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- 2021-06-16 发布
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2007年山东省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 若z=cosθ+isinθ（i为虚数单位），则z2=-1的θ值可能是（ ）
A.π6 B.π4 C.π3 D.π2
2. 已知集合M={-1, 1}，N={x|12<2x+1<4，x∈Z}，则M∩N=( )
A.{-1, 1} B.{-1} C.{0} D.{-1, 0}
3. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
A.(1)，(2) B.(1)，(3) C.(1)，(4) D.(2)，(4)
4. 设a∈{-1,1,12，3}，则使函数y=xa的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是（ ）
A.1，3 B.-1，1 C.-1，3 D.-1，1，3
5. 函数f(x)=sin(2x+π6)+cos(2x+π3)的最小正周期和最大值分别为（ ）
A.π，1 B.π,2 C.2π，1 D.2π,2
6. 给出下列三个等式：f(xy)=f(x)+f(y)，f(x+y)=f(x)f(y)，f(x+y)=f(x)+f(y)1-f(x)f(y)．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）
A.f(x)=3x B.f(x)=sinx C.f(x)=log2x D.f(x)=tanx
7. 命题“对任意的x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是（ ）
A.不存在x∈R，x3-x2+1≤0 B.存在x∈R，x3-x2+1≤0
C.对任意的x∈R，x3-x2+1>0 D.存在x∈R，x3-x2+1>0
8. 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可以分析出x和y分别为（ ）
A.0.9，35 B.0.9，45 C.0.1，35 D.0.1，45
9. 下列各小题中，p是q的充要条件的是（ ）
(1)p:m<-2或m>6；q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点．
(2)p：f(-x)f(x)=1；q:y=f(x)是偶函数．
(3)p:cosα=cosβ；q:tanα=tanβ．
(4)p:A∩B=A；q:∁UB⊆∁UA．
A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)
10. 阅读右边的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是（ ）
7 / 7
A.2550，2500 B.2550，2550 C.2500，2500 D.2500，2550
11. 在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（ ）
A.|AC→|2=AC→⋅AB→
B.|BC→|2=BA→⋅BC→
C.|AB→|2=AC→⋅CD→
D.|CD→|2=(AC→⋅AB→)×(BA→⋅BC→)|AB→|2
12. 位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12．质点P移动5次后位于点(2, 3)的概率为（ ）
A.(12)5 B.C52(12)5 C.C53(12)3 D.C52C53(12)5
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13. 设O是坐标原点，F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA→与x轴正向的夹角为60∘，则|OA→|为________．
14. 设D是不等式组x+2y≤102x+y≥30≤x≤4y≥1表示的平面区域，则D中的点P(x, y)到直线x+y=10距离的最大值是________．
15. 与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．
16. 已知函数y=loga(x-1)+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中m>0，n>0，则1m+2n最小值为________．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17. 设数列{an}满足a1+3a2+32a3+...+3n-1an=n3(n∈N*)．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=nan，求数列{bn}的前n项和Sn．
7 / 7
18. 设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）．
（1）求方程x2+bx+c=0有实根的概率；
（2）求ξ的分布列和数学期望；
（3）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根的概率．
19. 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB // DC．
（1）设E是DC的中点，求证：D1E // 平面A1BD；
（2）求二面角A1-BD-C1的余弦值．
20. 如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105∘的方向B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120∘方向的B2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？
7 / 7
21. 已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．
22. 设函数f(x)=x2+bln(x+1)，其中b≠0．
（1）当b>12时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；
（2）求函数f(x)的极值点；
（3）证明对任意的正整数n，不等式ln(1n+1)>1n2-1n3都成立．
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参考答案与试题解析
2007年山东省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.D
2.B
3.D
4.A
5.A
6.B
7.D
8.A
9.D
10.A
11.C
12.B
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13.212p
14.42
15.(x-2)2+(y-2)2=2
16.8
三、解答题（共6小题，满分74分）
17.∵ a1+3a2+32a3+...+3n-1an=n3，①
∴ 当n≥2时，a1+3a2+32a3+...+3n-2an-1=n-13．②
①-②，得3n-1an=13，
所以an=13n(n≥2)，
在①中，令n＝1，得a1=13也满足上式．
∴ an=13n．
∵ bn=nan，
∴ bn＝n⋅3n．
∴ Sn＝3+2×32+3×33+...+n⋅3n．③
∴ 3Sn＝32+2×33+3×34+...+n⋅3n+1．④
④-③，得2Sn＝n⋅3n+1-(3+32+33+...+3n)，
即2Sn＝n⋅3n+1-3(1-3n)1-3．
∴ Sn=(2n-1)3n+14+34．
18.解：（1）由题意知，本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的基本事件总数为6×6=36，
满足条件的事件是使方程有实根，则△=b2-4c≥0，即b≥2c．
下面针对于c的取值进行讨论
当c=1时，b=2，3，4，5，6；
当c=2时，b=3，4，5，6；
当c=3时，b=4，5，6；
当c=4时，b=4，5，6；
当c=5时，b=5，6；
当c=6时，b=5，6，
目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19，
因此方程x2+bx+c=0有实根的概率为1936．
（2）由题意知用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数得到ξ=0，1，2
根据第一问做出的结果得到
则P(ξ=0)=1736，P(ξ=1)=236=118，P(ξ=2)=1736，
7 / 7
∴ ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
1736
118
1736
∴ ξ的数学期望Eξ=0×1736+1×118+2×1736=1．
（3）在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根，
这是一个条件概率，
记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，
“方程ax2+bx+c=0有实根”为事件N，
则P(M)=1136，P(MN)=736，
∴ P(N|M)=P(MN)P(M)=711．
19.解：（1）连接BE，则四边形DABE为正方形，
∴ BE=AD=A1D1，且BE // AD // A1D1，
∴ 四边形A1D1EB为平行四边形，∴ D1E // A1B．
∵ D1E⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，
∴ D1E // 平面A1BD．
（2）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
不妨设DA=1，则D(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)，B(1, 1, 0)，C1(0, 2, 2)，A1(1, 0, 2)．
∴ DA1→=(1,0,2)，DB→=(1,1,0)．
设n→=(x,y,z)为平面A1BD的一个法向量，
由n→⊥DA1→，n→⊥DB→得x+2z=0x+y=0
取z=1，则n→=(-2,2,1)
设m→=(x1,y1,z1)为平面C1BD的一个法向量，
由m→⊥DC→，m→⊥DB→得2y1+2z1=0x1+y1=0，
取z1=1，则m→=(1,-1,1)
∵ .cos=|m→||n→|˙=-39⋅3=-33．
由于该二面角A1-BD-C1为锐角，
所以所求的二面角A1-BD-C1的余弦值为33．
20.乙船每小时航行302海里．
21.解：（1）设椭圆的长半轴为a，半焦距为c，
则a+c=3a-c=1解得a=2c=1
∴ 椭圆C的标准方程为x24+y23=1．
（2）由方程组x24+y23=1y=kx+m消去y，
得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0
由题意：△=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0
整理得：3+4k2-m2>0 ①
设M(x1, y1)、N(x2, y2)，
则x1+x2=-8km3+4k2，x1x2=4m2-123+4k2
由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A(2, 0)
∴ (x1-2)(x2-2)+y1y2=0
即(1+k2)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2+4=0
也即(1+k2)⋅4m2-123+4k2+(km-2)⋅-8km3+4k2+m2+4=0
整理得：7m2+16mk+4k2=0
7 / 7
解得：m=-2k或m=-2k7，均满足①
当m=-2k时，直线l的方程为y=kx-2k，过定点(2, 0)，舍去
当m=-2k7时，直线l的方程为y=k(x-27)，过定点(27，0)，
故直线l过定点，且定点的坐标为(27，0)．
22.解：（1）函数f(x)=x2+bln(x+1)的定义域在(-1, +∞)
f'(x)=2x+bx+1=2x2+2x+bx+1
令g(x)=2x2+2x+b，则g(x)在(-12，+∞)上递增，在(-1,-12)上递减，g(x)min=g(-12)=-12+b，当b>12时g(x)min=-12+b>0
g(x)=2x2+2x+b>0在(-1, +∞)上恒成立，
所以f'(x)>0即当b>12时，函数f(x)在定义域(-1, +∞)上单调递增．
（2）（1）由（1）知当b>12时函数f(x)无极值点
②当b=12时，f'(x)=2(x+12)2x+1，
∴ x∈(-1,-12)时，f'(x)>0x∈(-12，+∞)时，f'(x)>0，
∴ b=12时，函数f(x)在(-1, +∞)上无极值点
③当b<12时，解f'(x)=0得两个不同解x1=-1-1-2b2，x2=-1+1-2b2
当b<0时，x1=-1-1-2b2，x2=-1+1-2b2，
∴ x1∈(-∞, -1)，x2∈(-1, +∞)，此时f(x)在(-1, +∞)上有唯一的极小值点x2=-1+1-2b2
当0h(0)=0
即当x∈(0, +∞)时，有x3-x2+ln(x+1)>0，ln(x+1)>x2-x3，对任意正整数n，取x=1n得ln(1n+1)>1n2-1n3
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