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  • 2021-06-16 发布

2016年浙江省高考数学试卷(文科)

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‎2016年浙江省高考数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题 ‎1.(5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁UP)∪Q=(  )‎ A.{1} B.{3,5} C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,5}‎ ‎2.(5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则(  )‎ A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n ‎3.(5分)函数y=sinx2的图象是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(5分)若平面区域,夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.(5分)已知a,b>0且a≠1,b≠1,若logab>1,则(  )‎ A.(a﹣1)(b﹣1)<0 B.(a﹣1)(a﹣b)>0 C.(b﹣1)(b﹣a)<0 D.(b﹣1)(b﹣a)>0‎ ‎6.(5分)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎7.(5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.(  )‎ A.若f(a)≤|b|,则a≤b B.若f(a)≤2b,则a≤b C.若f(a)≥|b|,则a≥b D.若f(a)≥2b,则a≥b ‎8.(5分)如图,点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+1,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+1,n∈N*,(P≠Q表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则(  )‎ A.{Sn}是等差数列 B.{Sn2}是等差数列 C.{dn}是等差数列 D.{dn2}是等差数列 ‎ ‎ 二、填空题 ‎9.(6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是   cm2,体积是   cm3.‎ ‎10.(6分)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是   ,半径是   .‎ ‎11.(6分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=   ,b=   .‎ ‎12.(6分)设函数f(x)=x3+3x2+1,已知a≠0,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x﹣a)‎ ‎2,x∈R,则实数a=   ,b=   .‎ ‎13.(4分)设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是   .‎ ‎14.(4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°,沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是   .‎ ‎15.(4分)已知平面向量,,||=1,||=2,=1,若为平面单位向量,则||+||的最大值是   .‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎16.(14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.‎ ‎(1)证明:A=2B;‎ ‎(2)若cosB=,求cosC的值.‎ ‎17.(15分)设数列{an}的前n项和为Sn,已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.‎ ‎(Ⅰ)求通项公式an;‎ ‎(Ⅱ)求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和.‎ ‎18.(15分)如图,在三棱台ABC﹣DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.‎ ‎(Ⅰ)求证:BF⊥平面ACFD;‎ ‎(Ⅱ)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.‎ ‎19.(15分)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1,‎ ‎(Ⅰ)求p的值;‎ ‎(Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.‎ ‎20.(15分)设函数f(x)=x3+,x∈[0,1],证明:‎ ‎(Ⅰ)f(x)≥1﹣x+x2‎ ‎(Ⅱ)<f(x)≤.‎ ‎ ‎ ‎2016年浙江省高考数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题 ‎1.(5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁UP)∪Q=(  )‎ A.{1} B.{3,5} C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,5}‎ ‎【分析】先求出∁UP,再得出(∁UP)∪Q.‎ ‎【解答】解:∁UP={2,4,6},‎ ‎(∁UP)∪Q={2,4,6}∪{1,2,4}={1,2,4,6}.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了集合的运算,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则(  )‎ A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n ‎【分析】由已知条件推导出l⊂β,再由n⊥β,推导出n⊥l.‎ ‎【解答】解:∵互相垂直的平面α,β交于直线l,直线m,n满足m∥α,‎ ‎∴m∥β或m⊂β或m与β相交,l⊂β,‎ ‎∵n⊥β,‎ ‎∴n⊥l.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查两直线关系的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)函数y=sinx2的图象是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据函数奇偶性的性质,以及函数零点的个数进行判断排除即可.‎ ‎【解答】解:∵sin(﹣x)2=sinx2,‎ ‎∴函数y=sinx2是偶函数,即函数的图象关于y轴对称,排除A,C;‎ 由y=sinx2=0,‎ 则x2=kπ,k≥0,‎ 则x=±,k≥0,‎ 故函数有无穷多个零点,排除B,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本题的关键.比较基础.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)若平面区域,夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】作出平面区域,找出距离最近的平行线的位置,求出直线方程,再计算距离.‎ ‎【解答】解:作出平面区域如图所示:‎ ‎∴当直线y=x+b分别经过A,B时,平行线间的距离相等.‎ 联立方程组,解得A(2,1),‎ 联立方程组,解得B(1,2).‎ 两条平行线分别为y=x﹣1,y=x+1,即x﹣y﹣1=0,x﹣y+1=0.‎ ‎∴平行线间的距离为d==,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了平面区域的作法,距离公式的应用,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)已知a,b>0且a≠1,b≠1,若logab>1,则(  )‎ A.(a﹣1)(b﹣1)<0 B.(a﹣1)(a﹣b)>0 C.(b﹣1)(b﹣a)<0 D.(b﹣1)(b﹣a)>0‎ ‎【分析】根据对数的运算性质,结合a>1或0<a<1进行判断即可.‎ ‎【解答】解:若a>1,则由logab>1得logab>logaa,即b>a>1,此时b﹣a>0,b>1,即(b﹣1)(b﹣a)>0,‎ 若0<a<1,则由logab>1得logab>logaa,即b<a<1,此时b﹣a<0,b<1,即(b﹣1)(b﹣a)>0,‎ 综上(b﹣1)(b﹣a)>0,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题主要考查不等式的应用,根据对数函数的性质,利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键.比较基础.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【分析】求出f(x)的最小值及极小值点,分别把“b<0”和“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”当做条件,看能否推出另一结论即可判断.‎ ‎【解答】解:f(x)的对称轴为x=﹣,fmin(x)=﹣.‎ ‎(1)若b<0,则﹣>﹣,∴当f(x)=﹣时,f(f(x))取得最小值f(﹣)=﹣,‎ 即f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等.‎ ‎∴“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的充分条件.‎ ‎(2)设f(x)=t,则f(f(x))=f(t),‎ ‎∴f(t)在(﹣,﹣)上单调递减,在(﹣,+∞)上单调递增,‎ 若f(f(x))=f(t)的最小值与f(x)的最小值相等,‎ 则﹣≤﹣,解得b≤0或b≥2.‎ ‎∴“b<0”不是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的必要条件.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的性质,简易逻辑关系的推导,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.(  )‎ A.若f(a)≤|b|,则a≤b B.若f(a)≤2b,则a≤b C.若f(a)≥|b|,则a≥b D.若f(a)≥2b,则a≥b ‎【分析】根据不等式的性质,分别进行递推判断即可.‎ ‎【解答】解:A.若f(a)≤|b|,则由条件f(x)≥|x|得f(a)≥|a|,‎ 即|a|≤|b|,则a≤b不一定成立,故A错误,‎ B.若f(a)≤2b,‎ 则由条件知f(x)≥2x,‎ 即f(a)≥2a,则2a≤f(a)≤2b,‎ 则a≤b,故B正确,‎ C.若f(a)≥|b|,则由条件f(x)≥|x|得f(a)≥|a|,则|a|≥|b|不一定成立,故C错误,‎ D.若f(a)≥2b,则由条件f(x)≥2x,得f(a)≥2a,则2a≥2b,不一定成立,即a≥b不一定成立,故D错误,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查不等式的判断和证明,根据条件,结合不等式的性质是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)如图,点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+1,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+1,n∈N*,(P≠Q表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则(  )‎ A.{Sn}是等差数列 B.{Sn2}是等差数列 C.{dn}是等差数列 D.{dn2}是等差数列 ‎【分析】设锐角的顶点为O,再设|OA1|=a,|OB1|=c,|AnAn+1|=|An+1An+2|=b,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d,由于a,c不确定,判断C,D不正确,设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn,运用三角形相似知识,hn+hn+2=2hn+1,由Sn=d•hn,可得Sn+Sn+2=2Sn+1,进而得到数列{Sn}为等差数列.‎ ‎【解答】解:设锐角的顶点为O,|OA1|=a,|OB1|=c,‎ ‎|AnAn+1|=|An+1An+2|=b,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d,‎ 由于a,c不确定,则{dn}不一定是等差数列,‎ ‎{dn2}不一定是等差数列,‎ 设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn,‎ 由三角形的相似可得==,‎ ‎==,‎ 两式相加可得,==2,‎ 即有hn+hn+2=2hn+1,‎ 由Sn=d•hn,可得Sn+Sn+2=2Sn+1,‎ 即为Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn,‎ 则数列{Sn}为等差数列.‎ 另解:可设△A1B1B2,△A2B2B3,…,AnBnBn+1为直角三角形,‎ 且A1B1,A2B2,…,AnBn为直角边,‎ 即有hn+hn+2=2hn+1,‎ 由Sn=d•hn,可得Sn+Sn+2=2Sn+1,‎ 即为Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn,‎ 则数列{Sn}为等差数列.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查等差数列的判断,注意运用三角形的相似和等差数列的性质,考查化简整理的推理能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎9.(6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是 80 cm2,体积是 40 cm3.‎ ‎【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体下部为长方体,上部为正方体的组合体,结合图中数据求出它的表面积和体积即可.‎ ‎【解答】解:根据几何体的三视图,得;‎ 该几何体是下部为长方体,其长和宽都为4,高为2,‎ 表面积为2×4×4+2×42=64cm2,体积为2×42=32cm3;‎ 上部为正方体,其棱长为2,‎ 表面积是6×22=24 cm2,体积为23=8cm3;‎ 所以几何体的表面积为64+24﹣2×22=80cm2,‎ 体积为32+8=40cm3.‎ 故答案为:80;40.‎ ‎【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题,也考查了空间想象和计算能力,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎10.(6分)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 (﹣2,﹣4) ,半径是 5 .‎ ‎【分析】由已知可得a2=a+2≠0,解得a=﹣1或a=2,把a=﹣1代入原方程,配方求得圆心坐标和半径,把a=2代入原方程,由D2+E2﹣4F<0说明方程不表示圆,则答案可求.‎ ‎【解答】解:∵方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,‎ ‎∴a2=a+2≠0,解得a=﹣1或a=2.‎ 当a=﹣1时,方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0,‎ 配方得(x+2)2+(y+4)2=25,所得圆的圆心坐标为(﹣2,﹣4),半径为5;‎ 当a=2时,方程化为,‎ 此时,方程不表示圆,‎ 故答案为:(﹣2,﹣4),5.‎ ‎【点评】本题考查圆的一般方程,考查圆的一般方程化标准方程,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎11.(6分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=  ,b= 1 .‎ ‎【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边,即可得到答案.‎ ‎【解答】解:∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x ‎=1+(cos2x+sin2x)‎ ‎=sin(2x+)+1,‎ ‎∴A=,b=1,‎ 故答案为:;1.‎ ‎【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用,熟练掌握公式是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎12.(6分)设函数f(x)=x3+3x2+1,已知a≠0,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x﹣a)2,x∈R,则实数a= ﹣2 ,b= 1 .‎ ‎【分析】根据函数解析式化简f(x)﹣f(a),再化简(x﹣b)(x﹣a)2,根据等式两边对应项的系数相等列出方程组,求出a、b的值.‎ ‎【解答】解:∵f(x)=x3+3x2+1,‎ ‎∴f(x)﹣f(a)=x3+3x2+1﹣(a3+3a2+1)‎ ‎=x3+3x2﹣(a3+3a2)‎ ‎∵(x﹣b)(x﹣a)2=(x﹣b)(x2﹣2ax+a2)=x3﹣(2a+b)x2+(a2+2ab)x﹣a2b,‎ 且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x﹣a)2,‎ ‎∴,解得或(舍去),‎ 故答案为:﹣2;1.‎ ‎【点评】本题考查函数与方程的应用,考查化简能力和方程思想,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎13.(4分)设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是  .‎ ‎【分析】由题意画出图形,以P在双曲线右支为例,求出∠PF2F1和∠F1PF2为直角时|PF1|+|PF2|的值,可得△F1PF2为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围.‎ ‎【解答】解:如图,‎ 由双曲线x2﹣=1,得a2=1,b2=3,‎ ‎∴.‎ 不妨以P在双曲线右支为例,当PF2⊥x轴时,‎ 把x=2代入x2﹣=1,得y=±3,即|PF2|=3,‎ 此时|PF1|=|PF2|+2=5,则|PF1|+|PF2|=8;‎ 由PF1⊥PF2,得,‎ 又|PF1|﹣|PF2|=2,①‎ 两边平方得:,‎ ‎∴|PF1||PF2|=6,②‎ 联立①②解得:,‎ 此时|PF1|+|PF2|=.‎ ‎∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是().‎ 故答案为:().‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质,考查双曲线定义的应用,考查数学转化思想方法,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎14.(4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°,沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是  .‎ ‎【分析】如图所示,取AC的中点O,AB=BC=3,可得BO⊥AC,在Rt△ACD′中,AC=.作D′E⊥AC,垂足为E,D′E=.CO=,CE==,EO=CO﹣CE=.过点B作BF∥AC,作FE∥BO交BF于点F,则EF⊥AC.连接D′F.∠FBD′为直线AC与BD′所成的角.则四边形BOEF为矩形,BF=EO=.EF=BO=.则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角,设为θ.利用余弦定理求出D′F2的最小值即可得出.‎ ‎【解答】解:如图所示,取AC的中点O,∵AB=BC=3,∴BO⊥AC,‎ 在Rt△ACD′中,=.‎ 作D′E⊥AC,垂足为E,D′E==.‎ CO=,CE===,‎ ‎∴EO=CO﹣CE=.‎ 过点B作BF∥AC,作FE∥BO交BF于点F,则EF⊥AC.连接D′F.∠FBD′为直线AC与BD′所成的角.‎ 则四边形BOEF为矩形,∴BF=EO=.‎ EF=BO==.‎ 则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角,设为θ.‎ 则D′F2=+﹣2×cosθ=﹣5cosθ≥,cosθ=1时取等号.‎ ‎∴D′B的最小值==2.‎ ‎∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值===.‎ 也可以考虑利用向量法求解.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查了空间位置关系、空间角,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于难题.‎ ‎ ‎ ‎15.(4分)已知平面向量,,||=1,||=2,=1,若为平面单位向量,则||+||的最大值是  .‎ ‎【分析】由题意可知,||+||为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和,由此可知,当与共线时,||+||取得最大值,即.‎ ‎【解答】解:||+||=,‎ 其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和,‎ 当与共线时,取得最大值.‎ ‎∴=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查向量在向量方向上的投影的概念,考查学生正确理解问题的能力,是中档题.‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎16.(14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.‎ ‎(1)证明:A=2B;‎ ‎(2)若cosB=,求cosC的值.‎ ‎【分析】(1)由b+c=2acosB,利用正弦定理可得:sinB+sinC=2sinAcosB,而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,代入化简可得:sinB=sin(A﹣B),由A,B∈(0,π),可得0<A﹣B<π,即可证明.‎ ‎(II)cosB=,可得sinB=.cosA=cos2B=2cos2B﹣1,sinA=.利用cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB即可得出.‎ ‎【解答】(1)证明:∵b+c=2acosB,‎ ‎∴sinB+sinC=2sinAcosB,‎ ‎∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,‎ ‎∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B),由A,B∈(0,π),‎ ‎∴0<A﹣B<π,∴B=A﹣B,或B=π﹣(A﹣B),化为A=2B,或A=π(舍去).‎ ‎∴A=2B.‎ ‎(II)解:cosB=,∴sinB==.‎ cosA=cos2B=2cos2B﹣1=,sinA==.‎ ‎∴cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=.‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎17.(15分)设数列{an}的前n项和为Sn,已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.‎ ‎(Ⅰ)求通项公式an;‎ ‎(Ⅱ)求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据条件建立方程组关系,求出首项,利用数列的递推关系证明数列{an}是公比q=3的等比数列,即可求通项公式an;‎ ‎(Ⅱ)讨论n的取值,利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.‎ ‎∴a1+a2=4,a2=2S1+1=2a1+1,‎ 解得a1=1,a2=3,‎ 当n≥2时,an+1=2Sn+1,an=2Sn﹣1+1,‎ 两式相减得an+1﹣an=2(Sn﹣Sn﹣1)=2an,‎ 即an+1=3an,当n=1时,a1=1,a2=3,‎ 满足an+1=3an,‎ ‎∴=3,则数列{an}是公比q=3的等比数列,‎ 则通项公式an=3n﹣1.‎ ‎(Ⅱ)an﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2,‎ 设bn=|an﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|,‎ 则b1=|30﹣1﹣2|=2,b2=|3﹣2﹣2|=1,‎ 当n≥3时,3n﹣1﹣n﹣2>0,‎ 则bn=|an﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2,‎ 此时数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和Tn=3+﹣=,‎ 则Tn==.‎ ‎【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算,根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{an}是等比数列是解决本题的关键.求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和.‎ ‎ ‎ ‎18.(15分)如图,在三棱台ABC﹣DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.‎ ‎(Ⅰ)求证:BF⊥平面ACFD;‎ ‎(Ⅱ)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据三棱台的定义,可知分别延长AD,BE,CF,会交于一点,并设该点为K,并且可以由平面BCFE⊥平面ABC及∠ACB=90°可以得出AC⊥平面BCK,进而得出BF⊥AC.而根据条件可以判断出点E,F分别为边BK,CK的中点,从而得出△BCK为等边三角形,进而得出BF⊥CK,从而根据线面垂直的判定定理即可得出BF⊥平面ACFD;‎ ‎(Ⅱ)由BF⊥平面ACFD便可得出∠BDF为直线BD和平面ACFD所成的角,根据条件可以求出BF=,DF=,从而在Rt△BDF中可以求出BD的值,从而得出cos∠BDF的值,即得出直线BD和平面ACFD所成角的余弦值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)证明:延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示:∵平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC;‎ ‎∴AC⊥平面BCK,BF⊂平面BCK;‎ ‎∴BF⊥AC;‎ 又EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2;‎ ‎∴△BCK为等边三角形,且F为CK的中点;‎ ‎∴BF⊥CK,且AC∩CK=C;‎ ‎∴BF⊥平面ACFD;‎ ‎(Ⅱ)∵BF⊥平面ACFD;‎ ‎∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角;‎ ‎∵F为CK中点,且DF∥AC;‎ ‎∴DF为△ACK的中位线,且AC=3;‎ ‎∴;‎ 又;‎ ‎∴在Rt△BFD中,,cos;‎ 即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为 ‎【点评】‎ 考查三角形中位线的性质,等边三角形的中线也是高线,面面垂直的性质定理,以及线面垂直的判定定理,线面角的定义及求法,直角三角形边的关系,三角函数的定义.‎ ‎ ‎ ‎19.(15分)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1,‎ ‎(Ⅰ)求p的值;‎ ‎(Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程,进一步求得p值;‎ ‎(Ⅱ)设出直线AF的方程,与抛物线联立,求出B的坐标,求出直线AB,FN的斜率,从而求出直线BN的方程,根据A、M、N三点共线,可求出M的横坐标的表达式,从而求出m的取值范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=﹣1的距离,‎ 由抛物线定义得,,即p=2;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设(t2,2t),t≠0,t≠±1,‎ ‎∵AF不垂直y轴,‎ ‎∴设直线AF:x=sy+1(s≠0),‎ 联立,得y2﹣4sy﹣4=0.‎ y1y2=﹣4,‎ ‎∴B(),‎ 又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为,‎ 从而得FN:,直线BN:y=﹣,‎ 则N(),‎ 设M(m,0),由A、M、N三点共线,得,‎ 于是m==,得m<0或m>2.‎ 经检验,m<0或m>2满足题意.‎ ‎∴点M的横坐标的取值范围为(﹣∞,0)∪(2,+∞).‎ ‎【点评】本题考查抛物线的简单性质,考查直线与圆锥曲线位置关系的应用,考查数学转化思想方法,属中档题.‎ ‎ ‎ ‎20.(15分)设函数f(x)=x3+,x∈[0,1],证明:‎ ‎(Ⅰ)f(x)≥1﹣x+x2‎ ‎(Ⅱ)<f(x)≤.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据题意,1﹣x+x2﹣x3=,利用放缩法得≤,即可证明结论成立;‎ ‎(Ⅱ)利用0≤x≤1时x3≤x,证明f(x)≤,再利用配方法证明f(x)≥,结合函数的最小值得出f(x)>,即证结论成立.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)证明:因为f(x)=x3+,x∈[0,1],‎ 且1﹣x+x2﹣x3==,‎ 所以≤,‎ 所以1﹣x+x2﹣x3≤,‎ 即f(x)≥1﹣x+x2;‎ ‎(Ⅱ)证明:因为0≤x≤1,所以x3≤x,‎ 所以f(x)=x3+≤x+=x+﹣+=+≤;‎ 由(Ⅰ)得,f(x)≥1﹣x+x2=+≥,‎ 且f()=+=>,‎ 所以f(x)>;‎ 综上,<f(x)≤.‎ ‎【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值,分段函数等基础知识,也考查了推理与论证,分析问题与解决问题的能力,是综合性题目.‎ ‎ ‎