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- 2021-06-16 发布
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专题03 导数及其应用
1.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】函数的图像在点处的切线方程为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】,,,,
因此,所求切线的方程为,即.
故选:B.
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程,考查计算能力,属于基础题.
2.【2020年高考全国III卷理数】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切,则l的方程为
A.y=2x+1 B.y=2x+
C.y=x+1 D.y=x+
【答案】D
【解析】设直线在曲线上的切点为,则,
函数的导数为,则直线的斜率,
设直线的方程为,即,
由于直线与圆相切,则,
两边平方并整理得,解得,(舍),
则直线的方程为,即.
故选:D.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用,属于中档题.
3.【2020年高考北京】为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为,用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论:
①在这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
②在时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
③在时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;
④甲企业在这三段时间中,在的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是____________________.
【答案】①②③
【解析】表示区间端点连线斜率的负数,
在这段时间内,甲的斜率比乙的小,所以甲的斜率的相反数比乙的大,因此甲企业的污水治理能力比乙企业强;①正确;
甲企业在这三段时间中,甲企业在这段时间内,甲的斜率最小,其相反数最大,即在的污水治理能力最强.④错误;
在时刻,甲切线的斜率比乙的小,所以甲切线的斜率的相反数比乙的大,甲企业的污水治理能力比乙企业强;②正确;
在时刻,甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下,所以都已达标;③正确;
故答案为:①②③
【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用,考查基本分析识别能力,属中档题.
4.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时,f(x)≥x3+1,求a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时,f(x)=ex+x2–x,则=ex+2x–1.
故当x∈(–∞,0)时,<0;当x∈(0,+∞)时,>0.所以f(x)在(–∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.
(2)等价于.
设函数,则
.
(i)若2a+1≤0,即,则当x∈(0,2)时,>0.所以g(x)在(0,2)单调递增,而g(0)=1,故当x∈(0,2)时,g(x)>1,不合题意.
(ii)若0<2a+1<2,即,则当x∈(0,2a+1)∪(2,+∞)时,g'(x)<0;当x∈(2a+1,2)时,g'(x)>0.所以g(x)在(0,2a+1),(2,+∞)单调递减,在(2a+1,2)单调递增.由于g(0)=1,所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7−4a)e−2≤1,即a≥.
所以当时,g(x)≤1.
(iii)若2a+1≥2,即,则g(x)≤.
由于,故由(ii)可得≤1.
故当时,g(x)≤1.
综上,a的取值范围是.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.
5.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数.
(1)讨论f(x)在区间(0,π)的单调性;
(2)证明: ;
(3)设,证明:.
【解析】(1)
.
当时,;当时,.
所以在区间单调递增,在区间单调递减.
(2)因为,由(1)知,在区间的最大值为,
最小值为.而是周期为的周期函数,故.
(3)由于
,
所以.
6.【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设函数,曲线在点(,f())处的切线与y轴垂直.
(1)求B.
(2)若有一个绝对值不大于1的零点,证明:所有零点的绝对值都不大于1.
【解析】(1).
依题意得,即.
故.
(2)由(1)知,.
令,解得或.
与的情况为:
x
+
0
–
0
+
因为,所以当时,只有大于1的零点.
因为,所以当时,f(x)只有小于–1的零点.
由题设可知,
当时,只有两个零点和1.
当时,只有两个零点–1和.
当时,有三个等点x1,x2,x3,且,,.
综上,若有一个绝对值不大于1的零点,则所有零点的绝对值都不大于1.
7.【2020年高考天津】已知函数,为的导函数.
(Ⅰ)当时,
(i)求曲线在点处的切线方程;
(ii)求函数的单调区间和极值;
(Ⅱ)当时,求证:对任意的,且,有.
【解析】(Ⅰ)(i)当时,,故.可得,,所以曲线在点处的切线方程为,即.
(ii)依题意,.从而可得,整理可得.令,解得.
当变化时,的变化情况如下表:
1
-
0
+
↘
极小值
↗
所以,函数的单调递减区间为,单调递增区间为;的极小值为,无极大值.
(Ⅱ)证明:由,得.
对任意的,且,令,则
. ①
令.当时,,由此可得在单调递增,所以当时,,即.
因为,,
所以,
. ②
由(Ⅰ)(ii)可知,当时,,即,
故. ③
由①②③可得.所以,当时,对任意的,且,有.
8.【2020年高考北京】已知函数.
(Ⅰ)求曲线的斜率等于的切线方程;
(Ⅱ)设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为,求的最小值.
【解析】(Ⅰ)因为,所以,
设切点为,则,即,所以切点为,
由点斜式可得切线方程:,即.
(Ⅱ)显然,
因为在点处的切线方程为:,
令,得,令,得,
所以,
不妨设时,结果一样,
则,
所以
,
由,得,由,得,
所以在上递减,在上递增,
所以时,取得极小值,
也是最小值为.
【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程,考查了利用导数求函数的最值,属于中档题.
9.【2020年高考浙江】已知,函数,其中e=2.71828…是自然对数的底数.
(Ⅰ)证明:函数在上有唯一零点;
(Ⅱ)记x0为函数在上的零点,证明:
(ⅰ);
(ⅱ).
【解析】(Ⅰ)因为,,所以在上存在零点.
因为,所以当时,,故函数在上单调递增,
所以函数以在上有唯一零点.
(Ⅱ)(ⅰ)令,,
由(Ⅰ)知函数在上单调递增,故当时,,
所以函数在单调递增,故.
由得,
因为在单调递增,故.
令,,
令,,所以
故当时,,即,所以在单调递减,
因此当时,.
由得,
因为在单调递增,故.
综上,.
(ⅱ)令,,所以当时,,
故函数在区间上单调递增,因此.
由可得,
由得.
10.【2020年高考江苏】
某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,为铅垂线(在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米.
(1)求桥AB的长度;
(2)计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点)..桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0),问为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?
【解析】(1)设都与垂直,是相应垂足.
由条件知,当时,
则.
由得
所以(米).
(2)以为原点,为轴建立平面直角坐标系(如图所示).
设则
.
因为所以.
设则
所以
记桥墩和的总造价为,
则
,
令 得
所以当时,取得最小值.
答:(1)桥的长度为120米;
(2)当为20米时,桥墩和的总造价最低.
【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值,考查基本分析求解能力,属中档题.
11.【2020年高考江苏】已知关于x的函数与在区间D上恒有.
(1)若,求h(x)的表达式;
(2)若,求k的取值范围;
(3)若求证:.
【解析】(1)由条件,得,
取,得,所以.
由,得,此式对一切恒成立,
所以,则,此时恒成立,
所以.
(2).
令,则令,得.
所以.则恒成立,
所以当且仅当时,恒成立.
另一方面,恒成立,即恒成立,
也即恒成立.
因为,对称轴为,
所以,解得.
因此,k的取值范围是
(3)①当时,
由,得,整理得
令 则.
记
则恒成立,
所以在上是减函数,则,即.
所以不等式有解,设解为,
因此.
②当时,
.
设,
令,得.
当时,,是减函数;
当时,,是增函数.
,,则当时,.
(或证:.)
则,因此.
因为,所以.
③当时,因为,均为偶函数,因此也成立.
综上所述,.
【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程,考查利用导数研究不等式恒成立问题,考查利用导数证明不等式,考查分类讨论的数学思想方法,属于难题.
12.【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知函数.
(1)当时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
【解析】的定义域为,.
(1)当时,,,
曲线在点处的切线方程为,即.
直线在轴,轴上的截距分别为,.
因此所求三角形的面积为.
(2)当时,.
当时,,.
当时,;当时,.
所以当时,取得最小值,最小值为,从而.
当时,.
综上,的取值范围是.
【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题,考查综合分析求解能力,分类讨论思想和等价转化思想,属较难试题.
1.【2020·湖北省高三其他(理)】已知函数,对任意,,,不等式恒成立,则实数的取值范围是
A., B.,
C., D.
【答案】A
【解析】结合题意,显然,
,
由,,,得,,,
故,在,递增,
故(1),,
对任意,,,不等式恒成立,
即,
,即,解得:,
故选:A.
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,也考查了数学转化思想方法,以及利用导数判断函数的单调性问题,属于中档题.
2.【2020·四川省南充高级中学高三月考(理)】已知是曲线:上任意一点,点是曲线:上任意一点,则的最小值是
A. B.
C.2 D.
【答案】D
【解析】曲线:,求导得,易知在点处切线方程为.
下面证明恒成立.
构造函数,求导得,则时,,单调递减;时,,单调递增.
故函数,即恒成立.
又:,求导得,当时,,且过点,故在点处的切线方程为.
下面证明在上恒成立.
令,则,
当时,,单调递减;当时,,单调递增,
所以,即,
则,即在上恒成立.
因为,且平行线与之间的距离为,所以的最小值为.
故选:D.
【点睛】本题考查曲线的切线的应用,考查平行线间距离的计算,考查函数单调性的应用,考查学生的计算求解能力与推理论证能力,属于难题.
3.【2020·河南省高三月考(理)】设函数是函数的导函数,当时,,则函数的零点个数为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设,则.
当时,,
当时,,故,所以,函数在上单调递减;
当时,,故,所以,函数在上单调递增.
所以,所以,函数没有零点,
故也没有零点.
故选:D.
【点睛】本题考查函数零点个数的判断, 解题的关键就是要结合导数不等式构造新函数,并利用导数分析函数的单调性与最值,必要时借助零点存在定理进行判断,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.
4.【2019·河北省高三月考(理)】若函数有两个不同的极值点,则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】的定义域是(0,+∞),
,
若函数有两个不同的极值点,
则在(0,+∞)由2个不同的实数根,
故,解得:,
故选D.
【点睛】本题考查了函数的极值问题,考查导数的应用以及二次函数的性质,是一道中档题.
5.【黑龙江省2020届高三理科5月数学模拟试卷】已知定义域为R的函数f(x)满足,其中f′(x)为f(x)的导函数,则不等式f(sinx)﹣cos2x≥0的解集为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设g(x)=f(x)+2x2﹣1,∴g′(x)=f′(x)+4x>0在R上恒成立,
∴g(x)在R上单调递增,不等式f(sinx)﹣cos2x=f(sinx)+2sin2x﹣1,且g()=0,
不等式f(sinx)﹣cos2x≥0,∴g(sinx)≥g(),sinx,
∴2kx≤x,k∈Z.故选:D.[来源:Zxxk.Com]
6.【2020届四川省宜宾市高三高考适应性考试(三诊)数学(理科)试题】已知函数,则关于的方程()的实根个数为
A. B. 或 C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】∵函数
∴,
令得:或,
∴当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增,
又,,
∴函数大致图象,如图所示:[来源:学_科_网Z_X_X_K]
,
令,则关于的方程变为,
∵,∴方程有两个不相等的实根.设为,
由韦达定理得:,,不妨设,,
①当时,∵,∴,此时关于的方程的实根个数为3个,
②当,∵,∴,此时关于的方程的实根个数为3个,
③当,∵,∴,此时关于的方程的实根个数为3个,
综上所述,关于的方程的实根个数为3个,故选:A.
7.【湖北省武汉市部分学校2020届高三上学期起点质量监测(理)】已知,,,则,,的大小关系是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于的大小:,,明显;
对于的大小:构造函数,则,
当时,在上单调递增,
当时,在上单调递减,
,即,,
对于的大小:,,,,
故选:B.
【点睛】将两两变成结构相同的对数形式,然后利用对数函数的性质判断,对于结构类似的,可以通过构造函数来比较大小,此题是一道中等难度的题目.
8.【甘肃省天水市一中2020届高三第一次模拟考试(理)】设定义在上的函数的导函数为,若,,则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设,
则,
∵,,
∴,
∴是上的增函数,
又,
∴的解集为,
即不等式的解集为.
故选A.
【点睛】本题考查导数与函数单调性的关系,构造函数是解题的关键.
9.【2020届山西省高三高考考前适应性测试数学(理)试题】已知函数(其中且)有零点,则实数的最小值是______.
【答案】
【解析】由存在零点,即函数与的图象有公共点.
当时,两图象显然有公共点;当时,由图可知,最小时,
两图象均与直线相切,此时,设切点坐标为,
则∴∴∴[来源:学*科*网]
∴,∴,∴,∴.故答案为:.
10.【2020·湖北省高三其他(理)】函数(其中)的图象在处的切线方程是_____.
【答案】
【解析】由,得,所以切线的斜率,
所以切线方程为,即.
故答案为:
【点睛】本题主要考查在一点处的切线方程的求法,同时考查常见函数的导数及两个函数积的导数,属于基础题.
11.【2020·广西壮族自治区高三其他(理)】函数在处的切线在轴上的截距为____________.
【答案】
【解析】对函数求导得,
所以,函数在处的切线方程为,即,
因此,函数在处的切线在轴上的截距为.
故答案为:.
【点睛】本题考查直线在轴上的截距的求解,考查了利用导数求函数的切线方程,考查计算能力,属于基础题.
12.【2019·天津市静海区大邱庄中学高三月考】已知,则方程恰有2个不同的实根,实数取值范围__________________.
【答案】
【解析】问题等价于当直线与函数的图象有个交点时,求实数的取值范围.
作出函数的图象如下图所示:
先考虑直线与曲线相切时,的取值,
设切点为,对函数求导得,切线方程为,
即,则有,解得.
由图象可知,当时,直线与函数在上的图象没有公共点,在有一个公共点,不合乎题意;
当时,直线与函数在上的图象没有公共点,在有两个公共点,合乎题意;
当时,直线与函数在上的图象只有一个公共点,在有两个公共点,不合乎题意;
当时,直线与函数在上的图象只有一个公共点,在没有公共点,不合乎题意.
综上所述,实数的取值范围是,故答案为.
【点睛】本题考查函数的零点个数问题,一般转化为两个函数图象的交点个数问题,或者利用参变量分离转化为参数直线与定函数图象的交点个数问题,若转化为直线(不恒与轴垂直)与定函数图象的交点个数问题,则需抓住直线与曲线相切这些临界位置,利用数形结合思想来进行分析,考查分析问题的能力和数形结合数学思想的应用,属于难题.
13.【2020·天津市武清区杨村第一中学高三开学考试】已知函数,
(1)当时,求的单调区间;
(2)当,讨论的零点个数;
【解析】∵∴为偶函数,
只需先研究,
,
,
当,,当,,
所以在单调递增,在,单调递减,
所以根据偶函数图象关于轴对称,
得在单调递增,在单调递减,
.故单调递减区间为:,;单调递增区间为:,.
(2),
①时,在恒成立,
∴在单调递增
又,所以在上无零点
②时,,
使得,即.
又在单调递减,
所以,,,
所以,单调递增,,单调递减,
又,
(i),即时
在上无零点,
又为偶函数,所以在上无零点,
(ii),即.
在上有1个零点,
又为偶函数,所以在上有2个零点,
综上所述,当时,在上有2个零点,当时,在上无零点.
【点睛】本题考查偶函数的性质,利用导数求函数的单调区间,利用导数研究函数的零点个数问题,涉及分类讨论的思想,属于中档题.
14.【2020·福建省福州第一中学高三其他(理)】已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若存在直线,使得对任意的,,对任意的,,求的取值范围.
【答案】(1)当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减;(2).
【解析】(1)函数的定义域为.
(i)若,则;
(ii)若,则由得,由得;
综上:当时,在上单调递增;
当时,在上单调递增,在上单调递减.
(2)设存在直线满足题意.
(i)由,即对任意的都成立,得,所以,
(ii)令,
,
①若,则,单调递增,,不合题意;
②若,则在上单调递增,在上单调递减,
所以,
所以,即,
由(i)得,
即,
令,,
,所以单调递增,
又因为,所以在是单调递减,是单调递减,所以,所以.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值问题,属于能力提升题.
15.【2020·广西壮族自治区高三其他(理)】设函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若存在极值,对于任意,都有恒成立,求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析;(2).
【解析】(1),,
①当时,,
即,所以在上是增函数;
②当时,令,
则,
∴,,
所以时,,
时,,
所以在上是减函数,
在上是增函数;
(2)由存在极值知,
“对于任意,都有恒成立”等价于
“对于任意,都有恒成立”,
设,,
则,,
设,,
则,,
所以在上是减函数,
又,所以时,
,时,,
所以在上是增函数,在上是减函数,
所以,
∴,
∴.
【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性,导数与不等式恒成立,还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力,属于难题.
16.【2020·南昌市八一中学高三三模(理)】已知函数,.
(1)当时,总有,求的最小值;
(2)对于中任意恒有,求的取值范围.
【答案】(1)1;(2).
【解析】(1)令,
则,
在上单调递增,且
若,则在上单调递增,,即满足条件;
若存在单调递减区间,又,
所以存在使得与已知条件矛盾,所以,的最小值为1.
(2)由(1)知,如果,则必有成立.
令,
则,即.
若,必有恒成立,
故当时,恒成立,
下面证明时,不恒成立.
令,,
当时,,在区间上单调递增
故,即,故.
,
令,,
所以在上单调递增,又,则一定存在区间 (其中),
当时,,
则,故不恒成立.
综上所述:实数取值范围是.
【点睛】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题,考查学生的逻辑推理能力和计算能力,属于难题.
17.【2020·河北省衡水中学高三其他(理)】已知函数且.
(1)求a;
(2)证明:存在唯一的极大值点,且.
【答案】(1)a=1;(2)见解析.
【解析】(1)因为f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx=x(ax﹣a﹣lnx)(x>0),
则f(x)≥0等价于h(x)=ax﹣a﹣lnx≥0,求导可知h′(x)=a.
则当a≤0时h′(x)<0,即y=h(x)在(0,+∞)上单调递减,
所以当x0>1时,h(x0)<h(1)=0,矛盾,故a>0.
因为当0<x时h′(x)<0、当x时h′(x)>0,
所以h(x)min=h(),
又因为h(1)=a﹣a﹣ln1=0,
所以1,解得a=1;
另解:因为f(1)=0,所以f(x)≥0等价于f(x)在x>0时的最小值为f(1),
所以等价于f(x)在x=1处是极小值,
所以解得a=1;
(2)证明:由(1)可知f(x)=x2﹣x﹣xlnx,f′(x)=2x﹣2﹣lnx,
令f′(x)=0,可得2x﹣2﹣lnx=0,记t(x)=2x﹣2﹣lnx,则t′(x)=2,
令t′(x)=0,解得:x,
所以t(x)在区间(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,
所以t(x)min=t()=ln2﹣1<0,从而t(x)=0有解,即f′(x)=0存在两根x0,x2,
且不妨设f′(x)在(0,x0)上为正、在(x0,x2)上为负、在(x2,+∞)上为正,
所以f(x)必存在唯一极大值点x0,且2x0﹣2﹣lnx0=0,
所以f(x0)x0﹣x0lnx0x0+2x0﹣2x0,
由x0可知f(x0)<(x0)max;
由f′()<0可知x0,
所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,)上单调递减,
所以f(x0)>f();
综上所述,f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值,考查运算求解能力,考查转化思想,注意解题方法的积累,属于难题.
18.【2019·山东省实验中学高三月考】已知函数:
(I)当时,求的最小值;
(II)对于任意的都存在唯一的使得,求实数a的取值范围.
【答案】(I)答案不唯一,见解析(II)
【解析】(I)
时,递增,,
时,递减,,
时,时递减,
时递增,
所以
综上,当;
当
当
(II)因为对于任意的都存在唯一的使得成立,
所以的值域是的值域的子集.
因为
递增,的值域为
(i)当时,在上单调递增,
又,
所以在[1,e]上的值域为,
所以,
即,
(ii)当时,因为时,递减,时,递增,且,
所以只需
即,所以
(iii)当时,因为在上单调递减,且,
所以不合题意.
综合以上,实数的取值范围是.
【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值,分类讨论思想,等价转化思想,本题属于难题.
解题方法总结:
像”对于任意的都存在唯一的使得,”已知条件,一般是转化为两个函数的值域得包含关系,口诀是:任意是存在的子集.
19.【2020·河北新乐市第一中学高三其他】设函数,其中e为自然对数的底数.
(1)若曲线在y轴上的截距为,且在点处的切线垂直于直线,求实数a,b的值;
(2)记的导函数为,求在区间上的最小值.
【答案】(1)实数a,b的值分别为1,;(2)
【解析】Ⅰ曲线在y轴上的截距为,则过点,
代入,
则,则,求导,
由,即,则,
实数a,b的值分别为1,;
Ⅱ,,,
当时,,,恒成立,
即,在上单调递增,
.
当时,,,恒成立,
即,在上单调递减,
当时,,得,
在上单调递减,在上单调递增,
所以,
【点睛】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程考查发现问题解决问题的能力.
20.【2020·山东省高三其他】已知函数.
(1)若,,求的最大值;
(2)当时,讨论极值点的个数.
【答案】(1)(2)时,极值点的个数为0个;时,极值点的个数为2个
【解析】(1)当,时,,
此时,函数定义域为,,
由得:;由得:,
所以在上单调递增,在上单调递减.
所以.
(2)当时,函数定义域为,
,
①当时,对任意的恒成立,
在上单调递减,所以此时极值点的个数为0个;
②当时,设,
(i)当,即时,
对任意的恒成立,即在上单调递减,
所以此时极值点的个数为0个;
(ii)当,即时,记方程的两根分别为,,
则,,所以,都大于0,
即在上有2个左右异号的零点,
所以此时极值点的个数为2.
综上所述时,极值点的个数为0个;
时,极值点的个数为2个.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的性质,确定函数的最大值和极值点的个数,考查了分类讨论思想、逻辑思维能力和运算能力,属于中档题.
21.【2020·宜宾市叙州区第一中学校高三一模(理)】设函数,,其中,是自然对数的底数.
(1)若在上存在两个极值点,求的取值范围;
(2)若,,函数与函数的图象交于,,且线段的中点为,证明:.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】(1)的定义域为,,
则在上存在两个极值点等价于在上有两个不等实根,
由,解得,
令,则,
令,则,
当时,,故函数在上单调递减,且,
所以,当时,,,单调递增,
当时,,,单调递减,
所以,是的极大值也是最大值,
所以,所以,
又当时,,当时,大于0且趋向于0,
要使在有两个根,则;
(2)证明:,
由,得,则,
要证成立,
只需证,即,
即,
设,即证,
要证,只需证,
令,则,
所以在上为增函数,所以,即成立;
要证,只需证,
令,则,
所以在上为减函数,
所以,即成立;
所以成立,即成立.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值及分析法证明不等式,考查学生的转化与化归能力,分析问题和解决问题的能力,难度较大.构造函数是求解导数问题的常用方法.
22.【山东师范大学附属中学2020届高三年级学习质量评估考试数学试题】已知函数
.
(1 )若b=0,曲线f(x)在点(1, f(1)) 处的切线与直线y= 2x平行,求a的值;
(2)若b=2,且函数f(x)的值域为求a的最小值.
【解析】(1)当时,,,
由,得,
即, 解得或.
当时,,此时直线恰为切线,故舍去,所以.
(2)当时,,设,则,
故函数可化为.
由,可得的单调递减区间为,单调递增区间为,
所以的最小值为, 此时,函数的的值域为
,
问题转化为当时,有解,
即,得,设,则,
故的单调递减区间为,单调递增区间为,
所以的最小值为,故的最小值为.
23.【2020届河南省开封市第五中学高三第四次教学质量检测数学(理)试卷】已知函数,的最大值为.
(1)求实数b的值;
(2)当时,讨论函数的单调性;
(3)当时,令,是否存在区间,,使得函数在区间上的值域为?若存在,求实数k的取值范围;若不存在,请说明理由.
【解析】(1) 由题意得,令,解得,
当时, ,函数单调递增;当时, ,函数单调递减.
所以当时, 取得极大值,也是最大值,所以,解得.
(2)的定义域为.
,
① 即,则,故在单调增;
②若,而,故,则当时,;
当及时,
故在单调递减,在单调递增.
③若,即,同理在单调递减,在单调递增
(3)由(1)知,
所以,令,则对恒成立,所以在区间内单调递增, 所以恒成立,
所以函数在区间内单调递增.
假设存在区间,使得函数在区间上的值域是,
则,
问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根,
即方程在区间内是否存在两个不相等的实根,
令, ,则,
设, ,则对恒成立,所以函数在区间内单调递增,
故恒成立,所以,所以函数在区间内单调递增,所以方程在区间内不存在两个不相等的实根.
综上所述,不存在区间,使得函数在区间上值域是.
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