2016年上海市高考数学试卷（文科） 20页

2016 年上海市高考数学试卷（文科） 一、填空题（本大题共 14 题，每小题 4 分，共 56 分）. 1．（4 分）设 x ∈ R，则不等式|x﹣3|＜1 的解集为 ． 2．（4 分）设 z= ，其中 i 为虚数单位，则 z 的虚部等于 ． 3．（4 分）已知平行直线 l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则 l1，l2 的距离 ． 4．（4 分）某次体检，5 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72，1.78，1.80，1.69， 1.76．则这组数据的中位数是 （米）． 5．（4 分）若函数 f（x）=4sinx+acosx 的最大值为 5，则常数 a= ． 6．（4 分）已知点（3，9）在函数 f（x）=1+ax 的图象上，则 f（x）的反函数 f﹣1 （x）= ． 7．（4 分）若 x，y 满足 ，则 x﹣2y 的最大值为 ． 8．（4 分）方程 3sinx=1+cos2x 在区间[0，2π]上的解为 ． 9．（4 分）在（ ﹣ ）n 的二项式中，所有的二项式系数之和为 256，则常数 项等于 ． 10．（4 分）已知△ABC 的三边长分别为 3，5，7，则该三角形的外接圆半径等 于 ． 11．（4 分）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同 学各自所选的两种水果相同的概率为 ． 12．（4 分）如图，已知点 O（0，0），A（1，0），B（0，﹣1），P 是曲线 y= 上一个动点，则 • 的取值范围是 ． 13．（4 分）设 a＞0，b＞0．若关于 x，y 的方程组 无解，则 a+b 的取值 范围是 ． 14．（4 分）无穷数列{an}由 k 个不同的数组成，Sn 为{an}的前 n 项和，若对任意 n ∈ N*，Sn ∈ {2，3}，则 k 的最大值为 ． 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题有且只有一个正确答案，选对 得 5 分，否则一脸得零分）. 15．（5 分）设 a ∈ R，则“a＞1”是“a2＞1”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 16．（5 分）如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E、F 分别为 BC、BB1 的中点， 则下列直线中与直线 EF 相交的是（ ） A．直线 AA1 B．直线 A1B1 C．直线 A1D1 D．直线 B1C1 17．（5 分）设 a ∈ R，b ∈ [0，2π），若对任意实数 x 都有 sin（3x﹣ ）=sin（ax+b）， 则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（5 分）设 f（x）、g（x）、h（x）是定义域为 R 的三个函数，对于命题：① 若 f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是增函数，则 f（x）、g（x）、 h（x）均是增函数；②若 f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以 T 为周期的函数，则 f（x）、g（x）、h（x）均是以 T 为周期的函数，下列判断正确 的是（ ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 三、简答题：本大题共 5 题，满分 74 分 19．（12 分）将边长为 1 的正方形 AA1O1O（及其内部）绕 OO1 旋转一周形成圆 柱，如图， 长为 ， 长为 ，其中 B1 与 C 在平面 AA1O1O 的同侧． （1）求圆柱的体积与侧面积； （2）求异面直线 O1B1 与 OC 所成的角的大小． 20．（14 分）有一块正方形 EFGH，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 F 点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域 S1 和 S2，其中 S1 中的蔬菜运到河 边较近，S2 中的蔬菜运到 F 点较近，而菜地内 S1 和 S2 的分界线 C 上的点到河边 与到 F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点 O 为 EF 的中点，点 F 的坐标为（1，0），如图 （1）求菜地内的分界线 C 的方程； （2）菜农从蔬菜运量估计出 S1 面积是 S2 面积的两倍，由此得到 S1 面积的经验值 为 ．设 M 是 C 上纵坐标为 1 的点，请计算以 EH 为一边，另一边过点 M 的矩 形的面积，及五边形 EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于 S1 面积的“经验值”． 21．（14 分）双曲线 x2﹣ =1（b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，直线 l 过 F2 且与双曲线交于 A、B 两点． （1）若 l 的倾斜角为 ，△F1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设 b= ，若 l 的斜率存在，且|AB|=4，求 l 的斜率． 22．（16 分）对于无穷数列{an}与{bn}，记 A={x|x=an，n ∈ N*}，B={x|x=bn，n ∈ N*}，若同时满足条件：①{an}，{bn}均单调递增；②A∩B= ∅ 且 A∪B=N*，则称{an} 与{bn}是无穷互补数列． （1）若 an=2n﹣1，bn=4n﹣2，判断{an}与{bn}是否为无穷互补数列，并说明理 由； （2）若 an=2n 且{an}与{bn}是无穷互补数列，求数量{bn}的前 16 项的和； （3）若{an}与{bn}是无穷互补数列，{an}为等差数列且 a16=36，求{an}与{bn}的 通项公式． 23．（18 分）已知 a ∈ R，函数 f（x）=log2（ +a）． （1）当 a=1 时，解不等式 f（x）＞1； （2）若关于 x 的方程 f（x）+log2（x2）=0 的解集中恰有一个元素，求 a 的值； （3）设 a＞0，若对任意 t ∈ [ ，1]，函数 f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最 小值的差不超过 1，求 a 的取值范围． 2016 年上海市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共 14 题，每小题 4 分，共 56 分）. 1．（4 分）设 x ∈ R，则不等式|x﹣3|＜1 的解集为 （2，4） ． 【分析】由含绝对值的性质得﹣1＜x﹣3＜1，由此能求出不等式|x﹣3|＜1 的解 集． 【解答】解：∵x ∈ R，不等式|x﹣3|＜1， ∴﹣1＜x﹣3＜1， 解得 2＜x＜4． ∴不等式|x﹣3|＜1 的解集为（2，4）． 故答案为：（2，4）． 【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意 含绝对值不等式的性质的合理运用． 2．（4 分）设 z= ，其中 i 为虚数单位，则 z 的虚部等于 ﹣3 ． 【分析】利用复数的运算法则即可得出． 【解答】解：z= = =﹣3i+2，则 z 的虚部为﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题． 3．（4 分）已知平行直线 l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则 l1，l2 的距离 ． 【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可． 【解答】解：平行直线 l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则 l1，l2 的距离： = ． 故答案为： ． 【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力． 4．（4 分）某次体检，5 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72，1.78，1.80，1.69， 1.76．则这组数据的中位数是 1.76 （米）． 【分析】将数据从小到大进行重新排列，根据中位数的定义进行求解即可． 【解答】解：将 5 位同学的身高按照从小到大进行排列为 1.69，1.72，1.76，1.78， 1.80． 则位于中间的数为 1.76，即中位数为 1.76， 故答案为：1.76 【点评】本题主要考查中位数的求解，根据中位数的定义，将数据从小到大进行 排列是解决本题的关键． 5．（4 分）若函数 f（x）=4sinx+acosx 的最大值为 5，则常数 a= ±3 ． 【分析】利用辅助角公式化简函数 f（x）的解析式，再利用正弦函数的最大值为 5，求得 a 的值． 【解答】解：由于函数 f（x）=4sinx+acosx= sin（x+θ），其中，cosθ= ， sinθ= ， 故 f（x）的最大值为 =5，∴a=±3， 故答案为：±3． 【点评】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，属于基础题． 6．（4 分）已知点（3，9）在函数 f（x）=1+ax 的图象上，则 f（x）的反函数 f﹣1 （x）= log2（x﹣1）（x＞1） ． 【分析】由于点（3，9）在函数 f（x）=1+ax 的图象上，可得 9=1+a3，解得 a=2．可 得 f（x）=1+2x，由 1+2x=y，解得 x=log2（y﹣1），（y＞1）．把 x 与 y 互换即可得 出 f（x）的反函数 f﹣1（x）． 【解答】解：∵点（3，9）在函数 f（x）=1+ax 的图象上，∴9=1+a3，解得 a=2． ∴f（x）=1+2x，由 1+2x=y，解得 x=log2（y﹣1），（y＞1）． 把 x 与 y 互换可得：f（x）的反函数 f﹣1（x）=log2（x﹣1）． 故答案为：log2（x﹣1），（x＞1）． 【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题． 7．（4 分）若 x，y 满足 ，则 x﹣2y 的最大值为 ﹣2 ． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值 即可． 【解答】解：画出可行域（如图），设 z=x﹣2y ⇒ y= x﹣ z， 由图可知， 当直线 l 经过点 A（0，1）时，z 最大，且最大值为 zmax=0﹣2×1=﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问 题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法． 8．（4 分）方程 3sinx=1+cos2x 在区间[0，2π]上的解为 或 ． 【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可． 【解答】解：方程 3sinx=1+cos2x，可得 3sinx=2﹣2sin2x， 即 2sin2x+3sinx﹣2=0．可得 sinx=﹣2，（舍去）sinx= ，x ∈ [0，2π] 解得 x= 或 ． 故答案为： 或 ． 【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力． 9．（4 分）在（ ﹣ ）n 的二项式中，所有的二项式系数之和为 256，则常数 项等于 112 ． 【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于 2n=256，求得 n=8．在展开式 的通项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，即可求得展开式中的常数项． 【解答】解：∵在（ ﹣ ）n 的二项式中，所有的二项式系数之和为 256， ∴2n=256，解得 n=8， ∴（ ﹣ ）8 中，Tr+1= = ， ∴当 =0，即 r=2 时，常数项为 T3=（﹣2）2 =112． 故答案为：112． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式 中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题． 10．（4 分）已知△ABC 的三边长分别为 3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 ． 【分析】可设△ABC 的三边分别为 a=3，b=5，c=7，运用余弦定理可得 cosC，由 同角的平方关系可得 sinC，再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为 ， 代入计算即可得到所求值． 【解答】解：可设△ABC 的三边分别为 a=3，b=5，c=7， 由余弦定理可得，cosC= = =﹣ ， 可得 sinC= = = ， 可得该三角形的外接圆半径为 = = ． 故答案为： ． 【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理， 考查运算能力，属于基础题． 11．（4 分）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同 学各自所选的两种水果相同的概率为 ． 【分析】利用分步乘法求出两同学总的选法种数，再求出选法相同的选法种数， 利用古典概型概率计算公式得答案． 【解答】解：甲同学从四种水果中选两种，选法种数为 ，乙同学的选法种数 为 ， 则两同学的选法种数为 种． 两同学相同的选法种数为 ． 由古典概型概率计算公式可得：甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查古典概型概率计算公式的应用，考查了组合及组合数公式，是 基础题． 12．（4 分）如图，已知点 O（0，0），A（1，0），B（0，﹣1），P 是曲线 y= 上一个动点，则 • 的取值范围是 [﹣1， ] ． 【分析】设出 =（x，y），得到 • =x+ ，令 x=cosθ，根据三角函数的 性质得到 • =sinθ+cosθ= sin（θ+ ），从而求出 • 的范围即可． 【解答】解：设 =（x，y），则 =（x， ）， 由 A（1，0），B（0，﹣1），得： =（1，1）， ∴ • =x+ ， 令 x=cosθ，θ ∈ [0，π]， 则 • =sinθ+cosθ= sin（θ+ ），θ ∈ [0，π]， 故 • 的范围是[﹣，1， ]， 故答案为：[﹣1， ]． 【点评】本题考查了向量的运算性质，考查三角函数问题，是一道基础题． 13．（4 分）设 a＞0，b＞0．若关于 x，y 的方程组 无解，则 a+b 的取值 范围是 （2，+∞） ． 【分析】根据方程组无解可知两直线平行，利用斜率得出 a，b 的关系，再使用 基本不等式得出答案． 【解答】解：∵关于 x，y 的方程组 无解， ∴直线 ax+y﹣1=0 与直线 x+by﹣1=0 平行， ∴﹣a=﹣ ，且 ． 即 a= 且 b≠1． ∵a＞0，b＞0．∴a+b=b+ ＞2． 故答案为：（2，+∞）． 【点评】本题考查了直线平行与斜率的关系，基本不等式的应用，属于基础题． 14．（4 分）无穷数列{an}由 k 个不同的数组成，Sn 为{an}的前 n 项和，若对任意 n ∈ N*，Sn ∈ {2，3}，则 k 的最大值为 4 ． 【分析】对任意 n ∈ N*，Sn ∈ {2，3}，列举出 n=1，2，3，4 的情况，归纳可得 n ＞4 后都为 0 或 1 或﹣1，则 k 的最大个数为 4． 【解答】解：对任意 n ∈ N*，Sn ∈ {2，3}，可得 当 n=1 时，a1=S1=2 或 3； 若 n=2，由 S2 ∈ {2，3}，可得数列的前两项为 2，0；或 2，1；或 3，0；或 3，﹣ 1； 若 n=3，由 S3 ∈ {2，3}，可得数列的前三项为 2，0，0；或 2，0，1； 或 2，1，0；或 2，1，﹣1；或 3，0，0；或 3，0，﹣1；或 3，1，0；或 3，1， ﹣1； 若 n=4，由 S3 ∈ {2，3}，可得数列的前四项为 2，0，0，0；或 2，0，0，1； 或 2，0，1，0；或 2，0，1，﹣1；或 2，1，0，0；或 2，1，0，﹣1； 或 2，1，﹣1，0；或 2，1，﹣1，1；或 3，0，0，0；或 3，0，0，﹣1； 或 3，0，﹣1，0；或 3，0，﹣1，1；或 3，﹣1，0，0；或 3，﹣1，0，1； 或 3，﹣1，1，0；或 3，﹣1，1，﹣1； … 即有 n＞4 后一项都为 0 或 1 或﹣1，则 k 的最大个数为 4， 不同的四个数均为 2，0，1，﹣1，或 3，0，1，﹣1． 故答案为：4． 【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思 想，属于中档题． 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题有且只有一个正确答案，选对 得 5 分，否则一脸得零分）. 15．（5 分）设 a ∈ R，则“a＞1”是“a2＞1”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：由 a2＞1 得 a＞1 或 a＜﹣1， 即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件， 故选：A． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分 条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础． 16．（5 分）如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E、F 分别为 BC、BB1 的中点， 则下列直线中与直线 EF 相交的是（ ） A．直线 AA1 B．直线 A1B1 C．直线 A1D1 D．直线 B1C1 【分析】根据异面直线的定义便可判断选项 A，B，C 的直线都和直线 EF 异面， 而由图形即可看出直线 B1C1 和直线相交，从而便可得出正确选项． 【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线 AA1，A1B1，A1D1 都和直线 EF 为异 面直线； B1C1 和 EF 在同一平面内，且这两直线不平行； ∴直线 B1C1 和直线 EF 相交，即选项 D 正确． 故选：D． 【点评】考查异面直线的概念及判断，平行直线和相交直线的概念及判断，并熟 悉正方体的图形形状． 17．（5 分）设 a ∈ R，b ∈ [0，2π），若对任意实数 x 都有 sin（3x﹣ ）=sin（ax+b）， 则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同． 【解答】解：∵对于任意实数 x 都有 sin（3x﹣ ）=sin（ax+b）， 则函数的周期相同，若 a=3， 此时 sin（3x﹣ ）=sin（3x+b）， 此时 b=﹣ +2π= ， 若 a=﹣3，则方程等价为 sin（3x﹣ ）=sin（﹣3x+b）=﹣sin（3x﹣b）=sin（3x ﹣b+π）， 则﹣ =﹣b+π，则 b= ， 综上满足条件的有序实数组（a，b）为（3， ），（﹣3， ）， 共有 2 组， 故选：B． 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角 函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键． 18．（5 分）设 f（x）、g（x）、h（x）是定义域为 R 的三个函数，对于命题：① 若 f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是增函数，则 f（x）、g（x）、 h（x）均是增函数；②若 f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以 T 为周期的函数，则 f（x）、g（x）、h（x）均是以 T 为周期的函数，下列判断正确 的是（ ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【分析】①举反例说明命题不成立； ②根据定义得 f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T）， h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T）， 由此得出：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），f（x）=f（x+T），即可判断出真 假． 【解答】解：对于①，举反例说明：f（x）=2x，g（x）=﹣x，h（x）=3x； f（x）+g（x）=x，f（x）+h（x）=5x，g（x）+h（x）=2x 都是定义域 R 上的增函 数， 但 g（x）=﹣x 不是增函数，所以①是假命题； 对于②，根据周期函数的定义，f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T）， f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T）， h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T）， 前两式作差可得：g（x）﹣h（x）=g（x+T）﹣h（x+T）， 结合第三式可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T）， 同理可得：f（x）=f（x+T），所以②是真命题． 故选：D． 【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理 能力与计算能力，属于基础题目． 三、简答题：本大题共 5 题，满分 74 分 19．（12 分）将边长为 1 的正方形 AA1O1O（及其内部）绕 OO1 旋转一周形成圆 柱，如图， 长为 ， 长为 ，其中 B1 与 C 在平面 AA1O1O 的同侧． （1）求圆柱的体积与侧面积； （2）求异面直线 O1B1 与 OC 所成的角的大小． 【分析】（1）直接利用圆柱的体积公式，侧面积公式求解即可． （2）设点 B1 在下底面圆周的射影为 B，连结 BB1，即可求解所求角的大小． 【解答】解：（1）将边长为 1 的正方形 AA1O1O（及其内部）绕 OO1 旋转一周形 成圆柱，圆柱的体积为：π•12•1=π． 侧面积为：2π•1=2π． （2）设点 B1 在下底面圆周的射影为 B，连结 BB1，OB，则 OB∥O1B， ∴∠AOB= ，异面直线 O1B1 与 OC 所成的角的大小就是∠COB， 大小为： ﹣ = ． 【点评】本题考查几何体的体积侧面积的求法，考查两直线所成角的大小的求法， 是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 20．（14 分）有一块正方形 EFGH，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 F 点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域 S1 和 S2，其中 S1 中的蔬菜运到河 边较近，S2 中的蔬菜运到 F 点较近，而菜地内 S1 和 S2 的分界线 C 上的点到河边 与到 F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点 O 为 EF 的中点，点 F 的坐标为（1，0），如图 （1）求菜地内的分界线 C 的方程； （2）菜农从蔬菜运量估计出 S1 面积是 S2 面积的两倍，由此得到 S1 面积的经验值 为 ．设 M 是 C 上纵坐标为 1 的点，请计算以 EH 为一边，另一边过点 M 的矩 形的面积，及五边形 EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于 S1 面积的“经验值”． 【分析】（1）设分界线上任意一点为（x，y），根据条件建立方程关系进行求解 即可． （2）设 M（x0，y0），则 y0=1，分别求出对应矩形面积，五边形 FOMGH 的面积， 进行比较即可． 【解答】解：（1）设分界线上任意一点为（x，y），由题意得|x+1|= ， 得 y=2 ，（0≤x≤1）， （2）设 M（x0，y0），则 y0=1， ∴x0= = ， ∴设所表述的矩形面积为 S3，则 S3=2×（ +1）=2× = ， 设 五 边 形 EMOGH 的 面 积 为 S4 ， 则 S4=S3 ﹣ S △ OMP+S △ MGN= ﹣ × × 1+ = ， S1﹣S3= = ，S4﹣S1= ﹣ = ＜ ， ∴五边形 EMOGH 的面积更接近 S1 的面积． 【点评】本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题，考查学生的运算能力，综合性较强， 难度较大． 21．（14 分）双曲线 x2﹣ =1（b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，直线 l 过 F2 且与双曲线交于 A、B 两点． （1）若 l 的倾斜角为 ，△F1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设 b= ，若 l 的斜率存在，且|AB|=4，求 l 的斜率． 【分析】（1）由题意求出 A 点纵坐标，由△F1AB 是等边三角形，可得 tan∠ AF1F2=tan = ，从而求得 b 值，则双曲线的渐近线方程可求； （2）写出直线 l 的方程 y﹣0=k（x﹣2），即 y=kx﹣2k，与双曲线方程联立，利用 弦长公式列式求得 k 值． 【解答】解：（1）若 l 的倾斜角为 ，△F1AB 是等边三角形， 把 x=c= 代入双曲线的方程可得点 A 的纵坐标为 b2， 由 tan∠AF1F2=tan = = ，求得 b2=2，b= ， 故双曲线的渐近线方程为 y=±bx=± x， 即双曲线的渐近线方程为 y=± x． （2）设 b= ，则双曲线为 x2﹣ =1，F2（2，0）， 若 l 的斜率存在，设 l 的斜率为 k，则 l 的方程为 y﹣0=k（x﹣2），即 y=kx﹣2k， 联立 ，可得（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0， 由直线与双曲线有两个交点，则 3﹣k2≠0，即 k ． △=36（1+k2）＞0． x1+x2= ，x1•x2= ． ∵|AB|= •|x1﹣x2|= • = • =4， 化简可得，5k4+42k2﹣27=0，解得 k2= ， 求得 k= ． ∴l 的斜率为 ． 【点评】本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了双曲线的简单性质， 考查弦长公式的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题． 22．（16 分）对于无穷数列{an}与{bn}，记 A={x|x=an，n ∈ N*}，B={x|x=bn，n ∈N*}，若同时满足条件：①{an}，{bn}均单调递增；②A∩B= ∅ 且 A∪B=N*，则称{an} 与{bn}是无穷互补数列． （1）若 an=2n﹣1，bn=4n﹣2，判断{an}与{bn}是否为无穷互补数列，并说明理 由； （2）若 an=2n 且{an}与{bn}是无穷互补数列，求数量{bn}的前 16 项的和； （3）若{an}与{bn}是无穷互补数列，{an}为等差数列且 a16=36，求{an}与{bn}的 通项公式． 【分析】（1）{an}与{bn}不是无穷互补数列．由 4 ∉ A，4 ∉ B，4 ∉ A∪B=N*，即可判 断； （2）由 an=2n，可得 a4=16，a5=32，再由新定义可得 b16=16+4=20，运用等差数 列的求和公式，计算即可得到所求和； （3）运用等差数列的通项公式，结合首项大于等于 1，可得 d=1 或 2，讨论 d=1， 2 求得通项公式，结合新定义，即可得到所求数列的通项公式． 【解答】解：（1）{an}与{bn}不是无穷互补数列． 理由：由 an=2n﹣1，bn=4n﹣2，可得 4 ∉ A，4 ∉ B， 即有 4 ∉ A∪B=N*，即有{an}与{bn}不是无穷互补数列； （2）由 an=2n，可得 a4=16，a5=32， 由{an}与{bn}是无穷互补数列，可得 b16=16+4=20， 即有数列{bn}的前 16 项的和为 （1+2+3+…+20）﹣（2+4+8+16）= ×20﹣30=180； （3）设{an}为公差为 d（d 为正整数）的等差数列且 a16=36，则 a1+15d=36， 由 a1=36﹣15d≥1，可得 d=1 或 2， 若 d=1，则 a1=21，an=n+20，bn=n（1≤n≤20）， 与{an}与{bn}是无穷互补数列矛盾，舍去； 若 d=2，则 a1=6，an=2n+4，bn= ． 综上可得，an=2n+4，bn= ． 【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的通项公式和求和公式的 运用，考查运算和推理能力，属于中档题． 23．（18 分）已知 a ∈ R，函数 f（x）=log2（ +a）． （1）当 a=1 时，解不等式 f（x）＞1； （2）若关于 x 的方程 f（x）+log2（x2）=0 的解集中恰有一个元素，求 a 的值； （3）设 a＞0，若对任意 t ∈ [ ，1]，函数 f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最 小值的差不超过 1，求 a 的取值范围． 【分析】（1）当 a=1 时，不等式 f（x）＞1 化为： ＞1，因此 2， 解出并且验证即可得出． （2）方程 f（x）+log2（x2）=0 即 log2（ +a）+log2（x2）=0，（ +a）x2=1，化为： ax2+x﹣1=0，对 a 分类讨论解出即可得出． （3）a＞0，对任意 t ∈ [ ，1]，函数 f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意 可得 ﹣ ≤1，因此 ≤2，化为：a≥ =g （t），t ∈ [ ，1]，利用导数研究函数的单调性即可得出． 【解答】解：（1）当 a=1 时，不等式 f（x）＞1 化为： ＞1， ∴ 2，化为： ，解得 0＜x＜1， 经过验证满足条件，因此不等式的解集为：（0，1）． （2）方程 f（x）+log2（x2）=0 即 log2（ +a）+log2（x2）=0，∴（ +a）x2=1， 化为：ax2+x﹣1=0， 若 a=0，化为 x﹣1=0，解得 x=1，经过验证满足：关于 x 的方程 f（x）+log2（x2） =0 的解集中恰有一个元素 1． 若 a≠0，令△=1+4a=0，解得 a= ，解得 x=2．经过验证满足：关于 x 的方程 f （x）+log2（x2）=0 的解集中恰有一个元素 1． 综上可得：a=0 或﹣ ． （3）a＞0，对任意 t ∈ [ ，1]，函数 f（x）在区间[t，t+1]上单调递减， ∴ ﹣ ≤1， ∴ ≤2， 化为：a≥ =g（t），t ∈ [ ，1]， g′（t）= = = ≤ ＜0， ∴g（t）在 t ∈ [ ，1]上单调递减，∴t= 时，g（t）取得最大值， = ． ∴ ． ∴a 的取值范围是 ． 【点评】本题考查了对数函数的运算法则单调性、不等式的解法、利用导数研究 函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难 题．