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  • 2021-06-16 发布

高考数学(理)一轮复习人教A版-第五章 平面向量-第五章 第1节平面向量的概念及线性运算

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第1节 平面向量的概念及线性运算 最新考纲 1.了解向量的实际背景;2.理解平面向量的概念,理解两个向 量相等的含义;3.理解向量的几何表示;4.掌握向量加法、减法的运算, 并理解其几何意义;5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量 共线的含义;6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 1.向量的有关概念 (1)向量:既有 又有 的量叫做向量,向量的大小叫 做向量的 . (2)零向量: 的向量,其方向是任意的. (3)单位向量:长度等于 的向量. (4)平行向量:方向 或 的非零向量.平行向量又叫 .规定:0与任一向量 . (5)相等向量:长度 且方向 的向量. (6)相反向量:长度 且方向 的向量. 知 识 梳 理大小 方向 长度(或模) 长度为0 1个单位 相同 相反 共线向量 平行 相等 相同 相等 相反 2.向量的线性运算 向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量 和的运算 (1)交换律:a+b=________. (2)结合律: (a+b)+c=___________ 减法 求a与b的相 反向量-b的 和的运算叫 做a与b的差 a-b=a+(-b) b+a a+(b+c) 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得 . 数乘 求实数λ与向量a 的积的运算 (1)|λa|=_______; (2)当λ>0时,λa的方向 与a的方向______;当λ <0时,λa的方向与a的 方向______;当λ=0时, λa=_____ λ(μa)=_____; (λ+μ)a=________; λ(a+b)=_________ |λ||a| 相同 相反 0 λμa λa+μa λa+λb b=λa 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) 解析 (2)若b=0,则a与c不一定平行. (3)共线向量所在的直线可以重合,也可以平行,则A,B,C,D四点不一 定在一条直线上. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 诊 断 自 测 答案 A 答案 A 答案 b-a -a-b 5.(2015·全国Ⅱ卷)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ= ____________. 考点一 平面向量的概念 【例1】 给出下列四个命题: 解析 ①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同. ③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同,又b=c,∴b,c的长度相 等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c. ④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b| 且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件. 综上所述,正确命题的序号是②③. 答案 A 【训练1】 下列命题中,正确的是________(填序号). ①有向线段就是向量,向量就是有向线段; ②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反; ③两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小. 解析 ①不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段,有 向线段也不是向量; ②不正确,若a与b中有一个为零向量,零向量的方向是不确定的,故两 向量方向不一定相同或相反; ③正确,向量既有大小,又有方向,不能比较大小;向量的模均为实数, 可以比较大小. 答案 ③ 考点二 平面向量的线性运算 规律方法 1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运 用相反向量将加减法相互转化. 2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:(1)观察各向量的位置; (2)寻找相应的三角形或多边形;(3)运用法则找关系;(4)化简结果. 考点三 共线向量定理及其应用 【例3】 设两个非零向量a与b不共线. (2)解 ∵ka+b与a+kb共线,∴存在实数λ, 使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb, ∴(k-λ)a=(λk-1)b. ∵a,b是不共线的两个非零向量, ∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=±1. 规律方法 1.证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线 与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共 线. 2.向量a,b共线是指存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0成立. 解析 由于c与d共线反向,则存在实数k使c=kd(k<0), 于是λa+b=k[a+(2λ-1)b]. 整理得λa+b=ka+(2λk-k)b. 答案 B