浙江省2021届高考数学一轮复习第六章平面向量复数第3节平面向量的数量积及其应用含解析 17页

第3节　平面向量的数量积及其应用 考试要求　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.平面向量数量积的有关概念 ‎(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.‎ ‎(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.‎ ‎(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积.‎ ‎2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.‎ ‎(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.‎ ‎(2)模：|a|＝＝.‎ ‎(3)夹角：cos θ＝＝.‎ ‎(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.‎ ‎3.平面向量数量积的运算律 ‎(1)a·b＝b·a(交换律).‎ ‎(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).‎ ‎(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).‎ ‎[常用结论与易错提醒]‎ ‎1.设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a＝a·e＝|a|cos θ.‎ ‎2.当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝a2或|a|＝.‎ ‎3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量.‎ ‎4.两个向量的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b＜0，反之也不成立.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列说法的正误.‎ ‎(1)两个向量的夹角的范围是.(　　)‎ ‎(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.(　　)‎ ‎(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(　　)‎ ‎(4)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角.(　　)‎ ‎(5)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　)‎ 解析　(1)两个向量夹角的范围是[0，π].‎ ‎(4)若a·b>0，a和b的夹角可能为0；若a·b<0，a和b的夹角可能为π.‎ ‎(5)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等.‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×‎ ‎2.(2019·北京昌平区二模)在平行四边形ABCD中，AB∥CD，＝(2，－2)，＝(2，1)，则·＝(　　)‎ A.－3 B.2 ‎ C.3 D.4‎ 解析　在平行四边形ABCD中，AB∥CD，＝(2，－2)，＝(2，1)，＝＋＝(4，－1)，＝－＝(0，－3)，‎ 则·＝4×0＋(－1)×(－3)＝3.‎ 答案　C ‎3.(必修4P104例1改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a 方向上的投影为________.‎ 解析　由数量积的定义知b在a方向上的投影为 ‎|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.‎ 答案　－2‎ ‎4.(2019·北京卷)已知向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝________.‎ 解析　∵a⊥b，∴a·b＝0.又∵a＝(－4，3)，b＝(6，m)，‎ ‎∴－4×6＋3m＝0，解得m＝8.‎ 答案　8‎ ‎5.(2019·北京朝阳区二模)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＝(　　)‎ A.3 B. ‎ C.7 D. 解析　|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos ＝1＋4＋2×1×2×＝3，所以|a＋b|＝.‎ 答案　B ‎6.已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)，|b|＝1，且a＋b与a－2b垂直，则向量a·b＝________；a与b的夹角θ的余弦值为________.‎ 解析　∵(a＋b)⊥(a－2b)，∴(a＋b)·(a－2b)＝0，‎ 即|a|2－a·b－2|b|2＝0，∴5－a·b－2＝0，‎ ‎∴a·b＝3，∴cos θ＝＝.‎ 答案　3　 考点一　平面向量的数量积运算 ‎【例1】 (1)(一题多解)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)‎ A.－ B. ‎ C. D. ‎(2)(2019·天津卷)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.‎ 解析　(1)法一　如图所示，根据已知得，＝，所以＝＋＝＋，＝－，‎ 则·＝·(－)‎ ‎＝·－2＋2－· ‎＝2－2－·＝－－×1×1×cos 60°＝.故选B.‎ 法二　建立如图所示的平面直角坐标系.‎ 则B，C，A，所以＝(1，0).‎ 易知|DE|＝|AC|，∠FEC＝∠ACE＝60°，‎ 则|EF|＝|AC|＝，‎ 所以点F的坐标为，‎ 则＝，‎ 所以·＝·(1，0)＝.‎ ‎(2)如图，∵E在线段CB的延长线上，∴EB∥AD.‎ ‎∵∠DAB＝30°，∴∠ABE＝30°.‎ ‎∵AE＝BE，∴∠EAB＝30°.‎ 又∵AB＝2，∴BE＝2.‎ ‎∵AD＝5，∴＝.‎ ‎∴＝＋＝－.‎ 又∵＝－，‎ ‎∴·＝(－)· ‎＝·－2－2＋· ‎＝||·||·cos 30°－×52－(2)2‎ ‎＝×5×2×－10－12＝21－22＝－1.‎ 答案　(1)B　(2)－1‎ 规律方法　(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.‎ ‎(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.‎ ‎【训练1】 (1)(2019·全国Ⅱ卷)已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　)‎ A.－3 B.－2 ‎ C.2 D.3‎ ‎(2)(一题多解)已有正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________.‎ 解析　(1)因为＝－＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1，0)，‎ 所以·＝2×1＋3×0＝2.‎ ‎(2)法一　如图，·＝(＋)·＝·＋·＝2＝1，‎ ·＝(＋)· ‎＝·＋· ‎＝·＝||·||≤||2＝1.‎ 法二　以A为坐标原点，以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，‎ 则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，‎ 设E(t，0)，t∈[0，1]，‎ 则＝(t，－1)，＝(0，－1)，‎ 所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因为＝(1，0)，‎ 所以·＝(t，－1)·(1，0)＝t≤1，‎ 故·的最大值为1.‎ 法三　由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，‎ ‎∴·＝||·1＝1.‎ 当E运动到B点时，在方向上的投影最大即为DC＝1，‎ ‎∴(·)max＝||·1＝1.‎ 答案　(1)C　(2)1　1‎ 考点二　平面向量的夹角与垂直、模的计算 ‎【例2】 (1)(一题多解)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　)‎ A.a⊥b B.|a|＝|b|‎ C.a∥b D.|a|＞|b|‎ ‎(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________.‎ ‎(3)已知平面向量a与b的夹角等于，若|a|＝2，|b|＝3，则|2a－3b|＝(　　)‎ A. B. C.57 D.61‎ 解析　(1)法一　∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.‎ ‎∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.‎ ‎∴a·b＝0.∴a⊥b.‎ 法二　利用向量加法的平行四边形法则.‎ 在▱ABCD中，设＝a，＝b，‎ 由|a＋b|＝|a－b|知||＝||，‎ 从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.‎ ‎(2)∵2a－3b与c的夹角为钝角，∴(2a－3b)·c<0，‎ 即(2k－3，－6)·(2，1)<0，解得k＜3.‎ 又若(2a－3b)∥c，‎ 则2k－3＝－12，即k＝－.‎ 当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，‎ 即2a－3b与c反向.‎ 综上，k的取值范围为∪.‎ ‎(3)由题意可得a·b＝|a|·|b|cos＝3，‎ 所以|2a－3b|＝＝＝＝，故选B.‎ 答案　(1)A　(2)∪　(3)B 规律方法　(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，cos θ＝(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.‎ ‎(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角.‎ ‎(3)计算向量的模：①当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；②利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；③几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.‎ ‎【训练2】 (1)(2019·全国Ⅲ卷)已知向量a＝(2，2)，b＝(－8，6)，则cos〈a，b ‎〉＝________.‎ ‎(2)(2020·杭州质检)已知正三角形ABC的边长为2，设＝2a，＝b，则(　　)‎ A.|a＋b|＝1 B.a⊥b C.a·b＝1 D.(4a＋b)⊥b ‎(3)(2019·浙江十校联盟适考)|a|＝2|b|＝2，a·b＝－1，b⊥(ta＋b)(t∈R)，则|a＋2b|＝________，t＝________.‎ 解析　(1)∵a＝(2，2)，b＝(－8，6)，‎ ‎∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，‎ ‎|a|＝＝2，|b|＝＝10.‎ ‎∴cos〈a，b〉＝＝＝－.‎ ‎(2)设AB的中点为点D，则由＝2a，得a＝，因为△ABC是边长为2的等边三角形，所以||＝1，||＝2，向量与向量的夹角为120°，所以|a＋b|＝||＝，A错误；a·b＝||·||cos 120°＝－1，所以向量a与向量b不垂直，B，C错误；(4a＋b)·b＝4||·||cos 120°＋||2＝－4＋4＝0，所以(4a＋b)⊥b，D正确.‎ ‎(3)由题意得|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝4＋4×(－1)＋4×1＝4，所以|a＋2b|＝2，由b⊥(ta＋b)得b·(ta＋b)＝ta·b＋|b|2＝－t＋1＝0，解得t＝1.‎ 答案　(1)－　(2)D　(3)2　1‎ 考点三　向量与三角函数的交汇 ‎【例3】 设向量a＝(2sin x，－cos x)，b＝(cos x，2cos x)，f(x)＝a·b＋1.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若方程f(x)＝|t2－t|(t∈R)无实数解，求t的取值范围.‎ 解　(1)因为f(x)＝a·b＋1＝2sin xcos x－2cos2x＋1‎ ‎＝sin 2x－cos 2x＝2sin，‎ 故f(x)的最小正周期为π.‎ ‎(2)若方程f(x)＝|t2－t|无实数解，‎ 则|t2－t|>f(x)max＝2，所以t2－t>2或t2－t<－2，‎ 由t2－t>2，解得t>2或t<－1；‎ 由t2－t＋2＝＋>0，‎ 故不等式t2－t<－2无实数解，‎ 所以t的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).‎ 规律方法　此类问题一般通过向量的运算转化为三角函数问题解决.‎ ‎【训练3】 已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(－，)，x∈[0，π].‎ ‎(1)若a⊥b，求x的值；‎ ‎(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.‎ 解　(1)由题意得－cos x＋sin x＝0，‎ 所以tan x＝，又x∈[0，π]，所以x＝.‎ ‎(2)f(x)＝a·b＝－cos x＋sin x ‎＝2sin，‎ 因为x∈[0，π]，所以x－∈，‎ 即f(x)的最大值为2，此时x－＝，于是x＝；‎ f(x)的最小值为－，此时x－＝－，于是x＝0.‎ 基础巩固题组 一、选择题 ‎1.(一题多解)(2020·武汉调研)设向量a＝(1，－2)，b＝(0，1)，向量λa＋b与向量a＋3b垂直，则实数λ＝(　　)‎ A. B.1 ‎ C.－1 D.－ 解析　法一　因为a＝(1，－2)，b＝(0，1)，所以λa＋b＝(λ，－2λ＋1)，a＋3b＝(1，1)，由已知得(λ，－2λ＋1)·(1，1)＝0，所以λ－2λ＋1＝0，解得λ＝1，故选B.‎ 法二　因为向量λa＋b与向量a＋3b垂直，所以(λa＋b)·(a＋3b)＝0，‎ 所以λ|a|2＋(3λ＋1)a·b＋3|b|2＝0，因为a＝(1，－2)，b＝(0，1)，‎ 所以|a|2＝5，|b|2＝1，a·b＝－2，所以5λ－2(3λ＋1)＋3×1＝0，解得λ＝1，故选B.‎ 答案　B ‎2.(2020·广州综测一)若等边三角形ABC的边长为1，点M满足＝＋2，则·＝(　　)‎ A. B.2 ‎ C.2 D.3‎ 解析　因为＝＋2，所以＝－＝－－2＝－－，＝－＝－－2＝－2，·＝(－－)·(－2)＝22＋2·＝2＋2×1×1×＝3，选D.‎ 答案　D ‎3.(2019·北仑中学模拟)设向量a，b满足：|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝0，则a与b的夹角是(　　)‎ A.30° B.60° ‎ C.90° D.120°‎ 解析　设a与b的夹角为θ，因为|a|＝1，|b|＝2，a(a＋b)＝0，所以a2＋a·b＝1＋2cos θ＝0，即cos θ＝－，因为0°＜θ＜180°，所以a与b的夹角θ＝120°，故选D.‎ 答案　D ‎4.(2020·北京延庆区模拟)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若2＋＋＝0，且||＝||，则·＝(　　)‎ A. B. ‎ C.3 D.2 解析　∵2＋＋＝0，∴＝－，故点O是BC的中点，且△ABC为直角三角形，又△ABC外接圆半径为1，||＝||，所以BC＝2，CA＝，∠BCA＝30°，∴·＝||·||cos 30°＝2××＝3.‎ 答案　C ‎5.(2019·北京平谷区监控)设a，b是非零向量，则“|a－b|＝|a|＋|b|”是“a∥b”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由“|a－b|＝|a|＋|b|”平方得|a|2－2a·b＋|b|2＝|a|2＋2|a|·|b|＋|b|2，‎ 即－a·b＝|a|·|b|，‎ 则|a|·|b|cos〈a，b〉＝－|a|·|b|，‎ 即cos〈a，b〉＝－1，即〈a，b〉＝180°，此时a∥b成立，充分性成立，‎ 若〈a，b〉＝0°时，满足a∥b，且－a·b＝|a|·|b|不成立，即必要性不成立，‎ 即“|a－b|＝|a|＋|b|”是“a∥b”的充分不必要条件.‎ 答案　A ‎6.已知不共线的两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|2a－b|，则(　　)‎ A.|a|<2|b| B.|a|>2|b|‎ C.|b|<|a－b| D.|b|>|a－b|‎ 解析　设向量a，b的夹角为θ，则由|a＋b|＝|2a－b|得(a＋b)2＝(2a－b)2，即|a|2＋2|a||b|cos θ＋|b|2＝4|a|2－4|a||b|cos θ＋|b|2，化简得|a|＝2|b|cos θ，因为向量a，b不共线，所以cos θ∈(0，1)，所以|a|<2|b|，故选A.‎ 答案　A 二、填空题 ‎7.(2019·长沙二模)已知两个单位向量a和b的夹角为120°，则a＋b在b方向上的投影为________.‎ 解析　因为(a＋b)·b＝a·b＋|b|2＝，‎ 所以a＋b在b方向上的投影为＝.‎ 答案　 ‎8.(2020·北京朝阳区期末)已知四边形的顶点A，B，C，D在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则·＝________.‎ 解析　如图，以A为坐标原点，以AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，2)，C(7，0)，D(3，－2)，‎ ‎∴＝(7，0)，＝(1，4)，∴·＝7×1＋0×4＝7.‎ 答案　7‎ ‎9.如图，四个边长为1的正方形排成一个正方形，AB是大正方形的一条边，Pi(i＝1，2，…，7)是小正方形的其余的顶点，则·i(i＝1，2，…，7)的不同值的个数为________.‎ 解析　由数量积的定义及投影知识解决.∵·＝||·||cos〈，〉＝2·0，或2·1，或2·2，∴有3个不同的值.‎ 答案　3‎ ‎10.(2019·全国Ⅲ卷)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________.‎ 解析　由题意得cos〈a，c〉＝ ‎＝＝＝.‎ 答案　 ‎11.在同一个平面内，向量，，的模分别为1，2，3，与的夹角为α，且cos α＝，与的夹角为60°，若＝m＋n(m，n∈R)，则m＋3n＝________.‎ 解析　由＝m＋n得||2＝m·＋n·，即32＝m×1×3cos α＋n×2×3cos 60°，化简得m＋3n＝9.‎ 答案　9‎ 三、解答题 ‎12.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，‎ ‎(1)求a与b的夹角θ；‎ ‎(2)求|a＋b|；‎ ‎(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积.‎ 解　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，‎ ‎∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.‎ 又|a|＝4，|b|＝3，‎ ‎∴64－4a·b－27＝61，‎ ‎∴a·b＝－6.∴cos θ＝＝＝－.‎ 又0≤θ≤π，∴θ＝.‎ ‎(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2‎ ‎＝42＋2×(－6)＋32＝13，‎ ‎∴|a＋b|＝.‎ ‎(3)∵与的夹角θ＝，‎ ‎∴∠ABC＝π－＝.‎ 又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，‎ ‎∴S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3.‎ ‎13.已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π].‎ ‎(1)若a∥b，求x的值；‎ ‎(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.‎ 解　(1)∵a∥b，∴3sin x＝－cos x，‎ ‎∴3sin x＋cos x＝0，‎ 即sin＝0.‎ ‎∵0≤x≤π，∴≤x＋≤π，‎ ‎∴x＋＝π，∴x＝.‎ ‎(2)f(x)＝a·b＝3cos x－sin x＝－2sin.‎ ‎∵x∈[0，π]，∴x－∈，‎ ‎∴－≤sin≤1，‎ ‎∴－2≤f(x)≤3，‎ 当x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最大值3；‎ 当x－＝，即x＝时，f(x)取得最小值－2.‎ 能力提升题组 ‎14.(2017·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则(　　)‎ A.I1＜I2＜I3 B.I1＜I3＜I2‎ C.I3＜I1＜I2 D.I2＜I1＜I3‎ 解析　如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AOI3，作AG⊥BD于G，‎ 又AB＝AD，‎ ‎∴OB·，‎ 即I1>I3.∴I3