广东省2021届高三上学期调研考试数学试题 Word版含答案 11页

1 广东省 2021 届高三年级上学期调研考试 数 学 考生注意： 1．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试 卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的． 1．已知集合 }1,0,1,2{ A ，集合 }13|{  xxB ，则 BA 中元素的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 2．复数 iz 21 2  在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．“一世”又叫“一代”，东汉王充《论衡·宜汉篇》：“且孔子所谓一世，三十年也”，清代段玉裁《说 文解字注》：“三十年为一世，按父子相继日世”．据国际一家研究机构的研究得到企业寿命的频 率分布表为 家族企业寿命（年） [0,22] [22,44] [44,66] [66,88] 频率 54% 28% 14% 4% 则全球家族企业的平均寿命大约有 A．25 年 B．26 年 C．27 年 D．28 年 4．人们通常以分贝（符号是 dB）为单位来表示声音强度的等级，强度为 x 的声音对应的等级为 210lg10)(  xxf (dB)．装修房屋时电钻的声音约为 100dB，室内正常交谈的声音约为 60dB， 则装修房屋时电钻的声音强度是室内正常交谈的声音强度的( )倍 A． 410 B． 4e C．4 D． 3 5 5．已知 2)12tan(   ，则  )3tan(  A．3 B． 3 1 C．－3 D． 3 1 6．在矩形 ABCD 中， 4AB ， PAC ,2 为矩形 ABCD 所在平面上一点，满足 PCPA  ，则 || PD 的最大值为 A． 52 B．4 C． 5 D．2 2 7．已知双曲线 )0,0(12 2 2 2  bab y a x 的右焦点为 F ，过点 F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂 足为 E ，若 OOEEF (3 为坐标原点），则双曲线的离心率为 A． 5 B． 22 C． 10 D． 32 8．已知偶函数 )(xf 在 ),0[  上单调递增，则 A． )2()10(log)2 3log3( 2 1 2 12   fff B． )10(log)2 3log3()2( 2 12 2 1 fff  C． )2()2 3log3()10(log 2 1 2 2 1   fff D． )2 3log3()2()10(log 2 2 1 2 1   fff 二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分． 9．若 011  ba ，则下列正确的选项为 A． ba 22  B． 33 ba  C． aba 2 D． 1ln ab 10．设 ba, 为两条不重合的直线， , 为两个不重合的平面，则下列命题中，真命题的是 A．若  //,// ba ，则 ba // B．若   aba ,, ，则 b C．若   ba , ，则 ba // D．若   ,, ba ，则 ba  11．设抛物线 )0(2: 2  ppxyC 的焦点为 F ，准线为 Al, 为 C 上一点，以 F 为圆心， || FA 为半 径的圆交l 于 DB, 两点，若  90ABD ，且 ABF 的面积为 39 ，则 A． 3|| BF B． ABF 是等边三角形 C．点 F 到准线的距离为 3 D．抛物线 C 的方程为 xy 62  12．下列四个命题正确的是 A．函数 1sin sinsin2   x xxy 是奇函数； B．当     2,0 x 时，函数       62cos2)( xxf 的最大值为 3 C ． 已 知 定 义 域 为 R 的 函 数 2 |cossin| 2 cossin)( xxxxxf  ， 当 且 仅 当   kxk 22 )(2 Zk  时， 0)( xf 成立； D．函数 ),(sin 2sin)( 2 2 Zkkxxxxf   的最小值 3． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13． 6) 2 1( x x  的展开式中常数项是 （用数字作答）． 14．在等差数列 }{ na 中，已知 952  aa ，则 42 3aa  = . 15．函数 3)1(3 22)( 23  xaaxxxf 既有极大值又有极小值，则实数 a 的取值范围为 . 3 16．已知 CBAP ,,, 是球O 的球面上四点，其中平面 ABC 过球心 ABCO , 为边长为 2 的正三角形， 平面 PAB 平面 ABC ，则棱锥 ABCP  的体积的最大值为 ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分） 在 ABC 中，角 CBA ,, 的对边分别为 .coscoscos,,, CB cb A acba   (1)求角 A ； (2)若 ABCc  ,6 的面积为 33 ，求 a 的值． 18．（12 分） 已知数列 }{ na 是公差大于 0 的等差数列， 21 a ，且 4,,2 643  aaa 成等比数列． (1)求数列 }{ na 的通项公式； (2)设 12  n n n ab ，求数列 }{ nb 的前 n 项和 .nS 19．（12 分） 《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目，是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机 构为了了解学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某高中 200 名学生进行了问卷调查，得到如 下 2×2 列联表： 喜欢《最强大脑》不喜欢《最强大脑》 合计 男生 70 女生 30 合计 已知在这 200 名学生中随机抽取 1 人抽到喜欢《最强大脑》的概率为 0.6． (1)判断是否有 90%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关？ (2)从上述不喜欢《最强大脑》的学生中用分层抽样的方法抽取 8 名学生，再在这 8 人中抽取 3 人调查其喜欢的节目类型，用 X 表示 3 人中女生的人数，求 X 的分布列及数学期望. 参考公式及数据： ))()()(( )( 2 2 dbcadcba bcadnK   P (K2 ≥ k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 k0 0.46 0.71 1.32 2.07 2.71 3.84 5.024 6.635 7.879 10.828 4 20．（12 分） 如图，在直三棱柱 111 CBAABC  中，底面是边长为 4 的等边三角形， EDCFFC ,,2221  为 11, CAAC 的中点． (1)求证：平面 BDF 平面 DEF ； (2)求二面角 FBED  的余弦值． 21．（12 分） 已知椭圆 )0(1: 2 2 2 2  bab y a xC 短轴长为 2，F 是C 的左焦点， BA， 是C 上关于 x 轴对称 的两点， ABF 周长的最大值为 8． (1)求椭圆C 的标准方程； (2)斜率为 k 且不经过原点O 的直线l 与椭圆C 交于 NM , 两点，若直线 ONOM , 的斜率分别为 21, kk ，且 21 2 kkk  ，求直线l 的斜率，并判断 22 |||| ONOM  的值是否为定值？若为定值，试求 出此定值；否则，说明理由． 22．（12 分） 设函数 ).(1)( Raaxaxexf x  (1)若 1a ，求函数 )(xf 的图象在 ))1(,1(  f 处的切线方程； (2)若不等式 xxf ln)(  在区间      ,1 e 上恒成立，求 a 的取值范围． 5 数学参考答案 1．C }0,1,2{ BA  2．D 5 42 )21)(21( )21(2 21 2 i ii i iz   3．B 家族企业的平均寿命为 0.54×11+0.28×33+0.14×55+0.04×77=26 4．A 由   ,10lg10)( 2 xxf 当 100y 时，可得 810x ；当 60y 时，可得 410x ， 装修房屋时电钻的声音强度是室内正常交谈的声音强度的 4 4 8 1010 10  5．D 3 1 4tan)12tan(1 4tan)12tan( )412tan()3tan(       6．A  ,PCPA 点 P 的轨迹是以 AC 为直径的圆，又 52,52 max 22  PDACABAC 7．C 由题知， b ba bcEF    22 ，又 ababcEFOFOEcOF 3,, 2222  ， 故双曲线的离心率为 10)(1 2  a be 8 ． C )(xf 为 偶 函 数 ， 在 ),0[  上 单 调 递 增 ， 故 在 ]0,( 上 单 调 递 减． 310log|10log| 2 2 1  ， 2 22 2 1  ， )3,2(3log4)13(log32 3log3 222  ， 1122 3log3|10log| 2 1 2 2 1   ， )2()2 3log3()10(log 2 1 2 2 1   fff 9．AC 由题意有 .0 ab 10．CD 11．BCD 12 ． BCD A 中 函 数 定 义 域 关 于 原 点 不 对 称 ， 所 以 A 错 误 ； 当     2,0 x 时 ，     6 7,662 x ，由余弦函数图象可知       62cos2)( xxf 的值域是 ]3,2[ 所以 B 正 确 ； 当 0cossin  xx 时 ， xxxxxxf cos2 cossin 2 cossin)(  ； 当 6 )(2242 Zkkxk   时 ， 0)( xf ； 当 0cossin  xx 时 ， xxxxxxf sin2 sincos 2 cossin)(  ，当 )(422 Zkkxk   时， 0)( xf ， 综上， )(222 Zkkxk   时， 0)( xf ，所以 C 正确．设 )10(,sin2  txt ， tttg 2)(  ， 021)(' 2  ttg ，所以函数 )(tg 在 ]1,0( 上单调递减，所以函数的最小 值为 3)1( g ，所以 D 正确． 13． 16 15 rxC x xCT rrrrr r 2 3)2 1() 2 1( 6 6 6 61    ，令 02 36  r ，则  ,4r 常数项 为 16 15)2 1( 44 6 C 14．18 952  aa ， 9525 111  dadada ，  1114142 4)3(333 adadaadaaa 1810 d 15． 1a 或 2 1a 题意可得 )1(3 243)(' 2  aaxxxf ，函数 )(xf 既有极大值又有 极 小 值 ， 则 一 元 二 次 方 程 0)1(3 243 2  aaxx 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 即 0)1(3 234)4( 2  aa ，解得 1a 或 2 1a 16． 3 3 如图，平面 PAB 平面 ,ABC 点 P 在平面 ABC 上的射 影 H 落在 AB 上，根据球体的对称性可知，当 P 在最高点，即 H 为 AB 中点时， PH 最大，棱锥 ABCP  的体积最大. ABC 是边长为 2 的正三角形，球的半径 3 32 3 2  CHOCr ．在 PHORt 中， OSOCOH 2 1 2 1  ， 30 HPO ，  ,130cos OPPH 体积  ShV 3 1 .3 3124 3 3 1 2  17．解：(1)由正弦定理及 CB cb A a coscoscos   ，得 CB CB A A coscos sinsin cos sin   ，………2 分 CABACABA sincossincoscossincossin  ，即 ACACBABA sincoscossinsincoscossin  ， ).sin()sin( ACBA  …………………………4 分 7 ),0(,, CBA ， ACBA  ，即 3,2  ACBA . …………………………6 分 (2) 2,332 362 1sin2 1  bbAbcS ABC . ………………………8 分 .72,28cos2222  aAbccba ……………………………10 分 18．解：(1)设数列 }{ na 的公差为 0, dd ， 21 a ，且 4,,2 643  aaa 成等比数列， )4)(2( 63 2 4  aaa ，即 )45)(22()3( 11 2 1  dadada ，…………………3 分 解得 6d （舍）或 2d ，……………………………4 分 ndnaan 2)1(1  . ………………………5 分 (2)由(1)可知 nn n n nab 22 1   ， 数列 }{ nb 的前 n 项和 nn nS 22 3 2 2 2 1 321   ，………………………7 分 1432 22 3 2 2 2 1 2 1  nn nS  ， ……………………9 分 相减得 1321 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1  nnn nS  ， ……………………………11 分 11 22 112 1 2 11 ))2 1(1(2 1      nnn n n ， nn nS 2 22  . ………………………………12 分 19．解：(1)由 200×0.6=120 及已知数据知满足题意的 2×2 列联表如下表所示： 喜欢《最强大脑》 不喜欢《最强大脑》 合计 男生 70 50 120 女生 50 30 80 合计 120 80 200 ………………………2 分 由列联表中数据，得到 71.2347.08012080120 )50503070(200 2 2  K . ………………5 分 因此没有 90%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关；………………………6 分 (2)由题意知，从不喜欢《最强大脑》的学生中用分层抽样的方法抽取 8 名学生，其中 女生有 3 人，男生有 5 人，随机变量 X 的取值可能为 0，1，2，3，……………………7 分 8 28 5)0( 3 8 3 5  C CXP ， 28 15)1( 3 8 1 3 2 5  C CCXP ， 56 15)2( 3 8 2 3 1 5  C CCXP ， 56 1)3( 3 8 3 3  C CXP . …………………………11 分 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 28 5 28 15 56 15 56 1 8 9 56 1356 15228 15128 50 EX . . …………………………12 分 20．解：(1)证明：三棱柱 111 CBAABC  为直三棱柱，  1AA 平面 .ABC BD 平面 ., 1 BDAAABC  ……………………………2 分 ABC 为等边三角形， D 为 AC 中点， .ACBD  又  BDAACAA ,1  平面 11AACC . ……………………………3 分 BD 平面 BDF ，平面 BDF 平面 DEF ，…………………………5 分 (2)以 D 为坐标原点， DEDCDB 、、 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角 坐标系，则 )0,0,0(D ， )0,0,32(B ， )0,2,0(C ， )23,0,0(E ， ,2,0(F )2 ， …………………………………7 分 设平面 BEF 的法向量为 ),,( zyxm  ，则 )23,0,32(BE ， )22,2,0( EF ， 由      0222 02332 zymEF zxmBE ，令 3x ，可得 2,2  yz ， 则 ).2,2,3(m ………………………9 分 DC 平面 ,BDE 平面 BDE 的一个法向量为 )0,2,0(DC ， 3 2 92 4 |||| ,cos    DCm DCmDCm . ………………………11 分 由图知，二面角 FBED  的平面角为锐角， 二面角 FBED  的余弦值为 3 2 . …………………………12 分 21．解：(1)设 AB 与 x 轴的交点为 H ，右交点为 2F . 9 由题意 |||| 2AFAH  ，则 aAFAFAHAF 2|||||||| 211  ，…………………2 分 当 AB 过右焦点 2F 时， ABF 周长取最大值 2,84  aa ， 且 1b ，…………………………3 分 椭圆C 的标准方程为 14 2 2  yx ，………………………………4 分 (2)设直线l 的方程为 )0(  mmkxy ， ),( 11 yxM ， ),( 22 yxN ， 由      mkxy yx 14 2 2 ，得 0)1(48)41( 222  mkmxxk ， 221 41 8 k kmxx   ， 2 2 21 41 )1(4 k mxx   . ……………………………6 分 由题知 21 2 212 21 21 21 21 21 2 )())(( xx mxxkmkxx mkxmkx xx yykkk  ， 0)( 2 21  mxxkm ， 041 8 2 2 22   mk mk . …………………………8 分 .4 1,0 2  km 此时 22 2 2 21 4)41 8()( mk kmxx   ， )1(241 )1(4 2 2 2 21   mk mxx ， 则 4141|||| 2 22 2 2 12 1 2 2 2 2 2 1 2 1 22 xxxxyxyxONOM  52)]1(44[4 32]2)[(4 32)(4 3 22 21 2 21 2 2 2 1  mmxxxxxx ，…………11 分 故直线l 的斜率为 2 1k ， 5|||| 22  ONOM . ……………………12 分 22．解(1)当 1a 时， 1)(  xxexf x ， 1)1()('  xexxf ，……………………2 分 又 ef 1)1(  ， 1)1(' f ， )1(1  xey ，…………………………3 分 即函数 )(xf 的图象在 ))1(,1(  f 处的切线方程为 exy 11 . ……………………4分 (2)当 1x 时， 01 aae ， .1 1  ea )(i 当 11 1  ae 时，令 )1(1ln)1()( exxeaxxH x  ，……………………6 分 10 则 .1)1(1)1(1)1()(' x xexax axexaaxexaxH x xx  令 )1(1)( exxexR x  ，则 0)1()('  xexxR ，又 01      eR ， 0)1( R ，所以存在 ，使得当 时， 0)( xR ，所以当 时， 0)(' xH 即 )(xH 在 上单调递减，所以 0)1(11)( 1      eeeaeHxH ， 这与题意矛盾． ………………………8 分 )(ii 当 1a 时，“不等式 xxf ln)(  在区间      ,1 e 上恒成立”等价于“不等式 01ln  xxxex 在区间      ,1 e 上恒成立.” 令       exxxxexF x 11ln)( ，即“不等式 0)( xF 在区间      ,1 e 上恒成立”． )1(111)1()('  xx xex x xexxF ，令 1)(  xxexG ， 则       exexxG x 1)1()(' ．………………………9 分 因为当 ex 1 时， 0)1()('  xexxG ，所以函数 )(xG 在区间      ,1 e 上单调递增， 所以函数 )(xG 在区间      ,1 e 上最多有一个零点. 又因为 .01)1(,0111 1      eGeeeG e 所以存在唯一的      1,1 ec ，使得 .0)( cG ……………………………10 分 当      cex ,1 时， 0)( xG ；当 ),(  cx 时， 0)( xG ， 即当      cex ,1 时， 0)(' xF ；当 ),(  cx 时， 0)(' xF ， 11 所以函数 )(xF 在区间      ce ,1 上单调递减，在区间 ),( c 上单调递增， 从而 .1ln)()(  cceccFxF c ……………………11 分 由 0)( cG ，得 01 cec ，即 1 cec ，两边取对数得 0ln  cc ， 所以 000)(ln)1(1ln)(  cceccceccF cc ， 所以 0)()(  cFxF ，即 0)( xF ， 所以不等式 xxf ln)(  在区间 ),0(  上恒成立. 所以 a 的取值范围为 1a . ………………………12 分