2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册课时分层作业：2 6页

www.ks5u.com 课时分层作业(十八)　‎ ‎(建议用时：40分钟) ‎ 一、选择题 ‎1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)‎ A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．相交且直线过圆心 D．相离 B　[∵圆心到直线的距离d＝＝＜1，且直线y＝x＋1不过圆心(0,0)，∴直线与圆相交但直线不过圆心．]‎ ‎2．与3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的一条直线是(　　)‎ A．4x－3y＝6 B．4x－3y＝－6‎ C．4x＋3y＝6 D．4x＋3y＝－6‎ B　[设与直线3x＋4y＝0垂直的直线方程为l：4x－3y＋m＝0，‎ 直线与圆(x－1)2＋y2＝4相切，则圆心(1,0)到直线的距离为半径2，即＝2，∴m＝6或m＝－14，所以直线方程为4x－3y＋6＝0，或4x－3y－14＝0，由选项可知B正确，故选B.]‎ ‎3．过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)‎ A．0°＜α≤30° B．0°＜α≤60°‎ C．0°≤α≤30° D．0°≤α≤60°‎ D　[易知直线l的斜率存在，所以可设l：y＋1＝k(x＋)，即kx－y＋k－1＝0.‎ 因为直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，所以圆心(0,0)到直线l的距离≤1，‎ 即k2－k≤0，‎ 解得0≤k≤，故直线l的倾斜角α的取值范围是0°≤α≤60°.]‎ ‎4．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0关于直线3x－ay－11＝0对称，则圆C中以 为中点的弦长为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ D　[依题意可知直线过圆心(1，－2)，即3＋2a－11＝0，a＝4.故＝(1，－1)．圆方程配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝5，(1，－1)与圆心距离为1，故弦长为2＝4.]‎ ‎5．若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是(　　)‎ A． B．∪ C． D．∪ B　[曲线C1是以(1,0)为圆心，1为半径的圆，当m≠0时，C2是两直线y＝0，y＝m(x＋1)，其中y＝0与圆一定有两个交点，直线y＝m(x＋1)与圆相切时，m＝±，若有两个交点则m∈∪.故选B.]‎ 二、填空题 ‎6．设圆C：x2＋y2―2x―2y―m＝0与直线y＝x―4相切，则圆C的半径为________．‎ ‎2　[∵圆C：x2＋y2―2x―2y―m＝0与直线y＝x―4相切，圆C的圆心C(1,1)，‎ ‎∴圆C的半径r＝＝2.]‎ ‎7．已知⊙O：x2＋y2＝1.若直线y＝kx＋2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是________．‎ ‎(－∞，－1]∪[1，＋∞)　[∵圆心为(0,0)，半径r＝1，‎ 设两个切点分别为A，B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，‎ 故有PO＝r＝，∴圆心O到直线y＝kx＋2的距离d≤，‎ 即≤，‎ 即1＋k2≥2，解得k≥1或k≤－1.]‎ ‎8．过原点作圆x2＋(y－6)2＝9的两条切线，则两条切线所成的锐角是________．‎ ‎60°　[根据题意作出图象如下：其中OA，OB是圆的切线，A，B为切点，C为圆心，‎ 则AC⊥AO，‎ 由圆的方程x2＋(y－6)2＝9可得：圆心C(0,6)，圆的半径r＝3，‎ 在Rt△AOC中，可得∠COA＝30°，又OC将∠AOB平分，所以∠AOB＝60°.]‎ 三、解答题 ‎9．已知圆C的圆心与点P(－2,1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，求圆C的方程．‎ ‎[解]　设点P关于直线y＝x＋1的对称点为C(m，n)，‎ 则由 ‎⇒ 故圆心C到直线3x＋4y－11＝0的距离 d＝＝3，‎ 所以圆C的半径的平方r2＝d2＋＝18.‎ 故圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18.‎ ‎10.如图所示，自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．‎ ‎[解]　圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，∴圆C关于x轴对称的圆C′的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.‎ 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－3＝k(x＋3)，即kx－y＋3＋3k＝0，‎ ‎∴＝1，∴k＝－或k＝－.‎ ‎∴光线l所在直线的方程为3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.‎ ‎11．(多选题)给出下列条件，能使直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝4相交的条件是(　　)‎ A．2a2＋2b2＝c2 B．3a2＋3b2＝c2‎ C．a2＋b2＝c2 D．4a2＋4b2＝c2‎ ABC　[由直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝4相交得＜2，即c2＜4(a2＋b2)，选项A、B、C均满足c2＜4(a2＋b2)，而D项是相切的条件，故应选ABC.]‎ ‎12．若直线x－my＋m＝0与圆(x－1)2＋y2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m的取值范围是(　　)‎ A．(0,1) B．(0,2)‎ C．(－1,0) D．(－2,0)‎ D　[圆与直线联立 整理得(1＋m2)y2－2m(m＋1)y＋m2＋2m＝0，∵图象有两个交点，‎ ‎∴方程有两个不同的实数根，即Δ＞0，‎ Δ＝4m2(m＋1)2－4(m2＋2m)(m2＋1)＝－8m＞0，解得m＜0.‎ ‎∵圆(x－1)2＋y2＝1都在x轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限．‎ ‎∴y1y2＝＜0，解得－2＜m＜0，故选D.]‎ ‎13．(一题两空)过直线l：y＝x－2上任意点P作圆C：x2＋y2‎ ‎＝1的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最小时，切线长为________，同时△PAB的面积为________．‎ ‎1　　[依据题意作出图象，如下图：‎ 因为直线l过点P且与圆x2＋y2＝1相切于点A，所以PA⊥OA，‎ 所以PA＝＝，要使得PA最小，则OP要最小，由题可得：OP的最小值就是点O到直线l：y＝x－2的距离 d＝＝.‎ 此时，PAmin＝＝＝1.‎ 又∠OPA＝，‎ 由切线的对称性可得：‎ ‎∠BPA＝，PB＝1，‎ 所以S△PAB＝×1×1＝.]‎ ‎14．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.‎ ‎4±　[圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为. 因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝2，所以＋12＝22，解得a＝4±.]‎ ‎15．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点．‎ ‎(1)求四边形PACB面积的最小值；‎ ‎(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎[解]　(1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为.‎ 所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|×|AC|＝|AP|.‎ 因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，‎ 所以当|PC|2最小时，|AP|最小．‎ 因为|PC|2＝(1－x)2＋＝＋9.所以当x＝－时，|PC|＝9.‎ 所以|AP|min＝＝2.‎ 即四边形PACB面积的最小值为2.‎ ‎(2)由(1)知圆心C到P点距离3为C到直线上点的最小值，若∠APB＝60°易得需PC＝2，这是不可能的，所以这样的点P是不存在的.‎