高考数学（理）一轮复习人教A版-第七章 第1节 34页

第1节　不等式的性质与一元二次不等式 最新考纲　1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不 等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模 型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方 程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求 解的程序框图. 知 识 梳 理1.两个实数比较大小的方法 ＞ ＜ ＞ ＜ 2.不等式的性质 ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ 3.三个“二次”间的关系 {x|x＞x2或x＜x1} R {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)a＞b ⇔ ac2＞bc2.(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　) (3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解 集为R.(　　) (4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(　 　) 诊 断 自 测 解析　(1)由不等式的性质，ac2＞bc2 ⇒ a＞b；反之，c＝0时，a＞b ⇒ / ac2＞ bc2. (3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根.则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅ . (4)当a＝b＝0，c≤0时，不等式ax2＋bx＋c≤0也在R上恒成立. 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 答案　B 3.设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于(　　) A.(0，4] B.[0，4) C.[－1，0) D.(－1，0] 解析　∵M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－11} 5.已知函数f(x)＝ax2＋ax－1，若对任意实数x，恒有f(x)≤0，则实数a的取 值范围是________. 解析　若a＝0，则f(x)＝－1≤0恒成立， 若a≠0，则由题意，得 综上，得a∈[－4，0]. 答案　[－4，0] 解析　(1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b. 又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1， 显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D. ②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错 误； ④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0， 而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误.由 以上分析，知①③正确. 答案　(1)A　(2)C 规律方法　1.比较大小常用的方法： (1)作差法；(2)作商法；(3)函数的单调性法. 2.判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个 验证；二是用特殊法排除. 答案　(1)D　(2)A 解析　由2x2－x－3>0，得(x＋1)(2x－3)>0， 答案　B 命题角度2　含参不等式 【例2－2】 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a≤0). 解　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0. ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}； 当a＝－2时，不等式的解集为{－1}； 规律方法　含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小， 对参数进行分类讨论： (1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易 分解因式，则可对判别式进行分类讨论； (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二 次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集. 故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0， 解得x≥3或x≤2. 答案　{x|x≥3或x≤2} 解之得－3＜k＜0. 答案　D 命题角度2　在给定区间上恒成立 【例3－2】 (一题多解)设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1， 3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围是________. 解析　要使f(x)＜－m＋5在[1，3]上恒成立， 故mx2－mx＋m－6＜0， 有以下两种方法： 当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数， 所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0. 当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数， 所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0. 所以m＜6，所以m＜0. 答案　 命题角度3　给定参数范围的恒成立问题 【例3－3】 已知a∈[－1，1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x 的取值范围为(　　) A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2， ＋∞) C.(－∞，1)∪(3，＋∞) D.(1，3) 解析　把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋ 4， 则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立， 所以f(－1)＝x2－5x＋6＞0， 且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可， 答案　C 规律方法　(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次 函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数 的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或 用分离参数法求最值. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范 围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数. 【训练3】 (1)若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的 取值范围是(　　) A.[－1，4] B.(－∞，－2]∪[5，＋∞) C.(－∞，－1]∪[4，＋∞) D.[－2，5] (2)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0 成立，则实数m的取值范围是________. 解析　(1)由于x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－ 3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4. (2)二次函数f(x)对于任意x∈[m，m＋1]， 都有f(x)＜0成立，