- 2.24 MB
- 2021-06-16 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
1
专题 03 导数及其应用
易错点 1 不能正确识别图象与平均变化率的关系
A,B 两机关单位开展节能活动,活动开始后两机关的用电量 1 2W t W t, 与时间 t(天)的关系如图
所示,则一定有
A.两机关单位节能效果一样好
B.A 机关单位比 B 机关单位节能效果好
C.A 机关单位的用电量在 0[0 ]t, 上的平均变化率比 B 机关单位的用电量在 0[0 ]t, 上的平均变化率大
D.A 机关单位与 B 机关单位自节能以来用电量总是一样大
【错解】选 C.
因为在(0,t0)上, 1W t 的图象比 2W t 的图象陡峭,所以在(0,t0)上用电量的平均变化率,A 机关单位比
B 机关单位大.
【错因分析】识图时,一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系,特别是单调性,增长(减少)的快慢
等要弄清.
【试题解析】由题可知,A 机关单位所对应的图象比较陡峭,B 机关单位所对应的图象比较平缓,且用电量
在 0[0 ]t, 上的平均变化率都小于 0,故一定有 A 机关单位比 B 机关单位节能效果好.故选 B.
【参考答案】B
1.平均变化率
2
函数 ( )y f x 从 1x 到 2x 的平均变化率为 2 1
2 1
( ) ( )f x f x
x x
,若 2 1x x x , 2( )y f x 1( )f x ,则平
均变化率可表示为 y
x
.
2.瞬时速度
一般地,如果物体的运动规律可以用函数 ( )s s t 来描述,那么,物体在时刻t 的瞬时速度 v 就是物体在
t 到t t 这段时间内,当 t 无限趋近于 0 时, s
t
无限趋近的常数.
1.巍巍泰山为我国的五岳之首,有“天下第一山”之美誉,登泰山在当地有“紧十八,慢十八,不紧不慢又十
八”的俗语来形容爬十八盘的感受,下面是一段登山路线图.同样是登山,但是从 A 处到 B 处会感觉比
较轻松,而从 B 处到 C 处会感觉比较吃力.想想看,为什么?你能用数学语言来量化 BC 段曲线的陡峭
程度吗?
【答案】见解析.
易错点 2 求切线时混淆“某点处”和“过某点”
若经过点 P(2,8)作曲线 3y x 的切线,则切线方程为
A.12 16 0x y B.3 2 0x y
3
C.12 16 0x y 或3 2 0x y D.12 16 0x y 或3 2 0x y
【错解】设 3f x x ,由定义得 f ′(2)=12,
∴所求切线方程为 8 12 2y x ,即12 16 0x y .
【错因分析】曲线过点 P 的切线与在点 P 处的切线不同.求曲线过点 P 的切线时,应注意检验点 P 是否在
曲线上,若点 P 在曲线上,应分 P 为切点和 P 不是切点讨论.
【试题解析】①易知 P 点在曲线 3y x 上,当 P 点为切点时,由上面解法知切线方程为12 16 0x y .
②当 P 点不是切点时,设切点为 A(x0,y0),由定义可求得切线的斜率为 2
03k x .
∵A 在曲线上,∴ 3
0 0y x ,∴
3
20
0
0
8 32
x xx
,∴ 3 2
0 03 4 0x x ,
∴ 2
0 01 2 0x x ,解得 0 1x 或 x0=2(舍去),
∴ 0 1y ,k=3,此时切线方程为 y+1=3(x+1),即 3 2 0x y .
故经过点 P 的曲线的切线有两条,方程为12 16 0x y 或3 2 0x y .
【参考答案】D
1.导数的几何意义
函数 ( )y f x 在 0x x 处的导数 0( )f x 就是曲线 ( )y f x 在点 0 0( , ( ))x f x 处的切线的斜率 k .
2.曲线的切线的求法
若已知曲线过点 0 0( ),P x y ,求曲线过点 P 的切线,则需分点 P(x0,y0)是切点和不是切点两种情况求解:
(1)当点 0 0( ),P x y 是切点时,切线方程为 0 0 0( )y y f x x x ;
(2)当点 0 0( ),P x y 不是切点时,可分以下几步完成:
第一步:设出切点坐标 P′(x1,f (x1));
第二步:写出过 1 1( )P x f x , 的切线方程为 1 1 1 y f x f x x x ;
第三步:将点 P 的坐标(x0,y0)代入切线方程求出 x1;
第四步:将 x1 的值代入方程 1 1 1 y f x f x x x ,可得过点 0 0( ),P x y 的切线方程.
4
2.过点 e, e 作曲线 exy x 的切线,则切线方程为
A. 21 e ey x B. 2e 1 ey x
C. e 1 e 2e 1 ey x D. e e 1e 1 ey x
【答案】C
在求曲线 y f x 的切线方程时,要注意区分是求某点处的切线方程,还是求过某点(不在曲线 ( )f x 上)
的切线方程,前者的切线方程为 0 0 0y f x f x x x ,其中切点 0 0,x f x ,后者一般先设出切
点坐标,再求解.
易错点 3 不能准确把握导数公式和运算法则
求下列函数的导数:
(1) 2 2( ) 2f x a ax x ;
(2) sin( ) ln
x xf x x
.
【错解】(1) 2 2( ) ( 2 ) 2 2f x a ax x a x ;
5
(2) 2sin ( sin ) sin cos( ) ( ) sin cos1ln (ln )
x x x x x x xf x x x x xx x
x
.
【错因分析】(1)求导是对自变量求导,要分清表达式中的自变量.本题中的自变量是 x,a 是常量;(2)商
的求导法则是:分母平方作分母,分子是差的形式,等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分
子的积.本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了.
【试题解析】(1) 2 2( ) ( 2 ) 2 2f x a ax x a x ;
(2) 2 2
sin ( sin ) ln sin (ln ) sin ln cos ln sin( ) ( )ln (ln ) ln
x x x x x x x x x x x x x xf x x x x
.
【参考答案】(1) ( ) 2 2f x a x ;(2) 2
sin ln cos ln sin( ) ln
x x x x x xf x x
.
1.导数计算的原则
先化简解析式,使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商,再求导.
2.导数计算的方法
①连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导;
②分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导;
③对数形式:先化为和、差的形式,再求导;
④根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导;
⑤三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导;
3.若函数 f x 满足 3 21 13f x x f x x ,则 1f 的值为
A.0 B.2
C.1 D. 1
【答案】A
【解析】 2 2 1 1,f x x f x 令 x=1,则 21 1 2 1 1 1 2 1 , 1 0.f f f f
故答案为 A.
6
(1)要准确记忆导数公式表和导数的运算法则,不要将幂函数 ( )y x Q 与指数函数 ( 0xy a a 且
1)a 的导数公式, siny x 与 cosy x 的导数, lny x 与 lgy x 的导数及积与商的导数公式记混弄
错.
(2)本题中 1f 要将其看作一个常数进行计算,否则无法求解.
易错点 4 审题不细致误
设函数 2lnaf x ax xx
.
(1)若 2 0f ,求函数 ( )f x 的单调区间;
(2)若 ( )f x 在定义域上是增函数,求实数 a 的取值范围.
【错解】(1)∵ 2
2af x a x x
,∴ 2 1 04
af a ,∴ 4
5a .
∴ 2
2 2
4 4 2 2 2 5 25 5 5f x x xx x x
,
令 0f x ,得 2x 或 1
2x ,令 0f x ,得 1 22 x ,
∴函数 ( )f x 的单调递增区间为 1 22( ) ( ) , , ,单调递减区间为 1( )2 2, .
(2)∵ ( )f x 在定义域上为增函数,∴ 0f x 恒成立,
∵
2
2 2
2 2a ax x af x a x x x
,∴ 2 2 0ax x a 恒成立,
∴ 2
0
4 4 0
a
a
,∴ 1a ,即实数 a 的取值范围是[1, ) .
【错因分析】错解有多处错误:一是忽视了定义域的限制作用,研究函数一定要注意函数的定义域;二是
将单调区间取并集,函数的单调区间不要随意取并集;三是对不等式恒成立处理不当,对于自变量取值有
限制条件的恒成立问题要和自变量在 R 上取值的恒成立问题加以区分.
7
【试题解析】(1)由已知得 x>0,故函数 ( )f x 的定义域为(0,+∞).
∵ 2
2af x a x x
,
∴ 2 1 04
af a ,
∴ 4
5a .
∴ 2
2 2
4 4 2 2 2 5 25 5 5f x x xx x x
,
令 0f x ,得 2x 或 1
2x ,令 0f x ,得 1 22 x ,
∴函数 ( )f x 的单调递增区间为 ( )10 2 )2( , , , ,单调递减区间为 1( )2 2, .
【参考答案】(1)函数 ( )f x 的单调递增区间为 ( )10 2 )2( , , , ,单调递减区间为 1( )2 2, ;(2)[1, ) .
用导数求函数 ( )f x 的单调区间的“三个方法”:
1.当不等式 0f x (或 0f x )可解时,
①确定函数 y f x 的定义域;
②求导数 y f x ;
③解不等式 0f x ,解集在定义域内的部分为单调递增区间;
④解不等式 0f x ,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
2.当方程 0f x 可解时,
8
①确定函数 y f x 的定义域;
②求导数 y f x ,令 0f x ,解此方程,求出在定义区间内的一切实根;
③把函数 ( )f x 的间断点(即 ( )f x 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,
然后用这些点把函数 ( )f x 的定义区间分成若干个小区间;
④确定 f x 在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.
3.当不等式 0f x (或 0f x )及方程 0f x 均不可解时,
①确定函数 y f x 的定义域;
②求导数并化简,根据 f x 的结构特征,选择相应基本初等函数,利用其图象与性质确定 f x 的符号;
③得单调区间.
4.已知函数 2 lnf x x a x .
(1)若函数 f x 在点 3, 3f 处切线的斜率为 4,求实数 a 的值;
(2)求函数 f x 的单调区间;
(3)若函数
2
1 ln 22 2
a ag x x f x x
在 1,4 上是减函数,求实数 a 的取值范围.
【答案】(1)6;(2)见解析;(3) 7 ,16
.
【解析】(1) 2 af x x x
,而 3 4f ,即 2 3 43
a ,解得 6a .
(2)函数 f x 的定义域为 0, .
①当 0a 时, 0f x , f x 的单调递增区间为 0, ;
②当 0a 时,
2
2 22 2 222
a ax x
a x af x x x x x
.
当 x 变化时, ,f x f x 的变化情况如下:
9
由此可知,函数 f x 的单调递减区间是 20, 2
a
,单调递增区间是 2 ,2
a
.
(3) 21ln 22g x x ax x ,于是
21 2 12 ax xg x axx x
.
因为函数 g x 在 1,4 上是减函数,
所以 0g x 在 1,4 上恒成立,即
2 2 1 0ax x
x
在 1,4 上恒成立.
又因为函数 g x 的定义域为 0, ,
所以有 2 2 1 0ax x 在 1,4 上恒成立.
于是有 2
1 2a x x
在 1,4 上恒成立,
设 1t x
,则 1 14 t ,
所以有 22 2 1 1a t t t , 1 14 t ,
当 1
4t 时, 21 1t 有最大值 7
16
,学+科网
于是要使 0g x 在 1,4 上恒成立,只需 7
16a ,即实数 a 的取值范围是 7 ,16
.
若 ( )f x 的单调减区间为 ,m n ,则在 ( )x m x n 的两侧函数值异号,且 0( )0f m f n ;
若 ( )f x 在区间 ,m n 上单调递减,则 0f x 在 ,m n 上恒成立.
易错点 5 极值的概念理解不透彻
10
已知 3 2 2f x x ax bx a 在 1x 处有极值10,则 a b ________.
【错解】 7 或 0
由题得, 2( ) 3 2f x x ax b ,由已知得
2(1) 10 1 10, ,(1) 0 2 3 0
f a a b
f a b
解得 4
11
a
b
或 3
3
a
b
,
所以 a b+ 等于 7 或 0 .
【错因分析】极值点的导数值为 0,但导数值为 0 的点不一定为极值点,错解忽视了“ 1 0 1f x 是
f(x)的极值点”的情况.
【试题解析】由题得, 2( ) 3 2f x x ax b ,由已知得
2(1) 10 1 10, ,(1) 0 2 3 0
f a a b
f a b
解得 4
11
a
b
或 3
3
a
b
,所以 a b+ 等于 7 或 0 .
当 4, 11a b 时, 2( ) 3 8 11 (3 11)( 1)f x x x x x 在 x=1 两侧的符号相反,符合题意.
当 3, 3a b 时, 2( ) 3( 1)f x x 在 x=1 两侧的符号相同,所以 3, 3a b 不合题意,舍去.
综上可知, 4, 11a b ,
所以 7a b .
【参考答案】 7
对于给出函数极大(小)值的条件,一定既要考虑 0 0f x = ,又要考虑在 0x x 两侧的导数值符号不同,否
则容易产生增根.
1.函数极值的判断:先确定导数为 0 的点,再判断导数为 0 的点的左、右两侧的导数符号.
2.求函数 ( )f x 极值的方法:
11
①确定函数 ( )f x 的定义域.
②求导函数 f x .
③求方程 0f x 的根.
④检查 f x 在方程的根的左右两侧的符号,确定极值点.如果左正右负,那么 ( )f x 在这个根处取得极
大值,如果左负右正,那么 ( )f x 在这个根处取得极小值,如果 f x 在这个根的左右两侧符号不变,则
( )f x 在这个根处没有极值.
3.利用极值求参数的取值范围:确定函数的定义域,求导数 f x ,求方程 0f x 的根的情况,得关
于参数的方程(或不等式),进而确定参数的取值或范围.
5.若函数 2 3 exf x x ax 在 0, 内有且仅有一个极值点,则实数 a 的取值范围是
A. , 2 2 B. , 2 2
C. , 3 D. , 3
【答案】C
【解析】 2 2 3 e xf x x a x a ,因为函数 f x 在 0, 内有且只有一个极值点,所以
0 0f ,即3 0, 3a a ,又当 3a 时, 2 exf x x x ,当 0x 时,令 0, 1f x x ,
满足题意.所以 3a ,故选 C.
(1) ( )f x 在 0x x 处有极值时,一定有 0 0f x , 0f x 可能为极大值,也可能为极小值,应检验 ( )f x
在 0x x 两侧的符号后才可下结论;
(2)若 0 0f x ,则 ( )f x 未必在 0x x 处取得极值,只有确认 1 0 2x x x 时, 1 2 0f x f x ,才
可确定 ( )f x 在 0x x 处取得极值.
12
(3)在本题中,不要遗漏掉 3a 这种特殊情况.
一、导数的概念及计算
1.导数的定义:
0 0
( ) ( )( ) lim limx x
y f x+ x f xf x x x
.
2.导数的几何意义:函数 ( )y f x 在 0x x 处的导数 0f x 就是曲线 ( )y f x 在点 0 0( , ( ))x f x 处的切线
的斜率 k ,即 0( )k f x .
求曲线 ( )y f x 的切线方程的类型及方法
(1)已知切点 0 0,P x y ,求 ( )y f x 过点 P 的切线方程:求出切线的斜率 f ′(x0),由点斜式写出方程;
(2)已知切线的斜率为 k,求 ( )y f x 的切线方程:设切点 0 0,P x y ,通过方程 0k f x 解得 x0,再
由点斜式写出方程;
(3)已知切线上一点(非切点),求 ( )y f x 的切线方程:设切点 0 0,P x y ,利用导数求得切线斜率 0f x ,
再由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得 x0,最后由点斜式或两点式写出方程.
(4)若曲线的切线与已知直线平行或垂直,求曲线的切线方程时,先由平行或垂直关系确定切线的斜率,
再由 0k f x 求出切点坐标 0 0,x y ,最后写出切线方程.
(5)①在点 P 处的切线即是以 P 为切点的切线, P 一定在曲线上.
②过点 P 的切线即切线过点 P ,P 不一定是切点.因此在求过点 P 的切线方程时,应首先检验点 P 是
否在已知曲线上.
3.基本初等函数的导数公式
函数 导数
f (x)=C(C 为常数) ( )f x =0
*( )= ( )nf x x n N 1 *( )= ( )nf x nx n N
13
f (x)=sin x ( )=cosf x x
f (x)=cos x ( )= sinf x x
( ) ( 0 1)xf x a a > a 且 ( ) ln ( 0 1)xf x a a a > a 且
( ) exf x ( ) exf x
( ) log ( 0 1)af x x a a 且 1( ) = ( 0 1)
ln
f x a a
x a
且
f (x)=ln x 1( )=f x x
4.导数的运算法则
(1) u x v x u x v x = .
(2) ·u x v x u x v x u x v x = + .
(3) 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ( ) 0)( ) ( )
u x u x v x u x v x v xv x v x
.
5.复合函数的导数
复合函数 y f g x 的导数和函数 y f u u g x , 的导数间的关系为 x u xy y u ,即 y 对 x
的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.
二、导数的应用
1.函数的单调性与导数的关系
一般地,在某个区间(a,b)内:
①如果 ( ) 0f x ,函数 f (x)在这个区间内单调递增;
②如果 ( ) 0f x ,函数 f (x)在这个区间内单调递减;
③如果 ( )=0f x ,函数 f (x)在这个区间内是常数函数.
(1)利用导数研究函数的单调性,要在函数的定义域内讨论导数的符号;
(2)在某个区间内, ( ) 0f x ( ( ) 0f x )是函数 f (x)在此区间内单调递增(减)的充分条件,而不是必要条
14
件.例如,函数 3( )f x x 在定义域 ( , ) 上是增函数,但 2( ) 3 0f x x .
(3)函数 ( )f x 在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是 ( ) 0f x ( ( ) 0f x )在(a,b)内恒成立,且 ( )f x 在(a,b)
的任意子区间内都不恒等于 0.这就是说,在区间内的个别点处有 ( ) 0f x ,不影响函数 ( )f x 在区间内
的单调性.
2.函数的极值与导数的关系
一般地,对于函数 ( )y f x ,
①若在点 x= a 处有 f ′(a)= 0,且在点 x= a 附近的左侧 ( ) 0f ' x ,右侧 ( ) 0f ' x ,则称 x= a 为 f(x)的极
小值点; ( )f a 叫做函数 f (x)的极小值.
②若在点 x=b 处有 ( )f ' b =0,且在点 x=b 附近的左侧 ( ) 0f ' x ,右侧 ( ) 0f ' x ,则称 x= b 为 f(x)的极
大值点, ( )f b 叫做函数 f (x)的极大值.
③极小值点与极大值点通称极值点,极小值与极大值通称极值.
3.函数的最值与极值的关系
①极值是对某一点附近(即局部)而言,最值是对函数的定义区间[ , ]a b 的整体而言;
②在函数的定义区间[ , ]a b 内,极大(小)值可能有多个(或者没有),但最大(小)值只有一个(或者
没有);
③函数 f (x)的极值点不能是区间的端点,而最值点可以是区间的端点;
④对于可导函数,函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
求函数 ( )y f x 在[a,b]上的最大值与最小值的步骤
①求函数 ( )y f x 在(a,b)内的极值;
②将函数 ( )y f x 的各极值与端点处的函数值 f (a),f (b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是
最小值.
15
1.[2018 新课标全国Ⅰ文科]设函数 3 2( ) ( 1)f x x a x ax .若 ( )f x 为奇函数,则曲线 ( )y f x 在点
(0,0) 处的切线方程为
A. 2y x B. y x
C. 2y x D. y x
2.[2016 新课标全国Ⅰ卷文]若函数 1( ) sin 2 sin3f x x x a x 在 ( , ) 上单调递增,则 a 的取值范围
是
A.[ 1,1] B. 1[ 1, ]3
C. 1 1[ , ]3 3
D. 1[ 1, ]3
3.函数
2lnx xy x
的图象大致是
A. B.
C. D.
4.已知函数 2e e ln (ee
xf x f x 是自然对数的底数),则 f x 的极大值为
A. 2e 1 B. 1
e
C.1 D. 2ln 2
5.设 f x g x、 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, 0f x g x f x g x ,且
3 0g ,则不等式 0f x g x 的解集是
A. (3,0 3 ) , B. 3,0 0,3
C. 3( ) ( )3 , , D. 3( ) 0,3 ,
16
6.已知定义在 0, 上的函数 2 , 6ln 4f x x m h x x x ,设两曲线 y f x 与 y h x 在公
共点处的切线相同,则 m 值等于
A.−3 B.1
C.3 D.5
7.若函数 2 5 exf x x ax 在 1 3
2 2
, 上单调递增,则实数 a 的取值范围是
A. 8, B. 4,
C. 2, D. 4,2
8.若方程 3 3 0x x m 在[0,2]上有解,则实数 m 的取值范围是
A. 2,2 B.[0,2]
C. 2,0 D. 2( ) ( )2 , ,
9.设函数 lnf x x ax ,若存在 0 0,x ,使 0 0f x ,则 a 的取值范围是
A. 1 ,1e
B. 1, e
C. 1, D. 1 ,e
10.[2018 天津文科]已知函数 f(x)=exlnx,f′(x)为 f(x)的导函数,则 f′(1)的值为__________.
11.[2018 新课标全国Ⅱ文科]曲线 2lny x 在点 (1, 0) 处的切线方程为__________.
12.[2017 新课标全国Ⅰ卷文]曲线 2 1y x x
在点(1,2)处的切线方程为______________.
13.[2018 新课标全国Ⅲ文科]已知函数
2 1( ) ex
ax xf x .学科+网
(1)求曲线 ( )y f x 在点 (0, 1) 处的切线方程;
(2)证明:当 1a 时, ( ) e 0f x .
17
14.[2018 新课标全国Ⅰ文科]已知函数 e ln 1xf x a x .
(1)设 2x 是 f x 的极值点,求 a ,并求 f x 的单调区间;
(2)证明:当 1
ea≥ 时, 0f x ≥ .
15.[2018 新课标全国Ⅱ文科]已知函数 3 21 13f x x a x x .
(1)若 3a ,求 ( )f x 的单调区间;
(2)证明: ( )f x 只有一个零点.
16.[2017 新课标全国Ⅰ卷文]已知函数 2e e( ) x xf x a a x .
(1)讨论 ( )f x 的单调性;
(2)若 ( ) 0f x ,求 a 的取值范围.
18
17.设函数
23
ex
x axf x a R .
(1)若 f x 在 0x 处取得极值,确定 a 的值,并求此时曲线 y f x 在点 1, 1f 处的切线方程;
(2)若 f x 在 3, 上为减函数,求 a 的取值范围.
18.已知函数 ( ) e 1( 0)xf x ax a , e 为自然对数的底数.
(1)求函数 )(xf 的最小值;
(2)若 0)( xf 对任意的 xR 恒成立,求实数 a 的值;
(3)在(2)的条件下,证明: 1 1 11 ln( 1)( )2 3 n nn
N .
19
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
20
相关文档
- 高考数学复习练习试题9_2两条直线2021-06-163页
- 新课标版高考数学复习题库考点16 2021-06-1612页
- 高考数学复习课时提能演练(七) 2_2021-06-167页
- 高考数学复习 17-18版 第7章 第382021-06-1613页
- 高考数学复习专题练习第4讲 定积分2021-06-167页
- 高考数学复习选择题、填空题70分练2021-06-168页
- 高考数学复习专题练习第2讲 相关2021-06-169页
- 2019年高考数学复习大二轮精准提分2021-06-1664页
- 新课标版高考数学复习题库考点15 2021-06-168页
- 新课标版高考数学复习题库考点3 2021-06-169页