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- 2021-06-16 发布
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2009年湖北省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1. 若向量a→=(1, 1)，b→=(-1, 1)，c→=(4, 2)，则c→=( )
A.3a→+b→ B.3a→-b→ C.-a→+3b→ D.a→+3b→
2. 函数y=x-22x-1(x∈R，且x≠12)的反函数是（ ）
A.y=x-22x-1(x∈R，且x≠12)
B.y=2x-1x-2(x∈R，且x≠2)
C.y=x+22x-1(x∈R，且x≠12)
D.y=2x-1x+2(x∈R，且x≠-2)
3. “sinα=12”是“cos2α=12”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ）
A.40种 B.60种 C.100种 D.120种
5. 已知双曲线x22-y22=1的准线经过椭圆x24+y2b2=1(b>0)的焦点，则b=( )
A.3 B.5 C.3 D.2
6. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90∘，∠ACC1=60∘，∠BCC1=45∘，侧棱CC1的长为1，则该三棱柱的高等于（ ）
A.12 B.22 C.32 D.33
7. 函数y=cos(2x+π6)-2的图象F按向量a→平移到F'，F'的函数解析式为y=f(x)，当y=f(x)为奇函数时，向量a→可以等于( )
A.(-π6, -2) B.(-π6, 2) C.(π6, -2) D.(π6, 2)
8. 在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )
A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2800元
9. 设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，令{x}=x-[x]，则{5+12}，[5+12]，5+12( )
A.是等差数列但不是等比数列
B.是等比数列但不是等差数列
C.既是等差数列又是等比数列
D.既不是等差数列也不是等比数列
10. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角
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形数又是正方形数的是（ ）
A.289 B.1024 C.1225 D.1378
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11. 已知(1+ax)5=1+10x+a2x2+bx3+...+anxn，则a2=________．
12. 甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人没有达标的概率是________．
13. 设集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x|x-1x+2<0}，则A∩B＝________．
14. 过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．
15. 如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数落在[6, 10]内的频数为________，数据落在(2, 10)内的概率约为________．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3a＝2csinA．
(Ⅰ)确定角C的大小；
(Ⅱ)若c=7，且△ABC的面积为332，求a+b的值．
17. 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：米）．
(1)将修建围墙的总费用y表示成x的函数；
(2)当x为何值时，修建此矩形场地围墙的总费用最小？并求出最小总费用．
18. 如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD上的点，且DE=λ(0<λ≤1)．
（1）求证：对任意的λ∈(0, 1]，都有AC⊥BE；
（2）若二面角C-AE-D的大小为60∘，求λ的值．
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19. 已知数列{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{an}和数列{bn}满足等式an=b12+b222+b323+…+bn2n(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn．
20. 如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线l作垂线，垂足分别为M1、N1
（1）求证：FM1⊥FN1；
（2）记△FMM1、△FM1N1，△FNN1的面积分别为S1、S2、S3，试判断S22=4S1S3是否成立，并证明你的结论．
21. 已知关于x的函数f(x)=-13x3+bx2+cx+bc，其导函数为f'(x)．令g(x)=|f'(x)|，记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M．
（I）如果函数f(x)在x=1处有极值-43，试确定b、c的值：
（II）若|b|>1，证明对任意的c，都有M>2
（III）若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值．
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参考答案与试题解析
2009年湖北省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1.B
2.A
3.A
4.B
5.C
6.A
7.B
8.B
9.B
10.C
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11.40
12.0.24,0.76
13.{x|02)．
(II)因为x>0，所以225x+3602x≥2225×3602=10800，
所以y=225x+3602x-360≥10440，当且仅当225x=3602x时，等号成立．
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
18.解：以D为原点，DA，DC，DS的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0, 0, 0)，A(a, 0, 0)，
B(a, a, 0)，C(0, a, 0)，E(0, 0, λa)，（1）证明：∵ AC→=(-a, a, 0)，
BE→=(-a, -a, λa)，EA→=(a, 0, -λa)，EC→=(0, a, -λa)．
∴ AC→⋅BE→=(-a, a, 0)⋅(-a, -a, λa)
=a2-a2+0⋅λa=0，
即对任意的λ∈(0, 1]，都有AC⊥BE．
（2）DC→=(0, a, 0)为平面ADE的一个法向量．
设平面ACE的一个法向量为n=(x, y, z)，
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则n⊥E，n⊥E，
∴ 即x-λz=0y-λz=0
取z=1，得n=(λ, λ, 1)．
∴ cos60∘=|λ|2λ2+1⇔2λ2+1=2|λ|．
由λ∈(0, 1]，解得λ=22．
19.解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
则依题意可知d>0由a2+a7=16，
得2a1+7d=16①
由a3a6=55，得(a1+2d)(a1+5d)=55②
由①②联立方程求得
得d=2，a1=1或d=-2，a1=207（排除）
∴ an=1+(n-1)⋅2=2n-1
（2）令cn=bn2n，则有an=c1+c2+...+cn
an+1=c1+c2+...+cn+1
两式相减得
an+1-an=cn+1，由（1）得a1=1，an+1-an=2
∴ cn+1=2，即cn=2(n≥2)，
即当n≥2时，
bn=2n+1，又当n=1时，b1=2a1=2
∴ bn=2,(n=1)2n+1，(n≥2)
于是Sn=b1+b2+b3+...+bn=2+23+24+...2n+1=2n+2-6，n≥2，
Sn=2n=12n+2-6n≥2．
20.（1）证明：由抛物线的定义得
|MF|=|MM1|，|NF|=|NN1|，
∴ ∠MFM1=∠MM1F，∠NFN1=∠NN1F
如图，设准线l与x的交点为F1
∴ MM1 // NN1 // FF1
∴ ∠F1FM1=∠MM1F，∠F1FN1=∠NN1F
而∠F1FM1+∠MFM1+∠F1FN1+∠N1FN=180∘
即2∠F1FM1+2∠F1FN1=180∘
∴ ∠F1FM1+∠F1FN1=90∘
故FM1⊥FN1．
（2）S22=4S1S3成立，证明如下：
证：设M(x1, y1)，N(x2, y2)
则由抛物线的定义得
|MM1|=|MF|=x1+p2，|NN1|=|NF|=x2+p2，
于是
S1=12|MM1||F1M1|=12(x1+p2)|y1|，
S2=12|M1N2||FF1|=12p|y1-y2|，
S3=12|NN1||F1N1|=12(x2+p2)|y2|，
∵ S22=4S1S3⇔(12p|y1-y2|2=4×12(x1+p2)|y1|⋅12(x2+p2)|y2|
⇔14p2[(y1+y2)2-4y1y2]=[x1x2+p2(x1+x2)+p24]|y1y2|，
将x1=my1+p2x2=my2+p2与y1+y2=2mpy1y2=-p2代入上式化简可得
p2(m2p2+p2)=p2(m2p2+p2)，此式恒成立．
故S22=4S1S3成立．
21.（I）解：∵ f'(x)=-x2+2bx+c，由f(x)在x=1处有极值-43
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可得f'(1)=-1+2b+c=0f(1)=-13+b+c+bc=-43
解得b=1c=-1，或b=-1c=3
若b=1，c=-1，则f'(x)=-x2+2x-1=-(x-1)2≤0，此时f(x)没有极值；
若b=-1，c=3，则f'(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1)
当x变化时，f(x)，f'(x)的变化情况如下表：
x
(-∞, -3)
-3
(-3, 1)
1
(1, +∞)
f'(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
极小值-12
↗
极大值-43
↘
∴ 当x=1时，f(x)有极大值-43，故b=-1，c=3即为所求．
（II）证法1:g(x)=|f'(x)|=|-(x-b)2+b2+c|
当|b|>1时，函数y=f'(x)的对称轴x=b位于区间[-1.1]之外．
∴ f'(x)在[-1, 1]上的最值在两端点处取得
故M应是g(-1)和g(1)中较大的一个，
∴ 2M≥g(1)+g(-1)=|-1+2b+c|+|-1-2b+c|≥|4b|>4，即M>2
证法2（反证法）：因为|b|>1，所以函数y=f'(x)的对称轴x=b位于区间[-1, 1]之外，
∴ f'(x)在[-1, 1]上的最值在两端点处取得．
故M应是g(-1)和g(1)中较大的一个
假设M≤2，则M=maxg{(-1), g(1), g(b)}
将上述两式相加得：4≥|-1-2b+c|+|-1+2b+c|≥4|b|>4，导致矛盾，∴ M>2
（III）解法1:g(x)=|f'(x)|=|-(x-b)2+b2+c|
（1）当|b|>1时，由(II)可知f'(b)-f'(±1)=b(∓1)2≥0；
（2）当|b|≤1时，函数y=f'(x)的对称轴x=b位于区间[-1, 1]内，
此时M=max{g(-1), g(1), g(b)}
由f'(1)-f'(-1)=4b，有f'(b)-f'(±1)=b(∓1)2≥0
①若-1≤b≤0，则f'(1)≤f'(-1)≤f'(b)，∴ g(-1)≤max{g(1), g(b)}，
于是M=max{|f'(1),|f'(b)|}≥12(|f'(1)|+f'(b)|)≥12|f'(1)-f'(b)|=12(b-1)2≥12
②若012
综上，对任意的b、c都有M≥12
而当b=0,c=12时，g(x)=|-x2+12|在区间[-1, 1]上的最小值M=12
故M≥k对任意的b、c恒成立的k的最大值为12．
解法2:g(x)=|f'(x)|=|-(x-b)2+b2+c|
（1）当|b|>1时，由(II)可知M>2
（2）当|b|≤1
y=f'(x)时，函数的对称轴x=b位于区间[-1, 1]内，
此时M=max{g(-1), g(1), g(b)}
4M≥g(-1)+g(1)+2g(b)=|-1-2b+c|+|-1+2b+c|+2|b2+c|≥|-1-2b+c+(-1+2b+c)-2(b2+c)|=|2b2+2|≥2，
即M≥12
下同解法1
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