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  • 2021-06-16 发布

人教版高中数学选修4-4练习:第二讲二第2课时双曲线的参数方程和抛物线的参数方程word版含解析

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第二讲 参数方程 二、圆锥曲线的参数方程 第 2 课时 双曲线的参数方程和抛物线 的参数方程 A 级 基础巩固 一、选择题 1.下列不是抛物线 y2=4x 的参数方程的是( ) A. x=4t2, y=4t (t 为参数) B. x=t2 4 , y=t (t 为参数) C. x=t2, y=2t (t 为参数) D. x=2t2, y=2t (t 为参数) 解析:逐一验证知 D 不满足 y2=4x. 答案:D 2.方程 x=et+e-t, y=et-e-t (t 为参数)的图形是( ) A.双曲线左支 B.双曲线右支 C.双曲线上支 D.双曲线下支 解析:因为 x2-y2=e2t+2+e-2t-(e2t-2+e-2t)=4, 且 x=et+e-t≥2 et·e-t=2, 所以表示双曲线的右支. 答案:B 3.若曲线 x=2pt, y=2pt2 (t 为参数)上异于原点的不同两点 M1,M2 所 对应的参数分别是 t1,t2,则弦 M1M2 所在直线的斜率是( ) A.t1+t2 B.t1-t2[来源:学_科_网 Z_X_X_K] C. 1 t1+t2 D. 1 t1-t2 [来源:Zxxk.Com] 解析:依题意 M1(2pt1,2pt21),M2(2pt2,2pt22), 所以 k=2pt21-2pt22 2pt1-2pt2 =(t1+t2)(t1-t2) t1-t2 =t1+t2. 答案:A 4.点 P(1,0)到曲线 x=t2, y=2t (参数 t∈R)上的点的最短距离为 ( ) A.0 B.1 C. 2 D.2 解析:设 Q(x,y)为曲线上任一点,则 d2=|PQ|2=(x-1)2+y2=(t2 -1)2+4t2=(t2+1)2. 由 t2≥0 得 d2≥1,所以 dmin=1. 答案:B 5.P 为双曲线 x=4sec θ, y=3tan θ (θ为参数)上任意一点,F1,F2 为其两 个焦点,则△F1PF2 重心的轨迹方程是( ) A.9x2-16y2=16(y≠0) B.9x2+16y2=16(y≠0) C.9x2-16y2=1(y≠0) D.9x2+16y2=1(y≠0) 解析:由题意知 a=4,b=3,可得 c=5,[来源:Zxxk.Com] 故 F1(-5,0),F2(5,0), 设 P(4sec θ,3tan θ),重心 M(x,y),则 x=-5+5+4sec θ 3 =4 3sec θ,y=0+0+3tan θ 3 =tan θ,[来源:Z。xx。k.Com] 从而有 9x2-16y2=16(y≠0). 答案:A 二、填空题 6.双曲线 x= 3sec 2, y=tan 2 的顶点坐标为________. 解析:由双曲线的参数方程知双曲线的顶点在 x 轴,且 a= 3, 故顶点坐标为(± 3,0). 答案:(± 3,0) 7.如果双曲线 x=sec θ, y=6tan θ (θ为参数)上一点 P 到它的右焦点的距 离是 8,那么 P 到它的左焦点距离是________. 解析:由双曲线参数方程可知 a=1, 故 P 到它左焦点的距离|PF|=10 或|PF|=6. 答案:10 或 6 8.过抛物线 y=2t, x=t2 (t 为参数)的焦点作直线交抛物线于 A(x1, y1),B(x2,y2)两点,如果 x1+x2=6,则|AB|=________. 解析:化为普通方程是:x=y2 4 ,即 y2=4x,所以 p=2. 所以|AB|=x1+x2+p=8. 答案:8 三、解答题 9.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 x=t+1, y=2t (t 为参数),曲线 C 的参数方程为 x=2tan2θ, y=2tan θ (θ为参数),试求 直线 l 与曲线 C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标. 解:因为直线 l 的参数方程为 x=t+1, y=2t. 所以消去参数 t 后得直线的普通方程为 2x-y-2=0.①[来源:Z。xx。k.Com] 同理得曲线 C 的普通方程为 y2=2x.② ①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2,2), 1 2 ,-1 . 10.过点 A(1,0)的直线 l 与抛物线 y2=8x 交于 M、N 两点,求 线段 MN 的中点的轨迹方程. 解:设抛物线的参数方程为 x=8t2, y=8t (t 为参数), 可设 M(8t21,8t1),N(8t22,8t2), 则 kMN=8t2-8t1 8t22-8t21 = 1 t1+t2 . 又设 MN 的中点为 P(x,y), 则 x=8t21+8t22 2 , y=8t1+8t2 2 . 所以 kAP= 4(t1+t2) 4(t21+t22)-1. 由 kMN=kAP 知 t1·t2=-1 8 , 又 x=4(t21+t22), y=4(t1+t2), 则 y2=16(t21+t22+2t1t2)=16 x 4 -1 4 =4(x-1). 所以所求轨迹方程为 y2=4(x-1). B 级 能力提升 1.已知抛物线 C1: x=8t2, y=8t (t 为参数),圆 C2 的极坐标方程为ρ =r(r>0),若斜率为 1 的直线过抛物线 C1 的焦点,且与圆 C2 相切, 则 r=( ) A.1 B. 2 2 C. 2 D.2 解析:抛物线 C1 的普通方程为 y2=8x,焦点为(2,0),故直线 方程为 y=x-2,即 x-y-2=0,圆的直角坐标方程为 x2+y2=r2, 由题意 |-2| 12+(-1)2 =r,得 r= 2. 答案:C 2.(2015·广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C1 的极坐标方程为ρ(cos θ +sin θ)=-2,曲线 C2 的参数方程为 x=t2, y=2 2t(t 为参数),则 C1 与 C2 交点的直角坐标为________. 解析:曲线 C 1 的直角坐标方程为 x+y=-2,曲线 C2 的普通方 程为 y2=8x,由 x+y=-2, y2=8x 得 x=2, y=-4,所以 C1 与 C2 交点的直角坐 标为(2,-4). 答案:(2,-4) 3.如图所示,设 M 为双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)上任意一点,过 点 M 作双曲线两条渐近线的平行线,分别与两条渐近线交于 A,B 两点,试求平行四边形 MAOB 的面积. 解:双曲线的渐近线方程为 y=±b ax. 不妨设 M 为双曲线右支上一点,其坐标为(asec φ,btan φ),则 直线 MA 的方程为 y-btan φ=-b a(x-asec φ), 将 y=b ax 代入解得点 A 的横坐标为xA=a 2(sec φ-tan φ), 同理可得点 B 的横坐标为 xB=a 2(sec φ-tan φ). 设∠AOx=α,则 tan α=b a , 所以平行四边形 MAOB 的面积为 S▱MAOB=|OA|·|OB|·sin 2α- xA cos α ·xB cos α ·sin 2α=a2(sec2φ-tan2φ) 4cos2α ·sin 2α=a2 2 ·tan α=a2 2 ·b a = ab 2 .