高三数学总复习学案29 8页

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高三数学总复习学案29

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学案 29 等差数列及其前 n 项和 导学目标: 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式.3.了解 等差数列与一次函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列 的有关知识解决相应的问题. 自主梳理 1.等差数列的有关定义 (1)一般地,如果一个数列从第____项起,每一项与它的前一项的____等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为____________ (n∈N*,d 为常数). (2) 数 列 a , A , b 成 等 差 数 列 的 充 要 条 件 是 __________ , 其 中 A 叫 做 a , b 的 __________. 2.等差数列的有关公式 (1)通项公式:an=________,an=am+________ (m,n∈N*). (2)前 n 项和公式:Sn=__________=____________. 3.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 Sn=d 2n2+(a1-d 2)n. 数列{an}是等差数列的充要条件是其前 n 项和公式 Sn=__________. 4.等差数列的性质 (1)若 m+n=p+q (m,n,p,q∈N *),则有__________,特别地,当 m+n=2p 时, ______________. (2)等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等差数列. (3)等差数列的单调性:若公差 d>0,则数列为____________;若 d<0,则数列为 __________;若 d=0,则数列为________. 自我检测 1.(2010·北京海淀区模拟)已知等差数列{an}中,a5+a9-a7=10,记 Sn=a1+a2+…+ an,则 S13 的值为 (  ) A.130 B.260 C.156 D.168 2.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=6,a3=4,则公差 d 等于 (  ) A.1 B.5 3 C.2 D.3 3.(2010·泰安一模)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若a5 a3=5 9,则S9 S5等于 (  ) A.1 B.-1 C.2 D.1 2 4.(2010·湖南师大附中)若等差数列{an}的前 5 项之和 S5=25,且 a2=3,则 a7 等于 (  ) A.12 B.13 C.14 D.15 5.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S9=72,则 a2+a4+a9=________. 探究点一 等差数列的基本量运算 例 1  等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn.已知 a10=30,a20=50, (1)求通项 an; (2)若 Sn=242,求 n. 变式迁移 1 设等差数列{an}的公差为 d (d≠0),它的前 10 项和 S10=110,且 a1,a2,a4 成等比数列,求公差 d 和通项公式 an. 探究点二 等差数列的判定 例 2  已知数列{an}中,a1=3 5,an=2- 1 an-1 (n≥2,n∈N*),数列{bn}满足 bn= 1 an-1 (n ∈N*). (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}中的最大值和最小值,并说明理由. 变式迁移 2 已知数列{an}中,a1=5 且 an=2an-1+2n-1(n≥2 且 n∈N*). (1)求 a2,a3 的值. (2)是否存在实数 λ,使得数列{an+λ 2n }为等差数列?若存在,求出 λ 的值;若不存在,说 明理由. 探究点三 等差数列性质的应用 例 3  若一个等差数列的前 5 项之和为 34,最后 5 项之和为 146,且所有项的和为 360,求这个数列的项数. 变式迁移 3 已知数列{an}是等差数列. (1)前四项和为 21,末四项和为 67,且前 n 项和为 286,求 n; (2)若 Sn=20,S2n=38,求 S3n; (3)若项数为奇数,且奇数项和为 44,偶数项和为 33,求数列的中间项和项数. 探究点四 等差数列的综合应用 例 4  (2011·厦门月考)已知数列{an}满足 2an+1=an+an+2 (n∈N*),它的前 n 项和为 Sn, 且 a3=10,S6=72.若 bn=1 2an-30,求数列{bn}的前 n 项和的最小值. 变式迁移 4 在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-36,其前 n 项和为 Sn. (1)求 Sn 的最小值,并求出 Sn 取最小值时 n 的值. (2)求 Tn=|a1|+|a2|+…+|an|. 1.等差数列的判断方法有: (1)定义法:an+1-an=d (d 是常数)⇔{an}是等差数列. (2)中项公式:2an+1=an+an+2 (n∈N*)⇔{an}是等差数列. (3)通项公式:an=pn+q (p,q 为常数)⇔{an}是等差数列. (4)前 n 项和公式:Sn=An2+Bn(A、B 为常数)⇔{an}是等差数列. 2.对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前 n 项和公式,在两个公式中共 五个量 a1、d、n、an、Sn,已知其中三个量可求出剩余的量,而 a 与 d 是最基本的,它可以 确定等差数列的通项公式和前 n 项和公式. 3.要注意等差数列通项公式和前 n 项和公式的灵活应用,如 an=am+(n-m)d,S2n-1= (2n-1)an 等. 4.在遇到三个数成等差数列问题时,可设三个数为①a,a+d,a+2d;②a-d,a,a+ d;③a-d,a+d,a+3d 等可视具体情况而定. (满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2010·重庆)在等差数列{an}中,a1+a9=10,则 a5 的值为 (  ) A.5 B.6 C.8 D.10 2.(2010·全国Ⅱ)如果等差数列 {an }中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a 7= (  ) A.14 B.21 C.28 D.35 3.(2010·山东潍坊五校联合高三期中)已知{a n}是等差数列,a1=-9,S3=S7,那么使 其前 n 项和 Sn 最小的 n 是 (  ) A.4 B.5 C.6 D.7 4.在等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+a12=120,则 a9-1 3a11 的值为 (  ) A.14 B.15 C.16 D.17 5.等差数列{an}的前 n 项和满足 S20=S40,下列结论中正确的是 (  ) A.S30 是 Sn 中的最大值 B.S30 是 Sn 中的最小值 C.S30=0 D.S60=0 题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2010·辽宁)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S3=3,S6=24,则 a9=________. 7.(2009·海南,宁夏)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 am-1+am+1-a2m=0,S2m-1= 38,则 m=________. 8.在数列{an}中,若点(n,an)在经过点(5,3)的定直线 l 上,则数列{an}的前 9 项和 S9= ________. 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)(2011·莆田模拟)设{an}是一个公差为 d (d≠0)的等差数列,它的前 10 项和 S10 =110,且 a22=a1a4. (1)证明:a1=d; (2)求公差 d 的值和数列{an}的通项公式. 10.(12 分)(2010·山东)已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; (2)令 bn= 1 a2n-1 (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 11.(14 分)(2010·广东湛师附中第六次月考)在数列{a n}中,a1=1,3anan-1+an-an-1= 0(n≥2). (1)证明数列{ 1 an}是等差数列; (2)求数列{an}的通项; (3)若 λan+ 1 an+1≥λ 对任意 n≥2 的整数恒成立,求实数 λ 的取值范围. 答案 自主梳理 1.(1)2 差 an+1-an=d (2)A=a+b 2  等差中项 2.(1)a1+(n-1)d (n-m)d (2)na1+n(n-1) 2 d (a1+an)n 2  3.An2+Bn 4.(1)am+an=ap +aq am+an=2ap (3)递增数列 递减数列 常数列 自我检测 1.A 2.C 3.A 4.B 5.24 课堂活动区 例 1 解题导引 (1)等差数列{an}中,a1 和 d 是两个基本量,用它们可以表示数列中的 任何一项,利用等差数列的通项公式与前 n 项和公式,列方程组解 a1 和 d,是解决等差数列 问题的常用方法;(2)由 a1,d,n,an,Sn 这五个量中的三个量可求出其余两个量,需选用 恰当的公式,利用方程组观点求解. 解 (1)由 an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50, 得方程组Error! 解得Error! 所以 an=2n+10. (2)由 Sn=na1+n(n-1) 2 d,Sn=242. 得 12n+n(n-1) 2 ×2=242. 解得 n=11 或 n=-22(舍去). 变式迁移 1 解 由题意,知 Error!即Error! ∵d≠0,∴a1=d.解得 a1=d=2,∴an=2n. 例 2 解题导引 1.等差数列的判定通常有两种方法: 第一种是利用定义,即 an-an-1=d(常数)(n≥2),第二种是利用等差中项,即 2an=an+ 1+an-1 (n≥2). 2.解选择、填空题时,亦可用通项或前 n 项和直接判断. (1)通项法:若数列{an}的通项公式为 n 的一次函数,即 an=An+B,则{a n}是等差数 列. (2)前 n 项和法:若数列{an}的前 n 项和 Sn 是 Sn=An2+Bn 的形式(A,B 是常数),则{an} 为等差数列. 3.若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可. (1)证明 ∵an=2- 1 an-1 (n≥2,n∈N*),bn= 1 an-1, ∴当 n≥2 时,bn-bn-1= 1 an-1- 1 an-1-1 = 1 (2- 1 an-1)-1 - 1 an-1-1 = an-1 an-1-1- 1 an-1-1=1. 又 b1= 1 a1-1=-5 2. ∴数列{bn}是以-5 2为首项,以 1 为公差的等差数列. (2)解 由(1)知,bn=n-7 2,则 an=1+ 1 bn =1+ 2 2n-7,设函数 f(x)=1+ 2 2x-7, 易知 f(x)在区间(-∞,7 2)和( 7 2,+∞)内为减函数. ∴当 n=3 时,an 取得最小值-1; 当 n=4 时,an 取得最大值 3. 变式迁移 2 解 (1)∵a1=5,∴a2=2a1+22-1=13, a3=2a2+23-1=33. (2)假设存在实数 λ,使得数列{an+λ 2n }为等差数列. 设 bn=an+λ 2n ,由{bn}为等差数列,则有 2b2=b1+b3. ∴2×a2+λ 22 =a1+λ 2 +a3+λ 23 . ∴13+λ 2 =5+λ 2 +33+λ 8 , 解得 λ=-1. 事实上,bn+1-bn=an+1-1 2n+1 -an-1 2n = 1 2n+1[(an+1-2an)+1]= 1 2n+1[(2n+1-1)+1]=1. 综上可知,存在实数 λ=-1,使得数列{an+λ 2n }为首项为 2、公差为 1 的等差数列. 例 3 解题导引 本题可运用倒序求和的方法和等差数列的性质:若 m+n=p+q (m, n,p,q∈N*),则 am+an=ap+aq,从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简捷,应 注意运用;也可用整体思想(把 a1+n-1 2 d 看作整体). 解 方法一 设此等差数列为{an}共 n 项, 依题意有 a1+a2+a3+a4+a5=34,① an+an-1+an-2+an-3+an-4=146. ② 根据等差数列性质,得 a5+an-4=a4+an-3=a3+an-2=a2+an-1=a1+an. 将①②两式相加,得(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(a4+an-3)+(a5+an-4)=5(a1+ an)=180, ∴a1+an=36. 由 Sn=n(a1+an) 2 =36n 2 =360,得 n=20. 所以该等差数列有 20 项. 方法二 设此等差数列共有 n 项,首项为 a1,公差为 d, 则 S5=5a1+5 × 4 2 d=34,① Sn-Sn-5=[n(n-1)d 2 +na1]-[(n-5)a1+(n-5)(n-6) 2 d] =5a1+(5n-15)d=146.② ①②两式相加可得 10a1+5(n-1)d=180, ∴a1+n-1 2 d=18, 代入 Sn=na1+n(n-1) 2 d =n(a1+n-1 2 d)=360, 得 18n=360,∴n=20. 所以该数列的项数为 20 项. 变式迁移 3 解 (1)依题意,知 a1+a2+a3+a4=21, an-3+an-2+an-1+an=67, ∴a1+a2+a3+a4+an-3+an-2+an-1+an=88. ∴a1+an=88 4 =22. ∵Sn=n(a1+an) 2 =286,∴n=26. (2)∵Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等差数列, ∴S3n=3(S2n-Sn)=54. (3)设项数为 2n-1 (n∈N*),则奇数项有 n 项,偶数项有 n-1 项,中间项为 an,则 S 奇=(a1+a2n-1)·n 2 =n·an=44, S 偶=(a2+a2n-2)·(n-1) 2 =(n-1)·an=33, ∴ n n-1=4 3. ∴n=4,an=11. ∴数列的中间项为 11,项数为 7. 例 4 解题导引 若{an}是等差数列, 求前 n 项和的最值时, (1)若 a1>0,d<0,且满足Error!,前 n 项和 Sn 最大; (2)若 a1<0,d>0,且满足Error!,前 n 项和 Sn 最小; (3)除上面方法外,还可将{an}的前 n 项和的最值问题看作 Sn 关于 n 的二次函数最值问 题,利用二次函数的图象或配方法求解,注意 n∈N*. 解 方法一 ∵2an+1=an+an+2,∴{an}是等差数列. 设{an}的首项为 a1,公差为 d,由 a3=10,S6=72, 得Error!,∴Error!. ∴an=4n-2.则 bn=1 2an-30=2n-31. 解Error!得29 2 ≤n≤31 2 . ∵n∈N*,∴n=15.∴{bn}前 15 项为负值. ∴S15 最小. 可知 b1=-29,d=2, ∴S15=15 × (-29+2 × 15-31) 2 =-225. 方法二 同方法一求出 bn=2n-31. ∵Sn=n(-29+2n-31) 2 =n2-30n=(n-15)2-225, ∴当 n=15 时,Sn 有最小值,且最小值为-225. 变式迁移 4 解 (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, ∵a16+a17+a18=3a17=-36, ∴a17=-12,∴d=a17-a9 17-9 =3, ∴an=a9+(n-9)·d=3n-63, an+1=3n-60, 令Error!,得 20≤n≤21, ∴S20=S21=-630, ∴n=20 或 21 时,Sn 最小且最小值为-630. (2)由(1)知前 20 项小于零,第 21 项等于 0,以后各项均为正数. 当 n≤21 时,Tn=-Sn=-3 2n2+123 2 n. 当 n>21 时,Tn=Sn-2S21=3 2n2-123 2 n+1 260. 综上,Tn=Error!. 课后练习区 1.A 2.C 3.B 4.C 5.D 6.15 7.10 8.27 9.(1)证明 ∵{an}是等差数列,∴a2=a1+d,a4=a1+3d,又 a22=a1a4,于是(a1+d)2= a1(a1+3d),即 a21+2a1d+d2=a21+3a1d (d≠0).化简得 a1=d.…………………………(6 分) (2)解 由条件 S10=110 和 S10=10a1+10 × 9 2 d,得到 10a1+45d=110. 由(1)知,a1=d,代入上式得 55d=110, 故 d=2,an=a1+(n-1)d=2n. 因此,数列{an}的通项公式为 an=2n,n∈N*.…………………………………………(12 分) 10.解 (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,由于 a3=7,a5+a7=26, 所以 a1+2d=7,2a1+10d=26, 解得 a1=3,d=2.…………………………………………………………………………(4 分) 由于 an=a1+(n-1)d,Sn=n(a1+an) 2 , 所以 an=2n+1,Sn=n(n+2).…………………………………………………………(6 分) (2)因为 an=2n+1,所以 a2n-1=4n(n+1), 因此 bn= 1 4n(n+1)=1 4( 1 n- 1 n+1).………………………………………………………(8 分) 故 Tn=b1+b2+…+bn =1 4(1-1 2+1 2-1 3+…+1 n- 1 n+1)=1 4(1- 1 n+1)= n 4(n+1). 所以数列{bn}的前 n 项和 Tn= n 4(n+1).…………………………………………………(12 分) 11.(1)证明 将 3anan-1+an-an-1=0(n≥2)整理得 1 an- 1 an-1=3(n≥2). 所以数列{ 1 an}为以 1 为首项,3 为公差的等差数列.…………………………………(4 分) (2)解 由(1)可得 1 an=1+3(n-1)=3n-2, 所以 an= 1 3n-2.……………………………………………………………………………(7 分) (3)解 若 λan+ 1 an+1≥λ 对 n≥2 的整数恒成立, 即 λ 3n-2+3n+1≥λ 对 n≥2 的整数恒成立. 整理得 λ≤(3n+1)(3n-2) 3(n-1) ………………………………………………………………(9 分) 令 cn=(3n+1)(3n-2) 3(n-1) cn+1-cn=(3n+4)(3n+1) 3n -(3n+1)(3n-2) 3(n-1) =(3n+1)(3n-4) 3n(n-1) .………………………(11 分) 因为 n≥2,所以 cn+1-cn>0, 即数列{cn}为单调递增数列,所以 c2 最小,c2=28 3 . 所以 λ 的取值范围为(-∞,28 3 ].……………………………………………………(14 分)