy df f x y dx dx  = = = 0 0 ( ) ( ) lim lim x x y f x x f x x x →  →  + − = =   . 12. 函数 )(xfy = 在点 0x 处的导数的几何意义 函数 )(xfy = 在点 0x 处的导数是曲线 )(xfy = 在 ))(,( 00 xfxP 处的切线的斜率 )( 0xf  ，相应的切线方程是 ))(( 000 xxxfyy −=− . 13.几种常见函数的导数 (1) 0=C （C为常数）. (2) ' 1( ) ( )n nx nx n Q−=  . (3) xx cos)(sin = . (4) xx sin)(cos −= . (5) x x 1 )(ln = ； e a x x a log 1 )(log = . (6) xx ee =)( ; aaa xx ln)( = . 14.导数的运算法则 （1） ' ' '( )u v u v =  . （2） ' ' '( )uv u v uv= + . （3） ' ' ' 2 ( ) ( 0) u u v uv v v v − =  . 15.复合函数的求导法则 设函数 ( )u x= 在点 x 处有导数 ' '( )xu x= ，函数 )(ufy = 在点 x 处的对应点 U处有导数 ' '( )uy f u= ，则 复合函数 ( ( ))y f x= 在点 x 处有导数，且 ' ' ' x u xy y u=  ，或写作 ' ' '( ( )) ( ) ( )xf x f u x = . 16.常用的近似计算公式（当 x 充小时） (1) xx 2 1 11 ++ ; x n xn 1 11 ++ ； (2) (1 ) 1 ( )x x R  +  +  ； x x − + 1 1 1 ； (3) xex +1 ； (4) xxln + )1( ； (5) xx sin （ x 为弧度）； (6) xx tan （ x 为弧度）； (7) xx arctan （ x 为弧度） 17.判别 )( 0xf 是极大（小）值的方法 当函数 )(xf 在点 0x 处连续时， （1）如果在 0x 附近的左侧 0)(  xf ，右侧 0)(  xf ，则 )( 0xf 是极大值； （2）如果在 0x 附近的左侧 0)(  xf ，右侧 0)(  xf ，则 )( 0xf 是极小值. 十、复数与一元二次方程 1.复数的相等 ,a bi c di a c b d+ = +  = = .（ , , ,a b c d R ） 2.复数 z a bi= + 的模（或绝对值） | |z = | |a bi+ = 2 2a b+ . 3.复数的四则运算法则 (1) ( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i+ + + = + + + ; (2) ( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i+ − + = − + − ; (3) ( )( ) ( ) ( )a bi c di ac bd bc ad i+ + = − + + ; (4) 2 2 2 2 ( ) ( ) ( 0) ac bd bc ad a bi c di i c di c d c d + − +  + = + +  + + . 4.复数的乘法的运算律 对于任何 1 2 3, ,z z z C ，有 交换律: 1 2 2 1z z z z =  . 第页（共7页） 7 结合律: 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z  =   . 分配律: 1 2 3 1 2 1 3( )z z z z z z z + =  +  . 5.复平面上的两点间的距离公式 2 2 1 2 2 1 2 1| | ( ) ( )d z z x x y y= − = − + − （ 1 1 1z x y i= + ， 2 2 2z x y i= + ）. 6.向量的垂直 非零复数 1z a bi= + ， 2z c di= + 对应的向量分别是 1OZ ， 2OZ ，则 1 2OZ OZ⊥  1 2z z 的实部为零 2 1 z z 为纯虚数 2 2 2 1 2 1 2| | | | | |z z z z+ = +  2 2 2 1 2 1 2| | | | | |z z z z− = +  1 2 1 2| | | |z z z z+ = −  0ac bd+ =  1 2z iz= (λ为非零实数). 7.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 2 0ax bx c+ + = ， ①若 2 4 0b ac = −  ,则 2 1,2 4 2 b b ac x a −  − = ; ②若 2 4 0b ac = − = ,则 1 2 2 b x x a = = − ; ③若 2 4 0b ac = −  ，它在实数集 R 内没有实数根；在复数集 C 内有且仅有两个共轭复数根 2 2( 4 ) ( 4 0) 2 b b ac i x b ac a −  − − = −  .