2021届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第15讲导数的意义及运算课件 32页

第 15 讲　导数的意义及运算 课标要求 考情风向标 1. 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵 . 2. 通过函数图象直观地理解导数的几何意义 . 3. 能根据导数定义求函数 y ＝ c ， y ＝ x ， y ＝ x 2 ， y ＝ x 3 ， 4. 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数 [ 仅限于形如 f ( ax ＋ b )] 的导数 . 5. 会使用导数公式表 本节复习时，应充分利用实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则对某些函数进行求导 1. 函数导数的定义 2. 导数的几何意义和物理意义 (1) 导数的几何意义：函数 y ＝ f ( x ) 在 x 0 处的导数 f ′ ( x 0 ) 的几何意义，就是曲线 y ＝ f ( x ) 在点 P ( x 0 ， f ( x 0 )) 处的切线的斜率 . 相应地，切线方程为 y － f ( x 0 ) ＝ f ′ ( x 0 )( x － x 0 ). (2) 导数的物理意义： ① 在物理学中，如果物体运动的规律是 s ＝ s ( t ) ，那么该物体在时刻 t 0 的瞬时速度为 v ＝ s ′ ( t 0 ) ； ② 如果物体运动的速度随时间变化的规律是 v ＝ v ( t ) ，则该物体在时刻 t 0 的瞬时加速度为 a ＝ v ′ ( t 0 ). 原函数 导函数 f ( x ) ＝ c f ′ ( x ) ＝ __________ f ( x ) ＝ x α ( α ∈ Q * ) f ′ ( x ) ＝ __________( α ∈ Q * ) f ( x ) ＝ sin x f ′ ( x ) ＝ cos x f ( x ) ＝ cos x f ′ ( x ) ＝ __________ f ( x ) ＝ a x ( a >0) f ′ ( x ) ＝ a x ln a ( a >0) f ( x ) ＝ e x f ′ ( x ) ＝ __________ f ( x ) ＝ log a x ( a >0 ，且 a ≠ 1) f ( x ) ＝ ln x f ′ ( x ) ＝ _______ 3. 基本初等函数的导数公式表 0 αx α － 1 － sin x e x 4. 运算法则 ± u ′ ( x ) v ( x ) ＋ u ( x ) v ′ ( x ) C － 3 1. 已知函数 f ( x ) ＝ 4π 2 x 2 ，则 f ′ ( x ) ＝ ( 　　 ) A.4π x B.8π x C.8π 2 x D.16π x 2. (2018 年新课标 Ⅲ ) 曲线 y ＝ ( ax ＋ 1)e x 在点 (0,1) 处的切线的 斜率为－ 2 ，则 a ＝ _________. B 4.(2019 年新课标 Ⅱ ) 曲线 y ＝ 2s in x ＋ cos x 在点 (π ，－ 1) 处 的切线方程为 ( ) C A. x － y － π － 1 ＝ 0 C.2 x ＋ y － 2π ＋ 1 ＝ 0 B.2 x － y － 2π － 1 ＝ 0 D. x ＋ y － π ＋ 1 ＝ 0 解析： y ＝ 2sin x ＋ cos x ， f ′( x ) ＝ 2cos x － sin x ，则 k ＝ f ′(π) ＝ 2cos π － sin π ＝－ 2 ， ∴ 在点 (π ，－ 1) 处的切线方程为 y ＋ 1 ＝－ 2( x － π) ， 2 x ＋ y － 2π ＋ 1 ＝ 0. 考点 1 导数的概念 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③④ ∴①③ 正确 . 故选 B. 答案： B 答案： 2 考点 2 导数的计算 例 2 ： (1) (2018 年天津 ) 已知函数 f ( x ) ＝ e x ln x ， f ′ ( x ) 为 f ( x ) 的导函数，则 f ′ (1) 的值为 __________. 答案： e (2) 已知函数 f ( x ) 的导函数为 f ′ ( x ) ，且满足 f ( x ) ＝ 2 xf ′ (1) ) ＋ ln x ，则 f ′ (1) ＝ ( A. － 1 C.1 B. － e D.e 答案： A (3) 设函数 f ( x ) 在 (0 ，＋∞ ) 内可导，其导函数为 f ′ ( x ) ，且 f (ln x ) ＝ x ＋ ln x ，则 f ′ (1) ＝ ____________. 解析： f (ln x ) ＝ x ＋ ln x ，令 ln x ＝ t ， x ＝ e t ，则 f ( t ) ＝ e t ＋ t ， 即 f ( x ) ＝ e x ＋ x . 又 f ′ ( x ) ＝ e x ＋ 1 ， ∴ f ′ (1) ＝ e ＋ 1. 答案： e ＋ 1 【 规律方法 】 求函数的导数时，要准确地把函数分割为基 本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数，对于不具 备求导法则的结构形式要进行适当的恒等变形 . 注意求函数的 导数 ( 尤其是对含有多个字母的函数 ) 时，一定要清楚函数的自 变量是什么，对谁求导，如 f ( x ) ＝ x 2 ＋ sin α 的自变量为 x ，而 f ( α ) ＝ x 2 ＋ sin α 的自变量为 α . 考点 3 导数的意义 考向 1 导数的物理意义 例 3 ： (1) 一个物体的运动方程为 s ＝ 1 － t ＋ t 2 ，其中 s 的单 位是米， t 的单位是秒，那么物体在 3 秒末的瞬时速度是 ( ) A.7 米 / 秒 C.5 米 / 秒 B.6 米 / 秒 D.8 米 / 秒 解析： s ′( t ) ＝ 2 t － 1 ， s ′(3) ＝ 2×3 － 1 ＝ 5. 答案： C 答案： D 考向 2 导数的几何意义 ∴ 在点 (1,2) 处的切线方程为 y － 2 ＝ 1×( x － 1) ，即 y ＝ x ＋ 1. 答案： y ＝ x ＋ 1 C. a ＝ e － 1 ， b ＝ 1 D. a ＝ e － 1 ， b ＝－ 1 (2) (2019 年新课标 Ⅲ ) 已知曲线 y ＝ a e x ＋ x ln x 在点 (1 ， a e) 处的切线方程为 y ＝ 2 x ＋ b ，则 ( A. a ＝ e ， b ＝－ 1 ) B. a ＝ e ， b ＝ 1 解析： y ′ ＝ a e x ＋ ln x ＋ 1 ， k ＝ y ′ | x ＝ 1 ＝ a e ＋ 1 ＝ 2 ， ∴ a ＝ e － 1 . 将 (1,1) 代入 y ＝ 2 x ＋ b 得 2 ＋ b ＝ 1 ， b ＝－ 1 ，故选 D. 答案： D (3) (2019 年新课标 Ⅰ ) 曲线 y ＝ 3( x 2 ＋ x )e x 在点 (0,0) 处的切线 方程为 ____________. 解析： y ＝ 3( x 2 ＋ x )e x ， y ′ ＝ 3(2 x ＋ 1)e x ＋ 3( x 2 ＋ x )e x ＝ 3( x 2 ＋ 3 x ＋ 1)e x ， k ＝ 3(0 2 ＋ 3 × 0 ＋ 1)e 0 ＝ 3. 答案： y ＝ 3 x (4) (2018 年新课标 Ⅰ ) 设函数 f ( x ) ＝ x 3 ＋ ( a － 1) x 2 ＋ ax ，若 f ( x ) 为奇函数，则曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (0,0) 处的切线方程为 ( ) A. y ＝－ 2 x C. y ＝ 2 x B. y ＝－ x D. y ＝ x 解析： 函 数 f ( x ) ＝ x 3 ＋ ( a － 1) x 2 ＋ ax 为奇函数，则 a ＝ 1 ， f ( x ) ＝ x 3 ＋ x ， f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 1 ， f ′ (0) ＝ 1. 则曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (0,0) 处的 切线方程为 y ＝ x . 故选 D. 答案： D (5)(2019 年江苏 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y ＝ ln x 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点 ( － e ，－ 1)(e 为自 然对数的底数 ) ，则点 A 的坐标是 ________. 考查函数 H ( x ) ＝ x ln x ，当 x ∈(0,1) 时， H ( x )<0 ；当 x ∈(1 ， ＋∞ ) 时， H ( x )>0 ，且 H ′( x ) ＝ ln x ＋ 1 ，当 x >1 时， H ′( x )>0 ， H ( x ) 单调递增， 注意到 H (e) ＝ e ，故 x 0 ln x 0 ＝ e 存在唯一的实数根 x 0 ＝ e ，此 时 y 0 ＝ 1 ，故点 A 的坐标为 A (e,1). 答案： (e,1) 【 规律方法 】 求曲线 y ＝ f ( x ) 在点 P ( x 0 ， f ( x 0 )) 处 ( 该点为切点 ) 的切线方程，其方法如下： ① 求出函数 y ＝ f ( x ) 在 x ＝ x 0 处的导数 f ′ ( x 0 ) ，即函数 y ＝ f ( x ) 在点 P ( x 0 ， f ( x 0 )) 处的切线的斜率； ② 切点为 P ( x 0 ， f ( x 0 )) ，切线方程为 y － f ( x 0 ) ＝ f ′ ( x 0 )( x － x 0 ). 易错、易混、易漏 ⊙ 混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误 例题： 已知曲线 f ( x ) ＝ x 3 － x ， 则： (1) 曲线在点 (1,0) 处的切线方程为 _______________ ； (2) 曲线过点 (1,0) 的切线方程为 _________________. 解析： f ′( x ) ＝ 3 x 2 － 1. (1) 曲线在点 (1,0) 处的切线的斜率为 k ＝ f ′(1) ＝ 2. 又切点为 (1,0) ， ∴ 所求切线方程为 y ＝ 2( x － 1) ，即 2 x － y － 2 ＝ 0. 答案： (1)2 x － y － 2 ＝ 0 (2)2 x － y － 2 ＝ 0 或 x ＋ 4 y － 1 ＝ 0 【 失误与防范 】 (1) 通过例题的学习 ，要彻底改变 “切线与 曲线有且只有一个公共点 ”“ 直线与曲线 只有一个公共点，则 该直线就是切线 ” 这一传统误区，如 “ 直线 y ＝ 1 与 y ＝ sin x 相 切，却有无数个公共点” ，而 “ 直线 x ＝ 1 与 y ＝ x 2 只有一个公 共点，显然直线 x ＝ 1 不是切线 ” . (2) 求曲线 y ＝ f ( x ) 在点 P ( x 0 ， f ( x 0 )) 处 ( 该点为切点 ) 的切线方程，其方法如下： ① 求出函数 y ＝ f ( x ) 在 x ＝ x 0 处的导数 f ′ ( x 0 ) ，即函数 y ＝ f ( x ) 在点 P ( x 0 ， f ( x 0 )) 处的切线的斜率； ② 切点为 P ( x 0 ， f ( x 0 )) ，切线方程为 y － f ( x 0 ) ＝ f ′ ( x 0 )·( x － x 0 ). 1. 导数的几何意义是切线的斜率，物理意义是速度与加速 度，代数意义就是瞬时增长率、瞬时变化率等 . 3. 过点求切线方程应注意该点是否为切点，特别提醒： 求 “ 在某点处的切线方程”时，该点为切点；求“过某点的切线 方程”时，该点有可能是切点，也有可能不是切点 . 4. 求函数的导数 ( 尤其是对含有多个字母的函数 ) 时，一定要 清楚函数的自变量是什么，对谁求导，如 f ( x ) ＝ x 2 ＋ sin α 的自变 量为 x ，而 f ( α ) ＝ x 2 ＋ sin α 的自变量为 α .