高三数学总复习学案29 8页

学案 29　等差数列及其前 n 项和 导学目标： 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式.3.了解 等差数列与一次函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列 的有关知识解决相应的问题． 自主梳理 1．等差数列的有关定义 (1)一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为____________ (n∈N*，d 为常数)． (2) 数 列 a ， A ， b 成 等 差 数 列 的 充 要 条 件 是 __________ ， 其 中 A 叫 做 a ， b 的 __________． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝________，an＝am＋________ (m，n∈N*)． (2)前 n 项和公式：Sn＝__________＝____________. 3．等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 Sn＝d 2n2＋(a1－d 2)n. 数列{an}是等差数列的充要条件是其前 n 项和公式 Sn＝__________. 4．等差数列的性质 (1)若 m＋n＝p＋q (m，n，p，q∈N *)，则有__________，特别地，当 m＋n＝2p 时， ______________. (2)等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m 成等差数列． (3)等差数列的单调性：若公差 d>0，则数列为____________；若 d<0，则数列为 __________；若 d＝0，则数列为________． 自我检测 1．(2010·北京海淀区模拟)已知等差数列{an}中，a5＋a9－a7＝10，记 Sn＝a1＋a2＋…＋ an，则 S13 的值为 (　　) A．130 B．260 C．156 D．168 2．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S3＝6，a3＝4，则公差 d 等于 (　　) A．1 B.5 3 C．2 D．3 3．(2010·泰安一模)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若a5 a3＝5 9，则S9 S5等于 (　　) A．1 B．－1 C．2 D.1 2 4．(2010·湖南师大附中)若等差数列{an}的前 5 项之和 S5＝25，且 a2＝3，则 a7 等于 (　　) A．12 B．13 C．14 D．15 5．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S9＝72，则 a2＋a4＋a9＝________. 探究点一　等差数列的基本量运算 例 1 　等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn.已知 a10＝30，a20＝50， (1)求通项 an； (2)若 Sn＝242，求 n. 变式迁移 1　设等差数列{an}的公差为 d (d≠0)，它的前 10 项和 S10＝110，且 a1，a2，a4 成等比数列，求公差 d 和通项公式 an. 探究点二　等差数列的判定 例 2 　已知数列{an}中，a1＝3 5，an＝2－ 1 an－1 (n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足 bn＝ 1 an－1 (n ∈N*)． (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由． 变式迁移 2　已知数列{an}中，a1＝5 且 an＝2an－1＋2n－1(n≥2 且 n∈N*)． (1)求 a2，a3 的值． (2)是否存在实数 λ，使得数列{an＋λ 2n }为等差数列？若存在，求出 λ 的值；若不存在，说 明理由． 探究点三　等差数列性质的应用 例 3 　若一个等差数列的前 5 项之和为 34，最后 5 项之和为 146，且所有项的和为 360，求这个数列的项数． 变式迁移 3　已知数列{an}是等差数列． (1)前四项和为 21，末四项和为 67，且前 n 项和为 286，求 n； (2)若 Sn＝20，S2n＝38，求 S3n； (3)若项数为奇数，且奇数项和为 44，偶数项和为 33，求数列的中间项和项数． 探究点四　等差数列的综合应用 例 4 　(2011·厦门月考)已知数列{an}满足 2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)，它的前 n 项和为 Sn， 且 a3＝10，S6＝72.若 bn＝1 2an－30，求数列{bn}的前 n 项和的最小值． 变式迁移 4　在等差数列{an}中，a16＋a17＋a18＝a9＝－36，其前 n 项和为 Sn. (1)求 Sn 的最小值，并求出 Sn 取最小值时 n 的值． (2)求 Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|. 1．等差数列的判断方法有： (1)定义法：an＋1－an＝d (d 是常数)⇔{an}是等差数列． (2)中项公式：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)⇔{an}是等差数列． (3)通项公式：an＝pn＋q (p，q 为常数)⇔{an}是等差数列． (4)前 n 项和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B 为常数)⇔{an}是等差数列． 2．对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前 n 项和公式，在两个公式中共 五个量 a1、d、n、an、Sn，已知其中三个量可求出剩余的量，而 a 与 d 是最基本的，它可以 确定等差数列的通项公式和前 n 项和公式． 3．要注意等差数列通项公式和前 n 项和公式的灵活应用，如 an＝am＋(n－m)d，S2n－1＝ (2n－1)an 等． 4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为①a，a＋d，a＋2d；②a－d，a，a＋ d；③a－d，a＋d，a＋3d 等可视具体情况而定． (满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1．(2010·重庆)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则 a5 的值为 (　　) A．5 B．6 C．8 D．10 2．(2010·全国Ⅱ)如果等差数列 {an }中，a3＋a4＋a5＝12，那么 a1＋a2＋…＋a 7＝ (　　) A．14 B．21 C．28 D．35 3．(2010·山东潍坊五校联合高三期中)已知{a n}是等差数列，a1＝－9，S3＝S7，那么使 其前 n 项和 Sn 最小的 n 是 (　　) A．4 B．5 C．6 D．7 4．在等差数列{an}中，若 a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则 a9－1 3a11 的值为 (　　) A．14 B．15 C．16 D．17 5．等差数列{an}的前 n 项和满足 S20＝S40，下列结论中正确的是 (　　) A．S30 是 Sn 中的最大值 B．S30 是 Sn 中的最小值 C．S30＝0 D．S60＝0 题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 6．(2010·辽宁)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 S3＝3，S6＝24，则 a9＝________. 7．(2009·海南，宁夏)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 am－1＋am＋1－a2m＝0，S2m－1＝ 38，则 m＝________. 8．在数列{an}中，若点(n，an)在经过点(5,3)的定直线 l 上，则数列{an}的前 9 项和 S9＝ ________. 三、解答题(共 38 分) 9．(12 分)(2011·莆田模拟)设{an}是一个公差为 d (d≠0)的等差数列，它的前 10 项和 S10 ＝110，且 a22＝a1a4. (1)证明：a1＝d； (2)求公差 d 的值和数列{an}的通项公式． 10．(12 分)(2010·山东)已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn； (2)令 bn＝ 1 a2n－1 (n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 11．(14 分)(2010·广东湛师附中第六次月考)在数列{a n}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝ 0(n≥2)． (1)证明数列{ 1 an}是等差数列； (2)求数列{an}的通项； (3)若 λan＋ 1 an＋1≥λ 对任意 n≥2 的整数恒成立，求实数 λ 的取值范围． 答案 自主梳理 1．(1)2　差　an＋1－an＝d　(2)A＝a＋b 2 　等差中项 2．(1)a1＋(n－1)d　(n－m)d　(2)na1＋n(n－1) 2 d　(a1＋an)n 2 　3.An2＋Bn　4.(1)am＋an＝ap ＋aq　am＋an＝2ap　(3)递增数列　递减数列　常数列 自我检测 1．A　2.C　3.A　4.B　5.24 课堂活动区 例 1　解题导引　(1)等差数列{an}中，a1 和 d 是两个基本量，用它们可以表示数列中的 任何一项，利用等差数列的通项公式与前 n 项和公式，列方程组解 a1 和 d，是解决等差数列 问题的常用方法；(2)由 a1，d，n，an，Sn 这五个量中的三个量可求出其余两个量，需选用 恰当的公式，利用方程组观点求解． 解　(1)由 an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50， 得方程组Error!　解得Error! 所以 an＝2n＋10. (2)由 Sn＝na1＋n(n－1) 2 d，Sn＝242. 得 12n＋n(n－1) 2 ×2＝242. 解得 n＝11 或 n＝－22(舍去)． 变式迁移 1　解　由题意，知 Error!即Error! ∵d≠0，∴a1＝d.解得 a1＝d＝2，∴an＝2n. 例 2　解题导引　1.等差数列的判定通常有两种方法： 第一种是利用定义，即 an－an－1＝d(常数)(n≥2)，第二种是利用等差中项，即 2an＝an＋ 1＋an－1 (n≥2)． 2．解选择、填空题时，亦可用通项或前 n 项和直接判断． (1)通项法：若数列{an}的通项公式为 n 的一次函数，即 an＝An＋B，则{a n}是等差数 列． (2)前 n 项和法：若数列{an}的前 n 项和 Sn 是 Sn＝An2＋Bn 的形式(A，B 是常数)，则{an} 为等差数列． 3．若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可． (1)证明　∵an＝2－ 1 an－1 (n≥2，n∈N*)，bn＝ 1 an－1， ∴当 n≥2 时，bn－bn－1＝ 1 an－1－ 1 an－1－1 ＝ 1 (2－ 1 an－1)－1 － 1 an－1－1 ＝ an－1 an－1－1－ 1 an－1－1＝1. 又 b1＝ 1 a1－1＝－5 2. ∴数列{bn}是以－5 2为首项，以 1 为公差的等差数列． (2)解　由(1)知，bn＝n－7 2，则 an＝1＋ 1 bn ＝1＋ 2 2n－7，设函数 f(x)＝1＋ 2 2x－7， 易知 f(x)在区间(－∞，7 2)和( 7 2，＋∞)内为减函数． ∴当 n＝3 时，an 取得最小值－1； 当 n＝4 时，an 取得最大值 3. 变式迁移 2　解　(1)∵a1＝5，∴a2＝2a1＋22－1＝13， a3＝2a2＋23－1＝33. (2)假设存在实数 λ，使得数列{an＋λ 2n }为等差数列． 设 bn＝an＋λ 2n ，由{bn}为等差数列，则有 2b2＝b1＋b3. ∴2×a2＋λ 22 ＝a1＋λ 2 ＋a3＋λ 23 . ∴13＋λ 2 ＝5＋λ 2 ＋33＋λ 8 ， 解得 λ＝－1. 事实上，bn＋1－bn＝an＋1－1 2n＋1 －an－1 2n ＝ 1 2n＋1[(an＋1－2an)＋1]＝ 1 2n＋1[(2n＋1－1)＋1]＝1. 综上可知，存在实数 λ＝－1，使得数列{an＋λ 2n }为首项为 2、公差为 1 的等差数列． 例 3　解题导引　本题可运用倒序求和的方法和等差数列的性质：若 m＋n＝p＋q (m， n，p，q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq，从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简捷，应 注意运用；也可用整体思想(把 a1＋n－1 2 d 看作整体)． 解　方法一　设此等差数列为{an}共 n 项， 依题意有 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，① an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－4＝146. ② 根据等差数列性质，得 a5＋an－4＝a4＋an－3＝a3＋an－2＝a2＋an－1＝a1＋an. 将①②两式相加，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋(a4＋an－3)＋(a5＋an－4)＝5(a1＋ an)＝180， ∴a1＋an＝36. 由 Sn＝n(a1＋an) 2 ＝36n 2 ＝360，得 n＝20. 所以该等差数列有 20 项． 方法二　设此等差数列共有 n 项，首项为 a1，公差为 d， 则 S5＝5a1＋5 × 4 2 d＝34，① Sn－Sn－5＝[n(n－1)d 2 ＋na1]－[(n－5)a1＋(n－5)(n－6) 2 d] ＝5a1＋(5n－15)d＝146.② ①②两式相加可得 10a1＋5(n－1)d＝180， ∴a1＋n－1 2 d＝18， 代入 Sn＝na1＋n(n－1) 2 d ＝n(a1＋n－1 2 d)＝360， 得 18n＝360，∴n＝20. 所以该数列的项数为 20 项． 变式迁移 3　解　(1)依题意，知 a1＋a2＋a3＋a4＝21， an－3＋an－2＋an－1＋an＝67， ∴a1＋a2＋a3＋a4＋an－3＋an－2＋an－1＋an＝88. ∴a1＋an＝88 4 ＝22. ∵Sn＝n(a1＋an) 2 ＝286，∴n＝26. (2)∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 成等差数列， ∴S3n＝3(S2n－Sn)＝54. (3)设项数为 2n－1 (n∈N*)，则奇数项有 n 项，偶数项有 n－1 项，中间项为 an，则 S 奇＝(a1＋a2n－1)·n 2 ＝n·an＝44， S 偶＝(a2＋a2n－2)·(n－1) 2 ＝(n－1)·an＝33， ∴ n n－1＝4 3. ∴n＝4，an＝11. ∴数列的中间项为 11，项数为 7. 例 4　解题导引　若{an}是等差数列， 求前 n 项和的最值时， (1)若 a1>0，d<0，且满足Error!，前 n 项和 Sn 最大； (2)若 a1<0，d>0，且满足Error!，前 n 项和 Sn 最小； (3)除上面方法外，还可将{an}的前 n 项和的最值问题看作 Sn 关于 n 的二次函数最值问 题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意 n∈N*. 解　方法一　∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差数列． 设{an}的首项为 a1，公差为 d，由 a3＝10，S6＝72， 得Error!，∴Error!. ∴an＝4n－2.则 bn＝1 2an－30＝2n－31. 解Error!得29 2 ≤n≤31 2 . ∵n∈N*，∴n＝15.∴{bn}前 15 项为负值. ∴S15 最小． 可知 b1＝－29，d＝2， ∴S15＝15 × (－29＋2 × 15－31) 2 ＝－225. 方法二　同方法一求出 bn＝2n－31. ∵Sn＝n(－29＋2n－31) 2 ＝n2－30n＝(n－15)2－225， ∴当 n＝15 时，Sn 有最小值，且最小值为－225. 变式迁移 4　解　(1)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d， ∵a16＋a17＋a18＝3a17＝－36， ∴a17＝－12，∴d＝a17－a9 17－9 ＝3， ∴an＝a9＋(n－9)·d＝3n－63， an＋1＝3n－60， 令Error!，得 20≤n≤21， ∴S20＝S21＝－630， ∴n＝20 或 21 时，Sn 最小且最小值为－630. (2)由(1)知前 20 项小于零，第 21 项等于 0，以后各项均为正数． 当 n≤21 时，Tn＝－Sn＝－3 2n2＋123 2 n. 当 n>21 时，Tn＝Sn－2S21＝3 2n2－123 2 n＋1 260. 综上，Tn＝Error!. 课后练习区 1．A　2.C　3.B　4.C　5.D 6．15　7.10　8.27 9．(1)证明　∵{an}是等差数列，∴a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d，又 a22＝a1a4，于是(a1＋d)2＝ a1(a1＋3d)，即 a21＋2a1d＋d2＝a21＋3a1d (d≠0)．化简得 a1＝d.…………………………(6 分) (2)解　由条件 S10＝110 和 S10＝10a1＋10 × 9 2 d，得到 10a1＋45d＝110. 由(1)知，a1＝d，代入上式得 55d＝110， 故 d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n. 因此，数列{an}的通项公式为 an＝2n，n∈N*.…………………………………………(12 分) 10．解　(1)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，由于 a3＝7，a5＋a7＝26， 所以 a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26， 解得 a1＝3，d＝2.…………………………………………………………………………(4 分) 由于 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝n(a1＋an) 2 ， 所以 an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．…………………………………………………………(6 分) (2)因为 an＝2n＋1，所以 a2n－1＝4n(n＋1)， 因此 bn＝ 1 4n(n＋1)＝1 4( 1 n－ 1 n＋1).………………………………………………………(8 分) 故 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝1 4(1－1 2＋1 2－1 3＋…＋1 n－ 1 n＋1)＝1 4(1－ 1 n＋1)＝ n 4(n＋1). 所以数列{bn}的前 n 项和 Tn＝ n 4(n＋1).…………………………………………………(12 分) 11．(1)证明　将 3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)整理得 1 an－ 1 an－1＝3(n≥2)． 所以数列{ 1 an}为以 1 为首项，3 为公差的等差数列．…………………………………(4 分) (2)解　由(1)可得 1 an＝1＋3(n－1)＝3n－2， 所以 an＝ 1 3n－2.……………………………………………………………………………(7 分) (3)解　若 λan＋ 1 an＋1≥λ 对 n≥2 的整数恒成立， 即 λ 3n－2＋3n＋1≥λ 对 n≥2 的整数恒成立． 整理得 λ≤(3n＋1)(3n－2) 3(n－1) ………………………………………………………………(9 分) 令 cn＝(3n＋1)(3n－2) 3(n－1) cn＋1－cn＝(3n＋4)(3n＋1) 3n －(3n＋1)(3n－2) 3(n－1) ＝(3n＋1)(3n－4) 3n(n－1) .………………………(11 分) 因为 n≥2，所以 cn＋1－cn>0， 即数列{cn}为单调递增数列，所以 c2 最小，c2＝28 3 . 所以 λ 的取值范围为(－∞，28 3 ]．……………………………………………………(14 分)