2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5 45页

第 2 课时　函数 y=Asin(ωx+ φ )( 二 ) 必备知识 · 自主学习 导思 1. 怎样画出 y=Asin(ωx+ φ ) 型函数在一个周期上的图象？ 2. 根据 y=Asin(ωx+ φ ) 型函数的图象，怎样求函数的解析式？ 1.“ 五点法”画函数 y=Asin(ωx+ φ )(A≠0 ， ω>0) 在一个周期上的简图的方法： (1) 列表： x ωx+ φ 0 π 2π y 0 A 0 -A 0 (2) 描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点： (3) 连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来 . ① 本质：把 ωx+ φ 看作一个整体，整体替换正弦曲线中的 x. ② 应用：解决与 y=Asin(ωx+ φ ) 相关的单调性，值域，图象等问题 . 【 思考 】 作出函数 y=Asin(ωx+ φ ) 一个周期上的图象后，怎样推广到整个定义域？ 提示： 作出一个周期上函数图象后，根据周期函数的性质，将图象左右平移，得到整个定义域上函数的图象 . 2. 函数 y=Asin(ωx+ φ )(A>0 ， ω>0) 的性质 定义域 R 值域 周期 单调性 由 2kπ- ≤ωx+ φ ≤2kπ+ ， k∈Z ，解得 单调递增区间； 由 2kπ+ ≤ωx+ φ ≤2kπ+ ， k∈Z ，解得 单调递减区间 . 　 【 思考 】 求函数 y=Asin(ωx+ φ )(A≠0) 的单调区间应注意什么？ 提示： 对于 y=Asin( ω x+ φ ) 的单调性而言， A 与 ω 的正负影响单调性，如果 ω <0 ，可以利用诱导公式 sin(- α )=-sin α 将负号转化到函数符号外，再求相应单调区间 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”，错的打“ ×”) (1) 函数 y= sin(ωx+ φ )(ω≠0) 的值域为 . ( 　　 ) (2) 函数 y=Asin(ωx+ φ ) ， ω>0 ， x∈R 的最大值是 A. ( 　　 ) (3) 函数 f(x)=sin 的对称轴方程是 x= . ( 　　 ) 提示： (1)√. 因为 A= ，定义域为 R ，所以值域为 (2) × . 当 A 为负数时，函数的最大值为 -A. (3) × .f(x)=sin 的对称轴方程是 x= +k π ， k∈Z. 2.( 教材二次开发：例题改编 ) 利用“五点法”作函数 y=sin x 的图象时，所取 的五个点的横坐标为 ( 　　 ) 【 解析 】 选 C. 令 x=0 ， 2 π 得 x=0 ， π ， 2 π ， 3 π ， 4 π . 3. 函数 y=Asin(ωx+ φ )+1(A>0 ， ω>0) 的最大值为 5 ，则 A= ( 　　 ) A.5 B.-5 C.4 D.-4 【 解析 】 选 C. 由已知得函数的最大值为 A+1=5 ，故 A=4. 关键能力 · 合作学习 类型一　求作函数 y=Asin(ωx+ φ ) 的图象 ( 直观想象 ) 【 典例 】 用“五点法”画函数 y=2sin 在一个周期内的简图 . 【 思路导引 】 列表、描点、连线、成图是“五点法”作图的基本步骤，令 3x+ 取 0 ， ， 2π 即可找到五点 . 【 解析 】 先画函数在一个周期内的图象 . 令 X=3x+ ， 则 x= ，列表如下： X 0 π 2π x y 0 2 0 -2 0 描点，连线得： 　 　 【 变式探究 】 本例中把“一个周期内”改为“ ”，又如何作图？ 【 解析 】 因为 x∈ 所以 3x+ 列表如下： 3x+ π 2π x 0 y 1 2 0 -2 0 1 描点，连线得： 　 【 解题策略 】 “ 五点法”作图的实质 利用“五点法”作函数 f(x)=Asin(ωx+ φ ) 的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象 . 类型二　根据图象求函数的解析式 ( 直观想象、逻辑推理 ) 【 典例 】 1. 函数 y=Asin(ωx+ φ ) 的部分图象如图所示，则 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin 2. 已知函数 y=Asin(ωx+ φ ) 的最小值是 -5 ，图象上相邻两个 最高点与最低点的横坐标相差 ，且图象经过点 ，则这个函数的解析式 为 _______.  【 思路导引 】 (1) 根据函数图象的最值，求 A. (2) 根据图象给出的函数的周期，求 ω. (3) 根据函数图象上的特殊点求 φ . 【 解析 】 1. 选 A. 由题图可知， A=2 ， T=2 = π ，所以 ω =2. 由函数经过 点 可知 2sin =2 ，所以 2 × + φ = ，所以 φ =- ，所以函数的 解析式为 y=2sin . 2. 由题意知 A=5 ， ， 所以 T= ，所以 ω =4 ， 所以 y=5sin(4x+ φ ). 又因为图象经过点 ，所以 =5sin φ ， 即 sin φ = ，所以 φ = +2k π (k∈Z) 或 φ = +2k π (k∈Z) ，又因为 0< φ < ， 所以 φ = ， 所以这个函数的解析式为 y=5sin . 答案： y=5sin 【 解题策略 】 根据函数的部分图象求解析式的方法 (1) 直接从图象确定 A 和 T ，则可确定函数解析式 y=Asin(ωx+ φ ) 中的参数 A 和 ω ，再选取特殊点，结合 φ 的范围求出 φ . (2) 将若干特殊点代入函数解析式，通过解方程组求相关待定系数 A ， ω ， φ . (3) 运用逆向思维的方法，先确定函数的基本函数解析式 y=Asin ωx ，再根据图象平移规律确定相关的参数 . 　 【 跟踪训练 】 1. 已知函数 y=Asin(ωx+ φ )+B 的一部分图象如图所示， 如果 A>0 ， ω>0 ， | φ |< ，则 ( 　　 ) A.A=4 B.ω=1 C. φ = D.B=4 2. 如图是函数 y=Asin(ωx+ φ ) 的图象的一部分，则此函数的解 析式为 _______.  【 解析 】 1. 选 C. 由图象可知， A+B=4 ， A-B=0 ， A=B=2 ， ， T= π ， ω = 2. 因为 2 × + φ = ，所以 φ = . 2. 由图象知 A=3 ， T= = π ， 所以 ω = =2 ， 所以 y=3sin(2x+ φ ). 因为点 在函数图象上， 所以由“五点法”作图得 - × 2+ φ =0 ， 所以 φ = . 答案： y=3sin 类型三　函数 y=Asin(ωx+ φ ) 性质的应用 ( 直观想象、数据分析 ) 　角度 1 　三角函数的对称性、对称中心  【 典例 】 已知函数 f(x)=sin (ω>0) 的最小正周期为 π ，则该函数的对称 轴为 _______ ，单调减区间为 _______.  【 思路导引 】 根据函数的最小正周期求出 ω 的值，确定函数的解析式，再根据 函数的解析式求出对称轴方程和单调减区间 . 【 解析 】 由 T= = π ，解得 ω =2 ， 则 f(x)=sin ，令 2x+ =k π + ， k∈Z ，得 x= ， k∈Z ，即对称轴 方程为 x= ， k∈Z. 又因为 +2k π ≤2x+ ≤ +2k π ， k∈Z ， 所以 +2k π ≤2x≤ +2k π ， k∈Z ， 所以 +k π ≤x≤ +k π ， k∈Z. 答案： x= ， k∈Z 　 【 变式探究 】 1.( 变问法 ) 本例中函数不变，则函数的对称中心为 _______.  【 解析 】 令 2x+ =k π ，得 x= (k∈Z). 所以该函数的对称中心为 (k∈Z). 答案： k∈Z 2.( 变条件 ) 若本例中函数变为 f(x)=cos ，则对称轴方程为 _______.  【 解析 】 令 =k π ， k∈Z ， 得 x=2k π - π ， k∈Z. 答案： x=2k π - ， k∈Z 　角度 2 　三角函数性质的综合应用  【 典例 】 已知函数 f(x)=sin(ωx+ φ )(ω>0 ， 0≤ φ <π) 是 R 上的偶函数，其图象 关于点 M 对称，且在区间 上是单调函数，求 φ 和 ω 的值 . 【 思路导引 】 先由奇偶性求 φ ，再由图象的对称性和单调性求 ω. 【 解析 】 由 f(x) 是偶函数，得 f(-x)=f(x) ，即函数 f(x) 的图象关于 y 轴对称， 所以 f(x) 在 x=0 时取得最值，即 sin φ =1 或 -1. 依题设 0≤ φ < π ，所以 φ = . 由 f(x) 的图象关于点 M 对称，可知 sin =0 ，即 =k π ，解得 ω = ， k∈Z. 又 f(x) 在 上是单调函数， 所以 T≥ π ，即 ≥ π . 所以 ω ≤2 ，又 ω >0 ， 所以当 k=1 时， ω = ；当 k=2 时， ω =2. 故 φ = ， ω =2 或 . 　 【 解题策略 】 1. 正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法 奇函数 偶函数 y=Asin(ωx+ φ ) φ =kπ ， k∈Z φ = +kπ ， k∈Z y=Acos(ωx+ φ ) φ = +kπ ， k∈Z φ =kπ ， k∈Z 2. 确定函数 y=Asin(ωx+ φ ) 单调区间的方法 (1) 采用“换元”法整体代换，将 ωx+ φ 看作一个整体，可令“ z=ωx+ φ ” ，即通过求 y=Asin z 的单调区间而求出函数的单调区间 . (2) 若 ω<0 ，则可利用诱导公式先将 x 的系数转变为正数，再求单调区间 . (3) 解题方法是整体代入法 . 【 题组训练 】 1. 已知函数 f(x)=2sin 的最小正周期为 π ，则函数 y=f(x) 在区间 上 的最大值和最小值分别是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 和 -2 B.2 和 0 C.2 和 -1 D. 和 - 【 解析 】 选 C. 由题知 = π ，得 ω =2 ， 所以函数 y=f(x)=2sin . 又因为 x∈ ，所以 2x- 所以 sin 所以 2sin 故函数 f(x) 的最大值为 2 ，最小值为 -1. 2. 函数 f(x)=cos(2x+ φ ) 的图象向右平移 个单位后得到的函数是奇函 数，则函数 f(x) 的图象 ( 　　 ) A. 关于点 对称 B. 关于直线 x=- 对称 C. 关于点 对称 D. 关于直线 x= 对称 【 解析 】 选 D. 将函数 f(x)=cos(2x+ φ ) 的图象向右平移 个单位后，可 得 y=cos 的图象，根据得到的函数是奇函数，可得 - + φ =k π + ， k∈Z ，又 | φ |< ，所以 φ =- ，所以 f(x)= . 令 x=- ，求得 f(x)=cos ，故排除 A ； 令 x=- ，求得 f(x)=cos =0 ，故排除 B ；令 x= ，求得 f(x)=cos 0=1 ， 为函数的最大值，排除 C. 3. 函数 f(x)=3sin 的图象为 C ，则以下结论中正确的是 _______.( 写出所有 正确结论的序号 )   ① 图象 C 关于直线 x= 对称； ②图象 C 关于点 对称； ③函数 f(x) 在区间 内单调递增； ④由 y=3sin 2x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C. 【 解析 】 f f =0 ， 故 ① 错， ② 正确 . 令 - +2k π ≤2x- ≤ +2k π ， k∈Z ， 解得 - +k π ≤x≤ π +k π ， k∈Z ，故 ③ 正确 . 函数 y=3sin 2x 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 y=3sin2 =3sin 的图象，故 ④ 错 . 答案： ②③ 课堂检测 · 素养达标 1. 函数 y=sin 的最小正周期是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B.π C.2π D.4π 【 解析 】 选 B.T= = π . 2. 若函数 f(x)=3sin(ωx+ φ ) 对任意 x 都有 f ，则有 =( 　　 ) A.3 或 0 B.-3 或 0 C.0 D.-3 或 3 【 解析 】 选 D. 由 f 知，直线 x= 是函数的对称轴，解得 =3 或 -3. 3.( 教材二次开发：习题改编 ) 已知函数 f(x)=Asin(ωx+ φ ) 的部分图象如图所示，则 φ 的值为 ( 　　 ) A.- B. C.- D. 【 解析 】 选 B. 由题意，得 ，所以 T= π ，由 T= ，得 ω =2 ，由题图可 知 A=1 ，所以 f(x)=sin(2x+ φ ). 又 f =0 ， - < φ < ，所以 φ = . 4. 若 x 1 = ， x 2 = 是函数 f(x)=sin ωx(ω>0) 两个相邻的最值点，则 ω= ( 　　 ) A.2 B. C.1 D. 【 解析 】 选 A. 由于 x 1 = ， x 2 = 是函数两个相邻的最值点，故 ，所 以 T= π ，即 ω = =2. 5. 在函数 y=2sin(ωx+ φ )(ω>0) 的一个周期上，当 x= 时，有最大值 2 ，当 x= 时，有最小值 -2 ，则 ω=_______.  【 解析 】 依题意知 所以 T= π ，又 T= = π ，得 ω =2. 答案： 2 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 函数 函数 的性质 对函数图象的影响 的物理意义 由图象求解析式 （ 1 ） A ：由图象上的最大值、最小值来确定； （ 2 ） 由周期来确定； （ 3 ） 由函数的最高点、最低点坐标确定，或者用“五点作图法”中的五点来确定 “ 五点作图法”如果给定区间，要注意对函数图象端点的处理 直观想象：通过函数图象求函数解析式，培养直观想象的核心素养