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- 2021-06-16 发布
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等差数列的前n项和
教材分析
等差数列的前n项和是数列的重要内容,也是数列研究的基本问题.在现实生活中,等差数列的求和是经常遇到的一类问题.等差数列的求和公式,为我们求等差数列的前n项和提供了一种重要方法.
教材首先通过具体的事例,探索归纳出等差数列前n项和的求法,接着推广到一般情况,推导出等差数列的前n项和公式.为深化对公式的理解,通过对具体例子的研究,弄清等差数列的前n项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系,并能熟练地运用等差数列的前n项和公式解决问题.这节内容重点是探索掌握等差数列的前n项和公式,并能应用公式解决一些实际问题,难点是前n项和公式推导思路的形成.
教学目标
1. 通过等差数列前n项和公式的推导,让学生体验数学公式产生、形成的过程,培养学生抽象概括能力.
2. 理解和掌握等差数列的前n项和公式,体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系,并能用公式解决一些实际问题,培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力.
3. 在研究公式的形成过程中,培养学生的探究能力、创新能力和科学的思维方法.
任务分析
这节内容主要涉及等差数列的前n项公式及其应用.
对公式的推导,为便于学生理解,采取从特殊到一般的研究方法比较适宜,如从历史上有名的求和例子1+2+3+……+100的高斯算法出发,一方面引发学生对等差数列求和问题的兴趣,另一方面引导学生发现等差数列中任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律,进而发现求等差数列前n项和的一般方法,这样自然地过渡到一般等差数列的求和问题.对等差数列的求和公式,要引导学生认识公式本身的结构特征,弄清前n项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系.为加深对公式的理解和运用,要强化对实例的教学,并通过对具体实例的分析,引导学生学会解决问题的方法.特别是对实际问题,要引导学生从实际情境中发现等差数列的模型,恰当选择公式.对于等差数列前n项和公式和二次函数之间的联系,可引导学生拓展延伸.
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教学设计
一、问题情景
1. 在200多年前,有个10岁的名叫高斯的孩子,在老师提出问题:“1+2+3+…+100=?”时,很快地就算出了结果.他是怎么算出来的呢?他发现1+100=2+99=3+97=…=50+51=101,于是1+2+…+100=101×50=5050.
2. 受高斯算法启发,你能否求出1+2+3+…+n的和.
3. 高斯的方法妙在哪里呢?这种方法能否推广到求一般等差数列的前n项和?
二、建立模型
1. 数列的前n项和定义
对于数列{an},我们称a1+a2+…+an为数列{an}的前n项和,用Sn表示,即Sn=a1+a2+…+an.
2. 等差数列的求和公式
(1)如何用高斯算法来推导等差数列的前n项和公式?
对于公差为d的等差数列{an}:
Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n—1)d], ①
依据高斯算法,将Sn表示为Sn=an+(an—d)+(an—2d)+…+[an—(n—1)d]. ②
由此得到等差数列的前n项和公式
小结:这种方法称为反序相加法,是数列求和的一种常用方法.
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(2)结合通项公式an=a1+(n—1)d,又能得怎样的公式?
(3)两个公式有什么相同点和不同点,各反映了等差数列的什么性质?
学生讨论后,教师总结:相同点是利用二者求和都须知道首项a1和项数n;不同点是前者还须要知道an,后者还须要知道d.因此,在应用时要依据已知条件合适地选取公式.公式本身也反映了等差数列的性质:前者反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和都等于首、末两项之和,后者反映了等差数的前n项和是关于n的没有常数项的“二次函数”.
三、解释应用
[例 题]
1. 根据下列各题中的条件,求相应的等差数列{an}的前n项和Sn.
(1)a1= —4,a8= —18,n=8.
(2)a1=14.5,d=0.7,an=32.
注:恰当选用公式进行计算.
2. 已知一个等差数列{an}前10项的和是310,前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗?
分析:将已知条件代入等差数列前n项和的公式后,可得到两个关于a1与d的关系式,它们都是关于a1与d的二元一次方程,由此可以求得a1与d,从而得到所求前n项和的公式.
解:由题意知
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注:(1)教师引导学生认识到等差数列前n项和公式,就是一个关于an,a1,n或者a1,n,d的方程,使学生能把方程思想和前n项和公式相结合,再结合通项公式,对a1,d,n,an及Sn这五个量知其三便可求其二.
(2)本题的解法还有很多,教学时可鼓励学生探索其他的解法.例如,
3. 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年的时间,在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算,2001年该市用于“校校通”工程的经费500万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?
教师引学生分析:每年“校校通”工程的经费数构成公差为50的等差数列.问题实质是求该数列的前10项的和.
解:根据题意,从2001~2010年,该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以,可以建立一个等差数列{an},表示从2001年起各年投入的资金,其中,a1=500,d=50.
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那么,到2010年(n=10),投入的资金总额为
答:从2001~2010年,该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.
注:教师引导学生规范应用题的解题步骤.
4. 已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?
解:根据
由此可知,数列{an}是一个首项为,公差为2的等差数列.
思考:一般地,数列{an}前n项和Sn=An2+Bn(A≠0),这时{an}是等差数列吗?为什么?
[练 习]
1. 一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛车:从时速10km/h开始,每隔2s速度提高20km/h.如果测试时间是30s,测试距离是多长?
2. 已知数列{an}的前n项的和为Sn=n2+n+4,求这个数列的通项公式.
3. 求集合M={m|m=2n—1,n∈N*,且m<60}的元素个数,并求这些元素的和.
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四、拓展延伸
1. 数列{an}前n项和Sn为Sn=pn2+qn+r(p,q,r为常数且p≠0),则{an}成等差数列的条件是什么?
2. 已知等差数列5,4,3,…的前n项和为Sn,求使Sn最大的序号n的值.
分析1:等差数列的前n项和公式可以写成Sn=n2+ (a1-)n,所以Sn可以看成函数y=x2+(a1- )x(x∈N*).当x=n时的函数值.另一方面,容易知道Sn关于n的图像是一条抛物线上的一些点.因此,我们可以利用二次函数来求n的值.
解:由题意知,等差数列5,4,3,…的公差为-,所以
于是,当n取与最接近的整数即7或8时,Sn取最大值.
分析2:因为公差d= -<0,所以此数列为递减数列,如果知道从哪一项开始它后边的项全为负的,而它之前的项是正的或者是零,那么就知道前多少项的和最大了.即使然后从中求出n.
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