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- 2021-06-16 发布
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第二讲 参数方程
二、圆锥曲线的参数方程
第 2 课时 双曲线的参数方程和抛物线
的参数方程
A 级 基础巩固
一、选择题
1.下列不是抛物线 y2=4x 的参数方程的是( )
A.
x=4t2,
y=4t (t 为参数) B.
x=t2
4
,
y=t
(t 为参数)
C.
x=t2,
y=2t (t 为参数) D.
x=2t2,
y=2t (t 为参数)
解析:逐一验证知 D 不满足 y2=4x.
答案:D
2.方程 x=et+e-t,
y=et-e-t (t 为参数)的图形是( )
A.双曲线左支 B.双曲线右支
C.双曲线上支 D.双曲线下支
解析:因为 x2-y2=e2t+2+e-2t-(e2t-2+e-2t)=4,
且 x=et+e-t≥2 et·e-t=2,
所以表示双曲线的右支.
答案:B
3.若曲线 x=2pt,
y=2pt2 (t 为参数)上异于原点的不同两点 M1,M2 所
对应的参数分别是 t1,t2,则弦 M1M2 所在直线的斜率是( )
A.t1+t2 B.t1-t2[来源:学_科_网 Z_X_X_K]
C. 1
t1+t2
D. 1
t1-t2
[来源:Zxxk.Com]
解析:依题意 M1(2pt1,2pt21),M2(2pt2,2pt22),
所以 k=2pt21-2pt22
2pt1-2pt2
=(t1+t2)(t1-t2)
t1-t2
=t1+t2.
答案:A
4.点 P(1,0)到曲线 x=t2,
y=2t (参数 t∈R)上的点的最短距离为
( )
A.0 B.1 C. 2 D.2
解析:设 Q(x,y)为曲线上任一点,则 d2=|PQ|2=(x-1)2+y2=(t2
-1)2+4t2=(t2+1)2.
由 t2≥0 得 d2≥1,所以 dmin=1.
答案:B
5.P 为双曲线 x=4sec θ,
y=3tan θ (θ为参数)上任意一点,F1,F2 为其两
个焦点,则△F1PF2 重心的轨迹方程是( )
A.9x2-16y2=16(y≠0)
B.9x2+16y2=16(y≠0)
C.9x2-16y2=1(y≠0)
D.9x2+16y2=1(y≠0)
解析:由题意知 a=4,b=3,可得 c=5,[来源:Zxxk.Com]
故 F1(-5,0),F2(5,0),
设 P(4sec θ,3tan θ),重心 M(x,y),则
x=-5+5+4sec θ
3
=4
3sec θ,y=0+0+3tan θ
3
=tan θ,[来源:Z。xx。k.Com]
从而有 9x2-16y2=16(y≠0).
答案:A
二、填空题
6.双曲线 x= 3sec 2,
y=tan 2
的顶点坐标为________.
解析:由双曲线的参数方程知双曲线的顶点在 x 轴,且 a= 3,
故顶点坐标为(± 3,0).
答案:(± 3,0)
7.如果双曲线 x=sec θ,
y=6tan θ (θ为参数)上一点 P 到它的右焦点的距
离是 8,那么 P 到它的左焦点距离是________.
解析:由双曲线参数方程可知 a=1,
故 P 到它左焦点的距离|PF|=10 或|PF|=6.
答案:10 或 6
8.过抛物线 y=2t,
x=t2 (t 为参数)的焦点作直线交抛物线于 A(x1,
y1),B(x2,y2)两点,如果 x1+x2=6,则|AB|=________.
解析:化为普通方程是:x=y2
4
,即 y2=4x,所以 p=2.
所以|AB|=x1+x2+p=8.
答案:8
三、解答题
9.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 x=t+1,
y=2t
(t 为参数),曲线 C 的参数方程为 x=2tan2θ,
y=2tan θ (θ为参数),试求
直线 l 与曲线 C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.
解:因为直线 l 的参数方程为 x=t+1,
y=2t.
所以消去参数 t 后得直线的普通方程为 2x-y-2=0.①[来源:Z。xx。k.Com]
同理得曲线 C 的普通方程为 y2=2x.②
①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2,2),
1
2
,-1 .
10.过点 A(1,0)的直线 l 与抛物线 y2=8x 交于 M、N 两点,求
线段 MN 的中点的轨迹方程.
解:设抛物线的参数方程为 x=8t2,
y=8t (t 为参数),
可设 M(8t21,8t1),N(8t22,8t2),
则 kMN=8t2-8t1
8t22-8t21
= 1
t1+t2
.
又设 MN 的中点为 P(x,y),
则
x=8t21+8t22
2
,
y=8t1+8t2
2 .
所以 kAP= 4(t1+t2)
4(t21+t22)-1.
由 kMN=kAP 知 t1·t2=-1
8
,
又 x=4(t21+t22),
y=4(t1+t2),
则 y2=16(t21+t22+2t1t2)=16
x
4
-1
4 =4(x-1).
所以所求轨迹方程为 y2=4(x-1).
B 级 能力提升
1.已知抛物线 C1: x=8t2,
y=8t (t 为参数),圆 C2 的极坐标方程为ρ
=r(r>0),若斜率为 1 的直线过抛物线 C1 的焦点,且与圆 C2 相切,
则 r=( )
A.1 B. 2
2 C. 2 D.2
解析:抛物线 C1 的普通方程为 y2=8x,焦点为(2,0),故直线
方程为 y=x-2,即 x-y-2=0,圆的直角坐标方程为 x2+y2=r2,
由题意 |-2|
12+(-1)2
=r,得 r= 2.
答案:C
2.(2015·广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C1 的极坐标方程为ρ(cos θ
+sin θ)=-2,曲线 C2 的参数方程为 x=t2,
y=2 2t(t 为参数),则 C1 与 C2
交点的直角坐标为________.
解析:曲线 C 1 的直角坐标方程为 x+y=-2,曲线 C2 的普通方
程为 y2=8x,由 x+y=-2,
y2=8x
得 x=2,
y=-4,所以 C1 与 C2 交点的直角坐
标为(2,-4).
答案:(2,-4)
3.如图所示,设 M 为双曲线x2
a2
-y2
b2
=1(a>0,b>0)上任意一点,过
点 M 作双曲线两条渐近线的平行线,分别与两条渐近线交于 A,B
两点,试求平行四边形 MAOB 的面积.
解:双曲线的渐近线方程为 y=±b
ax.
不妨设 M 为双曲线右支上一点,其坐标为(asec φ,btan φ),则
直线 MA 的方程为 y-btan φ=-b
a(x-asec φ),
将 y=b
ax 代入解得点 A 的横坐标为xA=a
2(sec φ-tan φ),
同理可得点 B 的横坐标为 xB=a
2(sec φ-tan φ).
设∠AOx=α,则 tan α=b
a
,
所以平行四边形 MAOB 的面积为 S▱MAOB=|OA|·|OB|·sin 2α-
xA
cos α
·xB
cos α
·sin 2α=a2(sec2φ-tan2φ)
4cos2α
·sin 2α=a2
2
·tan α=a2
2
·b
a
=
ab
2 .
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