高中数学第四章数列4-2等差数列4-2-2第1课时等差数列的前n项和课件新人教A版选择性必修第二册 29页

4.2.2 　等差数列的前 n 项和公式 第 1 课时　等差数列的前 n 项和 激趣诱思 知识点拨 高斯是伟大的数学家、天文学家 . 高斯十岁时 , 有一次老师出了一道题目 , 老师说 :“ 现在给大家出道题目 ,1 + 2 + … + 100 的和是多少 ?” 过了两分钟 , 正当大家在对 1 + 2 = 3,3 + 3 = 6,4 + 6 = 10 … 算得不亦乐乎时 , 高斯站起来回答说 :“1 + 2 + 3 + … + 100 = 5 050 . ” 老师问 :“ 你是如何算出答案的 ?” 高斯回答说 :“ 因为 1 + 100 = 101,2 + 99 = 101, … ,50 + 51 = 101, 所以 101 × 50 = 5 050 . ” 这个故事告诉我们要像数学王子高斯一样善于观察 , 敢于思考 , 从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西 . 这个小故事还告诉我们求等差数列前 n 项和的一种很重要的思想方法 ——“ 倒序相加 ” 法 . 激趣诱思 知识点拨 等差数列的前 n 项和公式及其 推导 等差数列的 前 n 项和 公式 推导方法 倒序相加法 . 推导过程 设等差数列的前 n 项分别为 a 1 ,a 2 ,a 3 , … ,a n-2 ,a n-1 ,a n , S n =a 1 +a 2 +a 3 + … +a n-2 +a n-1 +a n , 依等差数列的通项公式 , 得 : S n =a 1 +(a 1 +d)+(a 1 +2d)+ … +[a 1 +(n-1)d]. ① 再把项的次序反过来 ,S n 又可以写成 : S n =a n +(a n -d)+(a n -2d)+ … +[a n -(n-1)d]. ② ①② 两边分别相加 , 得 : 2S n =(a 1 +a n )+(a 1 +a n )+ … +(a 1 +a n )=n(a 1 +a n ), ∴ S n = . 激趣诱思 知识点拨 名师点析 (1) 两个公式均为等差数列的求和公式 , 一共涉及 a 1 , a n , S n , n , d 五个量 . 通常已知其中三个 , 可求其余两个 , 而且方法就是解方程 ( 组 ), 这也是等差数列的基本问题形式之一 . 激趣诱思 知识点拨 微拓展 从函数角度认识等差数列的前 n 项和公式 : (1) 公式的变形 (2) 从函数角度认识公式 ① 当 d ≠0 时 , S n 是项数 n 的二次函数 , 且不含常数项 ; ② 当 d= 0 时 , S n =na 1 , S n 不是项数 n 的二次函数 . (3) 结论及其应用 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n =An 2 +Bn+C , 若 C= 0, 则数列 { a n } 为等差数列 ; 若 C ≠0, 则数列 { a n } 不是等差数列 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 记等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 若 a 3 = 0, a 6 +a 7 = 14, 则 S 7 = 　　　　　 . 解析 : 设等差数列 { a n } 的公差为 d , 因为 a 3 = 0, a 6 +a 7 = 14, 所以 答案 : 14 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 等差数列前 n 项和公式及其应用 例 1 (1) 设 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和 , 且 a 1 = 1, a 4 = 7, 则 S 9 = 　　　　 .   (2) 设 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和 , 若 S 3 = 3, S 6 = 24, 则 a 9 = 　　　　 .   (3) 在等差数列 { a n } 中 , 若 a 1 = 1, a n =- 512, S n =- 1 022, 则公差 d= 　　　　 .   分析 : 利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式列方程进行计算求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析 : (1) 设等差数列 { a n } 的公差为 d , 则 a 4 =a 1 + 3 d= 1 + 3 d= 7, 所以 d= 2 . 解得 n= 4 . 又由 a n =a 1 + ( n- 1) d , 即 - 512 = 1 + (4 - 1) d , 解得 d=- 171 . 答案 : (1)81 　 (2)15 　 (3) - 171 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 a 1 , d , n 称为等差数列的三个基本量 , a n 和 S n 都可以用这三个基本量来表示 , 五个量 a 1 , d , n , a n , S n 中 , 可知三求二 , 即等差数列的通项公式及前 n 项和公式中 “ 知三求二 ” 的问题 , 一般是通过通项公式和前 n 项和公式联立方程 ( 组 ) 来求解 . 这种方法是解决数列运算的基本方法 . 在运算中要注意等差数列性质的应用 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 (1) 设等差数列 { a n } 的前 n 项之和为 S n , 已知 a 2 = 3, a 5 = 9, 则 S 5 等于 ( 　　 ) A.15 　　　　 B.20 　　　　 C.25 　　　　 D.30 (2) 若等差数列 { a n } 的前 5 项和 S 5 = 25, 且 a 2 = 3, 则 a 7 = ( 　　 ) A.12 B.13 C.14 D.15 (3) 已知 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项的和 , 若 a 3 = 16, S 20 = 20, S n = 110, 则 n= 　　　　 .   探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : (1)C 　 (2)B 　 (3)10 或 11 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 利用 a n 与 S n 的关系解决问题 例 2 (1) 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n = 5 n - 1, 求数列 { a n } 的通项公式 ; (2) 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n = , 求数列 { a n } 的通项公式 . 分析 : 利用 a n 与 S n 的关系求通项公式 , 注意对首项的检验 . 解 : (1) 当 n= 1 时 , a 1 =S 1 = 5 1 - 1 = 4 . 当 n ≥ 2 时 , a n =S n -S n- 1 = (5 n - 1) - (5 n- 1 - 1) = 5 n - 5 n- 1 = 4·5 n- 1 . 由于 a 1 = 4 也适合 a n = 4·5 n- 1 , 因此数列 { a n } 的通项公式是 a n = 4·5 n- 1 ( n ∈ N * ) . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n , 求通项公式 a n 的步骤 1 . 当 n= 1 时 , a 1 =S 1 . 2 . 当 n ≥ 2 时 , 根据 S n 写出 S n- 1 , 化简 a n =S n -S n- 1 . 3 . 如果 a 1 也满足当 n ≥ 2 时 , a n =S n -S n- 1 的通项公式 , 那么数列 { a n } 的通项公式为 a n =S n -S n- 1 ; 如果 a 1 不满足当 n ≥ 2 时 , a n =S n -S n- 1 的通项公式 , 那么数列 { a n } 的通 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n =n 2 - 9 n , 第 k 项满足 5 0, 所以 a n -a n- 1 - 4 = 0, 即 a n -a n- 1 = 4, 所以数列 { a n } 为首项为 2, 公差为 4 的等差数列 , 故 a n = 2 + 4( n- 1) = 4 n- 2 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 等差数列在实际生活中的应用 例 4 某人用分期付款的方式购买一件家电 , 价格为 1 150 元 , 购买当天先付 150 元 , 以后每月的这一天都交付 50 元 , 并加付欠款利息 , 月利率为 1% . 若交付 150 元后的一个月开始算分期付款的第一个月 , 则分期付款的第 10 个月该交付多少钱 ? 全部贷款付清后 , 买这件家电实际花费多少钱 ? 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : 设每次交款数额依次为 a 1 , a 2 , … , a 20 , 则 a 1 = 50 + 1 000 × 1% = 60, a 2 = 50 + (1 000 - 50) × 1% = 59 . 5, … a 10 = 50 + (1 000 - 9 × 50) × 1% = 55 . 5, 即第 10 个月应付款 55 . 5 元 . 由于 { a n } 是以 60 为首项 , 以 - 0 . 5 为公差的等差数列 , 所以有 即全部付清后实际付款 1 105 + 150 = 1 255( 元 ) . 反思感悟 等差数列的实际应用的解题策略 建立等差数列的模型时 , 要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 3 甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动 , 甲第 1 分钟走 2 m, 以后每分钟比前 1 分钟多走 1 m, 乙每分钟走 5 m . (1) 甲、乙开始运动后几分钟相遇 ? (2) 如果甲、乙到达对方起点后立即返回 , 甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1 m, 乙继续每分钟走 5 m, 那么开始运动几分钟后第二次相遇 ? 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 整理得 n 2 + 13 n- 140 = 0 . 解得 n= 7, n=- 20( 舍去 ) . 所以第 1 次相遇是在开始运动后 7 分钟 . (2) 设 n 分钟后第 2 次相遇 , 由题意 , 整理得 n 2 + 13 n- 420 = 0 . 解得 n= 15, n=- 28( 舍去 ) . 所以第 2 次相遇是在开始运动后 15 分钟 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 由 a n 与 S n 的关系求通项 典例 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n =n 2 + 2, 求此数列的通项公式 . 解 : 当 n ≥ 2 时 , a n =S n -S n- 1 =n 2 + 2 - ( n- 1) 2 - 2 = 2 n- 1; 当 n= 1 时 , a 1 =S 1 = 1 2 + 2 = 3, 不适合上式 , 方法点睛 已知数列 { a n } 的前 n 项和公式 S n , 求 a n 时应分三步 . 第一步 , 利用 a 1 =S 1 求 a 1 . 第二步 , 当 n ≥ 2 时 , 求 a n =S n -S n- 1 . 第三步 , 检验 a 1 是否适合当 n ≥ 2 时得到的 a n . 若适合 , 则 a n 即为所求 ; 若不适合 , 将 a n 用分段函数表示 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 设 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和 , 公差 d=- 2, 若 S 10 =S 11 , 则 a 1 = ( 　　 ) A.18 B.20 C.22 D.24 答案 : B 2 . 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n =-n 2 + 3 n , 若 a k+ 1 =- 16, 则 k 的值等于 ( 　　 ) A.9 B.8 C.7 D.6 解析 : 当 n ≥ 2 时 , a n =S n -S n- 1 =-n 2 + 3 n+ ( n- 1) 2 - 3( n- 1) =- 2 n+ 4 . 又 a 1 =S 1 = 2 也适合上式 , 所以 a n =- 2 n+ 4( n ∈ N * ), 由 a k+ 1 =- 16, 得 - 2( k+ 1) + 4 =- 16, 解得 k= 9 . 答案 : A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 若 a 6 =S 3 = 12, 则 { a n } 的通项 a n = 　　　　 .   解析 : 设 { a n } 的公差为 d , 故 a n = 2 + ( n- 1) × 2 = 2 n . 答案 : 2 n 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 某电影院中 , 从第 2 排开始 , 每一排的座位数比前一排多两个座位 , 第 1 排有 18 个座位 , 最后一排有 36 个座位 , 则该电影院共有 　　　 个 座位 .   解析 : 从第 1 排开始每排座位数形成等差数列 { a n }, 其中 a 1 = 18, a n = 36 . 公差为 d= 2, 则 36 = 18 + 2( n- 1), 解得 n= 10 . 答案 : 270 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n =- 2 n 2 + 3 n+ 1 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; (2) 数列 { a n } 是否为等差数列 ? 解 : (1) 当 n= 1 时 , a 1 =S 1 = 2; 当 n ≥ 2 时 , a n =S n -S n- 1 = ( - 2 n 2 + 3 n+ 1) - [ - 2( n- 1) 2 + 3( n- 1) + 1] =- 4 n+ 5 . 又当 n= 1 时 , a 1 = 2 不满足上式 , 所以数列 { a n } 的通项公式为 (2) 由 (1) 知 , 当 n ≥ 2 时 , a n+ 1 -a n =- 4( n+ 1) + 5 - ( - 4 n+ 5) =- 4 , 但 a 2 -a 1 =- 3 - 2 =- 5, 所以数列 { a n } 不是等差数列 .