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  • 2021-06-16 发布

2020年高考真题+高考模拟题 专项版解析汇编 理科数学——03 导数及其应用(教师版)

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专题03 导数及其应用 ‎1.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】函数的图像在点处的切线方程为 A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】,,,,‎ 因此,所求切线的方程为,即.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎2.【2020年高考全国III卷理数】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切,则l的方程为 A.y=2x+1 B.y=2x+ ‎ C.y=x+1 D.y=x+‎ ‎【答案】D ‎【解析】设直线在曲线上的切点为,则,‎ 函数的导数为,则直线的斜率,‎ 设直线的方程为,即,‎ 由于直线与圆相切,则,‎ 两边平方并整理得,解得,(舍),‎ 则直线的方程为,即.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用,属于中档题.‎ ‎3.【2020年高考北京】为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为,用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.‎ 给出下列四个结论:‎ ‎①在这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;‎ ‎②在时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;‎ ‎③在时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;‎ ‎④甲企业在这三段时间中,在的污水治理能力最强.‎ 其中所有正确结论的序号是____________________.‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】表示区间端点连线斜率的负数,‎ 在这段时间内,甲的斜率比乙的小,所以甲的斜率的相反数比乙的大,因此甲企业的污水治理能力比乙企业强;①正确;‎ 甲企业在这三段时间中,甲企业在这段时间内,甲的斜率最小,其相反数最大,即在的污水治理能力最强.④错误;‎ 在时刻,甲切线的斜率比乙的小,所以甲切线的斜率的相反数比乙的大,甲企业的污水治理能力比乙企业强;②正确;‎ 在时刻,甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下,所以都已达标;③正确;‎ 故答案为:①②③‎ ‎【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用,考查基本分析识别能力,属中档题.‎ ‎4.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数.‎ ‎(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;‎ ‎(2)当x≥0时,f(x)≥x3+1,求a的取值范围.‎ ‎【解析】(1)当a=1时,f(x)=ex+x2–x,则=ex+2x–1.‎ 故当x∈(–∞,0)时,<0;当x∈(0,+∞)时,>0.所以f(x)在(–∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.‎ ‎(2)等价于.‎ 设函数,则 ‎.‎ ‎(i)若2a+1≤0,即,则当x∈(0,2)时,>0.所以g(x)在(0,2)单调递增,而g(0)=1,故当x∈(0,2)时,g(x)>1,不合题意.‎ ‎(ii)若0<2a+1<2,即,则当x∈(0,2a+1)∪(2,+∞)时,g'(x)<0;当x∈(2a+1,2)时,g'(x)>0.所以g(x)在(0,2a+1),(2,+∞)单调递减,在(2a+1,2)单调递增.由于g(0)=1,所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7−4a)e−2≤1,即a≥.‎ 所以当时,g(x)≤1.‎ ‎(iii)若2a+1≥2,即,则g(x)≤.‎ 由于,故由(ii)可得≤1.‎ 故当时,g(x)≤1.‎ 综上,a的取值范围是.‎ ‎【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.‎ ‎5.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数.‎ ‎(1)讨论f(x)在区间(0,π)的单调性;‎ ‎(2)证明: ;‎ ‎(3)设,证明:.‎ ‎【解析】(1)‎ ‎.‎ 当时,;当时,.‎ 所以在区间单调递增,在区间单调递减.‎ ‎(2)因为,由(1)知,在区间的最大值为,‎ 最小值为.而是周期为的周期函数,故.‎ ‎(3)由于 ‎,‎ 所以.‎ ‎6.【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设函数,曲线在点(,f())处的切线与y轴垂直.‎ ‎(1)求B.‎ ‎(2)若有一个绝对值不大于1的零点,证明:所有零点的绝对值都不大于1.‎ ‎【解析】(1).‎ 依题意得,即.‎ 故.‎ ‎(2)由(1)知,.‎ 令,解得或.‎ 与的情况为:‎ x ‎+‎ ‎0‎ ‎–‎ ‎0‎ ‎+‎ 因为,所以当时,只有大于1的零点.‎ 因为,所以当时,f(x)只有小于–1的零点.‎ 由题设可知,‎ 当时,只有两个零点和1.‎ 当时,只有两个零点–1和.‎ 当时,有三个等点x1,x2,x3,且,,.‎ 综上,若有一个绝对值不大于1的零点,则所有零点的绝对值都不大于1.‎ ‎7.【2020年高考天津】已知函数,为的导函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,‎ ‎(i)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(ii)求函数的单调区间和极值;‎ ‎(Ⅱ)当时,求证:对任意的,且,有.‎ ‎【解析】(Ⅰ)(i)当时,,故.可得,,所以曲线在点处的切线方程为,即.‎ ‎(ii)依题意,.从而可得,整理可得.令,解得.‎ 当变化时,的变化情况如下表:‎ ‎1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以,函数的单调递减区间为,单调递增区间为;的极小值为,无极大值.‎ ‎(Ⅱ)证明:由,得.‎ 对任意的,且,令,则 ‎. ①‎ 令.当时,,由此可得在单调递增,所以当时,,即.‎ 因为,,‎ 所以,‎ ‎. ②‎ 由(Ⅰ)(ii)可知,当时,,即,‎ 故. ③‎ 由①②③可得.所以,当时,对任意的,且,有.‎ ‎8.【2020年高考北京】已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的斜率等于的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为,求的最小值.‎ ‎【解析】(Ⅰ)因为,所以,‎ 设切点为,则,即,所以切点为,‎ 由点斜式可得切线方程:,即.‎ ‎(Ⅱ)显然,‎ 因为在点处的切线方程为:,‎ 令,得,令,得,‎ 所以,‎ 不妨设时,结果一样,‎ 则,‎ 所以 ‎,‎ 由,得,由,得,‎ 所以在上递减,在上递增,‎ 所以时,取得极小值,‎ 也是最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程,考查了利用导数求函数的最值,属于中档题.‎ ‎9.【2020年高考浙江】已知,函数,其中e=2.71828…是自然对数的底数.‎ ‎(Ⅰ)证明:函数在上有唯一零点;‎ ‎(Ⅱ)记x0为函数在上的零点,证明:‎ ‎(ⅰ);‎ ‎(ⅱ).‎ ‎【解析】(Ⅰ)因为,,所以在上存在零点.‎ 因为,所以当时,,故函数在上单调递增,‎ 所以函数以在上有唯一零点.‎ ‎(Ⅱ)(ⅰ)令,,‎ 由(Ⅰ)知函数在上单调递增,故当时,,‎ 所以函数在单调递增,故.‎ 由得,‎ 因为在单调递增,故.‎ 令,,‎ 令,,所以 故当时,,即,所以在单调递减,‎ 因此当时,.‎ 由得,‎ 因为在单调递增,故.‎ 综上,.‎ ‎(ⅱ)令,,所以当时,,‎ 故函数在区间上单调递增,因此.‎ 由可得,‎ 由得.‎ ‎10.【2020年高考江苏】‎ 某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,为铅垂线(在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米.‎ ‎(1)求桥AB的长度;‎ ‎(2)计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点)..桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0),问为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?‎ ‎【解析】(1)设都与垂直,是相应垂足.‎ 由条件知,当时,‎ ‎ 则.‎ 由得 ‎ 所以(米).‎ ‎(2)以为原点,为轴建立平面直角坐标系(如图所示).‎ 设则 ‎ ‎.‎ 因为所以.‎ 设则 ‎ 所以 ‎ 记桥墩和的总造价为,‎ 则 ‎ ‎,‎ 令 得 ‎ 所以当时,取得最小值.‎ 答:(1)桥的长度为120米;‎ ‎(2)当为20米时,桥墩和的总造价最低.‎ ‎【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值,考查基本分析求解能力,属中档题.‎ ‎11.【2020年高考江苏】已知关于x的函数与在区间D上恒有.‎ ‎(1)若,求h(x)的表达式;‎ ‎(2)若,求k的取值范围;‎ ‎(3)若求证:.‎ ‎【解析】(1)由条件,得,‎ 取,得,所以.‎ 由,得,此式对一切恒成立,‎ 所以,则,此时恒成立,‎ 所以.‎ ‎(2).‎ 令,则令,得.‎ 所以.则恒成立,‎ 所以当且仅当时,恒成立.‎ 另一方面,恒成立,即恒成立,‎ 也即恒成立.‎ 因为,对称轴为,‎ 所以,解得.‎ 因此,k的取值范围是 ‎ ‎(3)①当时,‎ 由,得,整理得 ‎ ‎ 令 则.‎ 记 则恒成立,‎ 所以在上是减函数,则,即.‎ 所以不等式有解,设解为,‎ 因此.‎ ‎②当时,‎ ‎.‎ 设, ‎ 令,得.‎ 当时,,是减函数;‎ 当时,,是增函数.‎ ‎,,则当时,.‎ ‎(或证:.)‎ 则,因此.‎ 因为,所以.‎ ‎③当时,因为,均为偶函数,因此也成立.‎ 综上所述,.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程,考查利用导数研究不等式恒成立问题,考查利用导数证明不等式,考查分类讨论的数学思想方法,属于难题.‎ ‎12.【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知函数.‎ ‎(1)当时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;‎ ‎(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.‎ ‎【解析】的定义域为,.‎ ‎(1)当时,,,‎ 曲线在点处的切线方程为,即.‎ 直线在轴,轴上的截距分别为,.‎ 因此所求三角形的面积为.‎ ‎(2)当时,.‎ 当时,,.‎ 当时,;当时,.‎ 所以当时,取得最小值,最小值为,从而.‎ 当时,.‎ 综上,的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题,考查综合分析求解能力,分类讨论思想和等价转化思想,属较难试题.‎ ‎1.【2020·湖北省高三其他(理)】已知函数,对任意,,,不等式恒成立,则实数的取值范围是 A., B.,‎ C., D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】结合题意,显然,‎ ‎,‎ 由,,,得,,,‎ 故,在,递增,‎ 故(1),,‎ 对任意,,,不等式恒成立,‎ 即,‎ ‎,即,解得:,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,也考查了数学转化思想方法,以及利用导数判断函数的单调性问题,属于中档题.‎ ‎2.【2020·四川省南充高级中学高三月考(理)】已知是曲线:上任意一点,点是曲线:上任意一点,则的最小值是 A. B. ‎ C.2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】曲线:,求导得,易知在点处切线方程为.‎ 下面证明恒成立.‎ 构造函数,求导得,则时,,单调递减;时,,单调递增.‎ 故函数,即恒成立.‎ 又:,求导得,当时,,且过点,故在点处的切线方程为.‎ 下面证明在上恒成立.‎ 令,则,‎ 当时,,单调递减;当时,,单调递增,‎ 所以,即,‎ 则,即在上恒成立.‎ 因为,且平行线与之间的距离为,所以的最小值为.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查曲线的切线的应用,考查平行线间距离的计算,考查函数单调性的应用,考查学生的计算求解能力与推理论证能力,属于难题.‎ ‎3.【2020·河南省高三月考(理)】设函数是函数的导函数,当时,,则函数的零点个数为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】设,则.‎ 当时,,‎ 当时,,故,所以,函数在上单调递减;‎ 当时,,故,所以,函数在上单调递增.‎ 所以,所以,函数没有零点,‎ 故也没有零点.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查函数零点个数的判断, 解题的关键就是要结合导数不等式构造新函数,并利用导数分析函数的单调性与最值,必要时借助零点存在定理进行判断,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.‎ ‎4.【2019·河北省高三月考(理)】若函数有两个不同的极值点,则实数的取值范围是 A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】的定义域是(0,+∞),‎ ‎,‎ 若函数有两个不同的极值点,‎ 则在(0,+∞)由2个不同的实数根,‎ 故,解得:,‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的极值问题,考查导数的应用以及二次函数的性质,是一道中档题.‎ ‎5.【黑龙江省2020届高三理科5月数学模拟试卷】已知定义域为R的函数f(x)满足,其中f′(x)为f(x)的导函数,则不等式f(sinx)﹣cos2x≥0的解集为 A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】设g(x)=f(x)+2x2﹣1,∴g′(x)=f′(x)+4x>0在R上恒成立,‎ ‎∴g(x)在R上单调递增,不等式f(sinx)﹣cos2x=f(sinx)+2sin2x﹣1,且g()=0,‎ 不等式f(sinx)﹣cos2x≥0,∴g(sinx)≥g(),sinx,‎ ‎∴2kx≤x,k∈Z.故选:D.[来源:Zxxk.Com]‎ ‎6.【2020届四川省宜宾市高三高考适应性考试(三诊)数学(理科)试题】已知函数,则关于的方程()的实根个数为 A. B. 或 C. 或 D. 或 ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵函数 ‎∴,‎ 令得:或,‎ ‎∴当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增,‎ 又,,‎ ‎∴函数大致图象,如图所示:[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ ‎,‎ 令,则关于的方程变为,‎ ‎∵,∴方程有两个不相等的实根.设为,‎ 由韦达定理得:,,不妨设,,‎ ‎①当时,∵,∴,此时关于的方程的实根个数为3个,‎ ‎②当,∵,∴,此时关于的方程的实根个数为3个,‎ ‎③当,∵,∴,此时关于的方程的实根个数为3个,‎ 综上所述,关于的方程的实根个数为3个,故选:A.‎ ‎7.【湖北省武汉市部分学校2020届高三上学期起点质量监测(理)】已知,,,则,,的大小关系是 A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于的大小:,,明显;‎ 对于的大小:构造函数,则,‎ 当时,在上单调递增,‎ 当时,在上单调递减,‎ ‎,即,,‎ 对于的大小:,,,,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】将两两变成结构相同的对数形式,然后利用对数函数的性质判断,对于结构类似的,可以通过构造函数来比较大小,此题是一道中等难度的题目.‎ ‎8.【甘肃省天水市一中2020届高三第一次模拟考试(理)】设定义在上的函数的导函数为,若,,则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为 A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】设,‎ 则,‎ ‎∵,,‎ ‎∴,‎ ‎∴是上的增函数,‎ 又,‎ ‎∴的解集为,‎ 即不等式的解集为.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查导数与函数单调性的关系,构造函数是解题的关键.‎ ‎9.【2020届山西省高三高考考前适应性测试数学(理)试题】已知函数(其中且)有零点,则实数的最小值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由存在零点,即函数与的图象有公共点.‎ 当时,两图象显然有公共点;当时,由图可知,最小时,‎ 两图象均与直线相切,此时,设切点坐标为,‎ 则∴∴∴[来源:学*科*网]‎ ‎∴,∴,∴,∴.故答案为:.‎ ‎10.【2020·湖北省高三其他(理)】函数(其中)的图象在处的切线方程是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由,得,所以切线的斜率,‎ 所以切线方程为,即.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查在一点处的切线方程的求法,同时考查常见函数的导数及两个函数积的导数,属于基础题.‎ ‎11.【2020·广西壮族自治区高三其他(理)】函数在处的切线在轴上的截距为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对函数求导得,‎ 所以,函数在处的切线方程为,即,‎ 因此,函数在处的切线在轴上的截距为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查直线在轴上的截距的求解,考查了利用导数求函数的切线方程,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎12.【2019·天津市静海区大邱庄中学高三月考】已知,则方程恰有2个不同的实根,实数取值范围__________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】问题等价于当直线与函数的图象有个交点时,求实数的取值范围.‎ 作出函数的图象如下图所示:‎ 先考虑直线与曲线相切时,的取值,‎ 设切点为,对函数求导得,切线方程为,‎ 即,则有,解得.‎ 由图象可知,当时,直线与函数在上的图象没有公共点,在有一个公共点,不合乎题意;‎ 当时,直线与函数在上的图象没有公共点,在有两个公共点,合乎题意;‎ 当时,直线与函数在上的图象只有一个公共点,在有两个公共点,不合乎题意;‎ 当时,直线与函数在上的图象只有一个公共点,在没有公共点,不合乎题意.‎ 综上所述,实数的取值范围是,故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点个数问题,一般转化为两个函数图象的交点个数问题,或者利用参变量分离转化为参数直线与定函数图象的交点个数问题,若转化为直线(不恒与轴垂直)与定函数图象的交点个数问题,则需抓住直线与曲线相切这些临界位置,利用数形结合思想来进行分析,考查分析问题的能力和数形结合数学思想的应用,属于难题.‎ ‎13.【2020·天津市武清区杨村第一中学高三开学考试】已知函数,‎ ‎(1)当时,求的单调区间;‎ ‎(2)当,讨论的零点个数;‎ ‎【解析】∵∴为偶函数,‎ 只需先研究,‎ ‎,‎ ‎,‎ 当,,当,,‎ 所以在单调递增,在,单调递减,‎ 所以根据偶函数图象关于轴对称,‎ 得在单调递增,在单调递减,‎ ‎.故单调递减区间为:,;单调递增区间为:,.‎ ‎(2),‎ ‎①时,在恒成立,‎ ‎∴在单调递增 又,所以在上无零点 ‎②时,,‎ 使得,即.‎ 又在单调递减,‎ 所以,,,‎ 所以,单调递增,,单调递减,‎ 又,‎ ‎(i),即时 在上无零点,‎ 又为偶函数,所以在上无零点,‎ ‎(ii),即.‎ 在上有1个零点,‎ 又为偶函数,所以在上有2个零点,‎ 综上所述,当时,在上有2个零点,当时,在上无零点.‎ ‎【点睛】本题考查偶函数的性质,利用导数求函数的单调区间,利用导数研究函数的零点个数问题,涉及分类讨论的思想,属于中档题.‎ ‎14.【2020·福建省福州第一中学高三其他(理)】已知函数,.‎ ‎(1)讨论函数的单调性;‎ ‎(2)若存在直线,使得对任意的,,对任意的,,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减;(2).‎ ‎【解析】(1)函数的定义域为.‎ ‎(i)若,则;‎ ‎(ii)若,则由得,由得;‎ 综上:当时,在上单调递增;‎ 当时,在上单调递增,在上单调递减.‎ ‎(2)设存在直线满足题意.‎ ‎(i)由,即对任意的都成立,得,所以,‎ ‎(ii)令,‎ ‎,‎ ‎①若,则,单调递增,,不合题意;‎ ‎②若,则在上单调递增,在上单调递减,‎ 所以,‎ 所以,即,‎ 由(i)得,‎ 即,‎ 令,,‎ ‎,所以单调递增,‎ 又因为,所以在是单调递减,是单调递减,所以,所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值问题,属于能力提升题.‎ ‎15.【2020·广西壮族自治区高三其他(理)】设函数.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)若存在极值,对于任意,都有恒成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)答案见解析;(2).‎ ‎【解析】(1),,‎ ‎①当时,,‎ 即,所以在上是增函数;‎ ‎②当时,令,‎ 则,‎ ‎∴,,‎ 所以时,,‎ 时,,‎ 所以在上是减函数,‎ 在上是增函数;‎ ‎(2)由存在极值知,‎ ‎“对于任意,都有恒成立”等价于 ‎“对于任意,都有恒成立”,‎ 设,,‎ 则,,‎ 设,,‎ 则,,‎ 所以在上是减函数,‎ 又,所以时,‎ ‎,时,,‎ 所以在上是增函数,在上是减函数,‎ 所以,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性,导数与不等式恒成立,还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力,属于难题.‎ ‎16.【2020·南昌市八一中学高三三模(理)】已知函数,.‎ ‎(1)当时,总有,求的最小值;‎ ‎(2)对于中任意恒有,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)1;(2).‎ ‎【解析】(1)令,‎ 则,‎ 在上单调递增,且 若,则在上单调递增,,即满足条件;‎ 若存在单调递减区间,又,‎ 所以存在使得与已知条件矛盾,所以,的最小值为1.‎ ‎(2)由(1)知,如果,则必有成立.‎ 令,‎ 则,即.‎ 若,必有恒成立,‎ 故当时,恒成立,‎ 下面证明时,不恒成立.‎ 令,,‎ 当时,,在区间上单调递增 故,即,故.‎ ‎,‎ 令,,‎ 所以在上单调递增,又,则一定存在区间 (其中),‎ 当时,,‎ 则,故不恒成立.‎ 综上所述:实数取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题,考查学生的逻辑推理能力和计算能力,属于难题.‎ ‎17.【2020·河北省衡水中学高三其他(理)】已知函数且.‎ ‎(1)求a;‎ ‎(2)证明:存在唯一的极大值点,且.‎ ‎【答案】(1)a=1;(2)见解析.‎ ‎【解析】(1)因为f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx=x(ax﹣a﹣lnx)(x>0),‎ 则f(x)≥0等价于h(x)=ax﹣a﹣lnx≥0,求导可知h′(x)=a.‎ 则当a≤0时h′(x)<0,即y=h(x)在(0,+∞)上单调递减,‎ 所以当x0>1时,h(x0)<h(1)=0,矛盾,故a>0.‎ 因为当0<x时h′(x)<0、当x时h′(x)>0,‎ 所以h(x)min=h(),‎ 又因为h(1)=a﹣a﹣ln1=0,‎ 所以1,解得a=1;‎ 另解:因为f(1)=0,所以f(x)≥0等价于f(x)在x>0时的最小值为f(1),‎ 所以等价于f(x)在x=1处是极小值,‎ 所以解得a=1;‎ ‎(2)证明:由(1)可知f(x)=x2﹣x﹣xlnx,f′(x)=2x﹣2﹣lnx,‎ 令f′(x)=0,可得2x﹣2﹣lnx=0,记t(x)=2x﹣2﹣lnx,则t′(x)=2,‎ 令t′(x)=0,解得:x,‎ 所以t(x)在区间(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,‎ 所以t(x)min=t()=ln2﹣1<0,从而t(x)=0有解,即f′(x)=0存在两根x0,x2,‎ 且不妨设f′(x)在(0,x0)上为正、在(x0,x2)上为负、在(x2,+∞)上为正,‎ 所以f(x)必存在唯一极大值点x0,且2x0﹣2﹣lnx0=0,‎ 所以f(x0)x0﹣x0lnx0x0+2x0﹣2x0,‎ 由x0可知f(x0)<(x0)max;‎ 由f′()<0可知x0,‎ 所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,)上单调递减,‎ 所以f(x0)>f();‎ 综上所述,f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值,考查运算求解能力,考查转化思想,注意解题方法的积累,属于难题.‎ ‎18.【2019·山东省实验中学高三月考】已知函数:‎ ‎(I)当时,求的最小值;‎ ‎(II)对于任意的都存在唯一的使得,求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】(I)答案不唯一,见解析(II)‎ ‎【解析】(I)‎ 时,递增,,‎ 时,递减,,‎ 时,时递减,‎ 时递增,‎ 所以 综上,当;‎ 当 当 ‎ ‎(II)因为对于任意的都存在唯一的使得成立,‎ 所以的值域是的值域的子集.‎ 因为 递增,的值域为 ‎ ‎(i)当时,在上单调递增,‎ 又,‎ 所以在[1,e]上的值域为,‎ 所以,‎ 即,‎ ‎(ii)当时,因为时,递减,时,递增,且,‎ 所以只需 即,所以 ‎ ‎(iii)当时,因为在上单调递减,且,‎ 所以不合题意.‎ 综合以上,实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值,分类讨论思想,等价转化思想,本题属于难题.‎ 解题方法总结:‎ 像”对于任意的都存在唯一的使得,”已知条件,一般是转化为两个函数的值域得包含关系,口诀是:任意是存在的子集.‎ ‎19.【2020·河北新乐市第一中学高三其他】设函数,其中e为自然对数的底数.‎ ‎(1)若曲线在y轴上的截距为,且在点处的切线垂直于直线,求实数a,b的值;‎ ‎(2)记的导函数为,求在区间上的最小值.‎ ‎【答案】(1)实数a,b的值分别为1,;(2)‎ ‎【解析】Ⅰ曲线在y轴上的截距为,则过点,‎ 代入,‎ 则,则,求导,‎ 由,即,则,‎ 实数a,b的值分别为1,;‎ Ⅱ,,,‎ 当时,,,恒成立,‎ 即,在上单调递增,‎ ‎.‎ 当时,,,恒成立,‎ 即,在上单调递减,‎ 当时,,得,‎ 在上单调递减,在上单调递增,‎ 所以,‎ ‎【点睛】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程考查发现问题解决问题的能力.‎ ‎20.【2020·山东省高三其他】已知函数.‎ ‎(1)若,,求的最大值;‎ ‎(2)当时,讨论极值点的个数.‎ ‎【答案】(1)(2)时,极值点的个数为0个;时,极值点的个数为2个 ‎【解析】(1)当,时,,‎ 此时,函数定义域为,,‎ 由得:;由得:,‎ 所以在上单调递增,在上单调递减.‎ 所以.‎ ‎(2)当时,函数定义域为,‎ ‎,‎ ‎①当时,对任意的恒成立,‎ 在上单调递减,所以此时极值点的个数为0个;‎ ‎②当时,设,‎ ‎(i)当,即时,‎ 对任意的恒成立,即在上单调递减,‎ 所以此时极值点的个数为0个;‎ ‎(ii)当,即时,记方程的两根分别为,,‎ 则,,所以,都大于0,‎ 即在上有2个左右异号的零点,‎ 所以此时极值点的个数为2.‎ 综上所述时,极值点的个数为0个;‎ 时,极值点的个数为2个.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的性质,确定函数的最大值和极值点的个数,考查了分类讨论思想、逻辑思维能力和运算能力,属于中档题.‎ ‎21.【2020·宜宾市叙州区第一中学校高三一模(理)】设函数,,其中,是自然对数的底数.‎ ‎(1)若在上存在两个极值点,求的取值范围;‎ ‎(2)若,,函数与函数的图象交于,,且线段的中点为,证明:.‎ ‎【答案】(1);(2)见解析.‎ ‎【解析】(1)的定义域为,,‎ 则在上存在两个极值点等价于在上有两个不等实根,‎ 由,解得,‎ 令,则,‎ 令,则,‎ 当时,,故函数在上单调递减,且,‎ 所以,当时,,,单调递增,‎ 当时,,,单调递减,‎ 所以,是的极大值也是最大值,‎ 所以,所以,‎ 又当时,,当时,大于0且趋向于0,‎ 要使在有两个根,则;‎ ‎(2)证明:,‎ 由,得,则,‎ 要证成立,‎ 只需证,即,‎ 即,‎ 设,即证,‎ 要证,只需证,‎ 令,则,‎ 所以在上为增函数,所以,即成立;‎ 要证,只需证,‎ 令,则,‎ 所以在上为减函数,‎ 所以,即成立;‎ 所以成立,即成立.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值及分析法证明不等式,考查学生的转化与化归能力,分析问题和解决问题的能力,难度较大.构造函数是求解导数问题的常用方法.‎ ‎22.【山东师范大学附属中学2020届高三年级学习质量评估考试数学试题】已知函数 ‎.‎ ‎(1 )若b=0,曲线f(x)在点(1, f(1)) 处的切线与直线y= 2x平行,求a的值;‎ ‎(2)若b=2,且函数f(x)的值域为求a的最小值.‎ ‎【解析】(1)当时,,,‎ 由,得,‎ 即, 解得或. ‎ 当时,,此时直线恰为切线,故舍去,所以.‎ ‎(2)当时,,设,则, ‎ 故函数可化为.‎ 由,可得的单调递减区间为,单调递增区间为,‎ 所以的最小值为, 此时,函数的的值域为 ‎,‎ 问题转化为当时,有解, ‎ 即,得,设,则,‎ 故的单调递减区间为,单调递增区间为,‎ 所以的最小值为,故的最小值为.‎ ‎23.【2020届河南省开封市第五中学高三第四次教学质量检测数学(理)试卷】已知函数,的最大值为. ‎ ‎(1)求实数b的值;‎ ‎(2)当时,讨论函数的单调性;‎ ‎(3)当时,令,是否存在区间,,使得函数在区间上的值域为?若存在,求实数k的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解析】(1) 由题意得,令,解得,‎ 当时, ,函数单调递增;当时, ,函数单调递减.‎ 所以当时, 取得极大值,也是最大值,所以,解得. ‎ ‎(2)的定义域为.‎ ‎, ‎ ① 即,则,故在单调增;‎ ‎②若,而,故,则当时,; ‎ 当及时,‎ 故在单调递减,在单调递增.‎ ‎③若,即,同理在单调递减,在单调递增 ‎(3)由(1)知, ‎ 所以,令,则对恒成立,所以在区间内单调递增, 所以恒成立,‎ 所以函数在区间内单调递增. ‎ 假设存在区间,使得函数在区间上的值域是,‎ 则,‎ 问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根,‎ 即方程在区间内是否存在两个不相等的实根,‎ 令, ,则,‎ 设, ,则对恒成立,所以函数在区间内单调递增, ‎ 故恒成立,所以,所以函数在区间内单调递增,所以方程在区间内不存在两个不相等的实根.‎ 综上所述,不存在区间,使得函数在区间上值域是.‎