北师大版高三数学复习专题-平面向量基础达标-第5章第2节 7页

第五章 第二节 一、选择题 1．若向量 a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则 c＝( ) A．3a＋b B．3a－b C．－a＋3b D．a＋3b [答案] B [解析] 设 c＝λa＋μb，则(4,2)＝(λ－μ，λ＋μ)， 即 λ－μ＝4， λ＋μ＝2， 解得 λ＝3， μ＝－1， ∴c＝3a－B． 2．(文)已知 a＝(4,5)，b＝(8，y)，且 a∥b，则 y 等于( ) A．5 B．10 C．32 5 D．15 [答案] B [解析] ∵a∥b， ∴4y－40＝0，得 y＝10. (理)已知向量 a＝(1,1)，b＝(2，x)，若 a＋b 与 4b－2a 平行，则实数 x 的值是( ) A．－2 B．0 C．1 D．2 [答案] D [解析] 考查向量的坐标运算及两向量互相平行的充要条件． a＋b＝(3,1＋x)，4b－2a＝(6,4x－2)， 由题意可得 3×(4x－2)－6(1＋x)＝0，∴x＝2. 3．(文)(2014·北京高考)已知向量 a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则 2a－b＝( ) A．(5,7) B．(5,9) C．(3,7) D．(3,9) [答案] A [解析] 本题考查了平面向量的坐标运算． ∵a＝(2,4)，b＝(－1,1)， ∴2a－b＝2(2,4)－(－1,1)＝(5,7)． (理)(2014·福建高考)在下列向量组中，可以把向量 a＝(3,2)表示出来的是( ) A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3) [答案] B [解析] 一个平面内任意不共线的两个向量都可以作为平面的基底，它能表示出平面内 的其它向量．A 中，e1＝0，且 e2 与 a 不共线；C、D 中的两个向量都是共线向量且不与 a 共线，故表示不出 A．B 中的两个向量不共线，可以作为平面的一组基底，故可表示出 A． 4．(2014·德州模拟)设OB→ ＝xOA→ ＋yOC→ ，x，y∈R 且 A，B，C 三点共线(该直线不过点 O)，则 x＋y＝( ) A．－1 B．1 C．0 D．2 [答案] B [解析] 如图，设AB→＝λAC→， 则OB→ ＝OA→ ＋AB→＝OA→ ＋λAC→ ＝OA→ ＋λ(OC→ －OA→ ) ＝OA→ ＋λOC→ －λOA→ ＝(1－λ)OA→ ＋λOC→ ∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1. 5．(文)已知点 A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下面的结论： ①直线 OC 与直线 BA 平行；②AB→＋BC→＝CA→； ③OA→ ＋OC→ ＝OB→ ；④AC→＝OB→ －2OA→ . 其中正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] C [解析] ∵OC→ ＝(－2,1)，BA→＝(2，－1)， ∴OC→ ＝－BA→，∴OC→ ∥BA→. 又由坐标知点 O，C，A，B 不共线， ∴OC∥BA，①正确； ∵AB→＋BC→＝AC→，∴②错误； ∵OA→ ＋OC→ ＝(0,2)＝OB→ ，∴③正确； ∵OB→ －2OA→ ＝(－4,0)，AC→＝(－4,0)， ∴④正确．故选 C． (理)如图，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线 AC，BD 的交点，N 是线段 OD 的中点， AN 的延长线与 CD 交于点 E，则下列说法错误的是( ) A．AC→＝AB→＋AD→ B．BD→ ＝AD→ －AB→ C．AO→ ＝1 2AB→＋1 2AD→ D．AE→＝5 3AB→＋AD→ [答案] D [解析] 由向量加法的三角形法则知： BD→ ＝AD→ －AB→正确，排除 B； 由向量加法的平行四边形法则知： AC→＝AB→＋AD→ ， AO→ ＝1 2AC→＝1 2AB→＋1 2AD→ ，排除 A，C，故选 D． 6．设 a 是已知的平面向量且 a≠0.关于向量 a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量 b，总存在向量 c，使 a＝b＋c； ②给定向量 b 和 c，总存在实数λ和μ，使 a＝λb＋μc； ③给定向量 b 和正数μ，总存在单位向量 c，使 a＝λb＋μC． ④给定正数λ和μ，总存在单位向量 b 和单位向量 c，使 a＝λb＋μC． 上述命题中的向量 b、c 和 a 在同一平面内，且两两不共线，则真命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] C [解析] 对于①，由向量的三角形加法法则可知其正确；由平面向量基本定理知②正确； 对③，可设 e 与 b 是不共线单位向量，则存在实数λ，y 使 a＝λb＋ye，若 y>0，则取μ＝y，c ＝e，若 y<0，则取μ＝－y，c＝－e，故③正确；④显然错误，给定正数λ和μ，不一定满足“以 |a|，|λb|，|μc|为三边长可以构成一个三角形”，这里单位向量 b 和 c 就不存在．可举反例：λ ＝μ＝1，b 与 c 垂直，此时必须 a 的模为 2才成立． 二、填空题 7．已知向量 a＝(2x＋1,4)，b＝(2－x,3)，若 a∥b，则实数 x 的值等于________． [答案] 1 2 [解析] ∵a∥b，∴3(2x＋1)－4(2－x)＝0，∴x＝1 2. 8．(2014·陕西高考)设 0<θ<π 2 ，向量 a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若 a∥b，则 tanθ ＝________. [答案] 1 2 [解析] 本题考查向量共线，倍角公式． ∵a∥b，∴sin2θ＝cos2θ， 2sinθcosθ＝cos2θ，即sinθ cosθ ＝tanθ＝1 2. 9．e1，e2 是不共线向量，且 a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，若 b，c 为 一组基底，则 a＝________. [答案] － 1 18b＋ 7 27c [解析] 设 a＝λ1b＋λ2c， 则－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)， 即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2， ∴ 4λ1－3λ2＝－1， 2λ1＋12λ2＝3， 解得 λ1＝－ 1 18 ， λ2＝ 7 27 ， ∴a＝－ 1 18b＋ 7 27C． 三、解答题 10．已知 O 为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM→ ＝t1OA→ ＋t2AB→. (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件； (2)求证：当 t1＝1 时，不论 t2 为何实数，A、B、M 三点都共线． [解析] (1)OM→ ＝t1OA→ ＋t2AB→＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)． 当点 M 在第二或第三象限时，有 4t2<0， 2t1＋4t2≠0， 故所求的充要条件为 t2<0 且 t1＋2t2≠0. (2)证明：当 t1＝1 时，由(1)知OM→ ＝(4t2,4t2＋2)， ∵AB→＝OB→ －OA→ ＝(4,4)，AM→ ＝OM→ －OA→ ＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2AB→， 又∵AB、AM 有公共点 A，∴A、B、M 三点共线. 一、选择题 1．△ABC 的三内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、C．设向量 p＝(a＋c，b)，q＝(b －a，c－a)．若 p∥q，则角 C 的大小为( ) A．π 6 B．π 3 C．π 2 D．2π 3 [答案] B [解析] ∵p∥q，∴(a＋c)(c－a)＝b(b－a)， 即 ab＝a2＋b2－c2，∴cosC＝a2＋b2－c2 2ab ＝1 2 ， 又∵C∈(0，π)，∴C＝π 3 ，故选 B． 2．O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OP→ ＝OA→ ＋λ(AB→ ＋AC→)，λ∈[0，＋∞)，则 P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心 [答案] D [解析] ∵OP→ ＝OA→ ＋λ(AB→＋AC→)， ∴OP→ －OA→ ＝λ(AB→＋AC→)，λ∈[0，＋∞)， ∴AP→＝λ(AB→＋AC→)， ∴P 在 BC 边的中线上． 故 P 的轨迹通过△ABC 的重心，故选 D． 二、填空题 3．若三点 A(－2，－2)，B(0，m)，C(n,0)(mn≠0)共线，则1 m ＋1 n 的值为________． [答案] －1 2 [解析] 解法 1：设 BC 方程为y m ＋x n ＝1， ∵A、B、C 共线， ∴－2 m ＋－2 n ＝1， ∴1 m ＋1 n ＝－1 2. 解法 2：∵A、B、C 共线， ∴AB→∥AC→， ∵AB→＝(2，m＋2)，AC→＝(n＋2,2)， ∴4－(m＋2)(n＋2)＝0， ∴mn＋2m＋2n＝0， ∵mn≠0，∴1 m ＋1 n ＝－1 2. 4．已知向量集合 M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{b|b＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈ R}，则 M∩N＝________. [答案] {(－2，－2)} [解析] 由(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)， 由 1＋3λ1＝－2＋4λ2 2＋4λ1＝－2＋5λ2 ， 解得 λ1＝－1 λ2＝0 ，∴M∩N＝{(－2，－2)}． 三、解答题 5．在△ABC 中，点 P 是 AB 上一点，且CP→＝2 3CA→＋1 3CB→ ，Q 是 BC 的中点，AQ 与 CP 的交点为 M，又CM→ ＝tCP→，试求 t 的值． [解析] ∵CP→＝2 3CA→＋1 3CB→， ∴3CP→＝2CA→＋CB→， 即 2CP→－2CA→＝CB→－CP→，∴2AP→＝PB→， 即 P 为 AB 的一个三等分点(靠近点 A)， 如图所示， ∵A，M，Q 三点共线， ∴设CM→ ＝xCQ→ ＋(1－x)CA→＝x 2CB→＋(x－1)AC→， 而CB→＝AB→－AC→，∴CM→ ＝x 2AB→＋(x 2 －1)AC→. 又CP→＝AP→－AC→＝1 3AB→－AC→， 由已知CM→ ＝t CP→可得， x 2AB→＋(x 2 －1)AC→＝t(1 3AB→－AC→)， ∴ x 2 ＝t 3 ， x 2 －1＝－t ，解得 t＝3 4. 6．如图所示，已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求 AC 和 OB 交点 P 的坐标． [解析] 解法 1：设 P(x，y)，则OP→ ＝(x，y)， ∵OP→ ，OB→ 共线，OB→ ＝(4,4)， ∴4x－4y＝0. ① 又CP→＝(x－2，y－6)，CA→＝(2，－6)， 且向量CP→，CA→共线， ∴－6(x－2)－2(6－y)＝0. ② 解由①②组成的方程组，得 x＝3，y＝3， ∴点 P 的坐标为(3,3)． 解法 2：设OP→ ＝tOB→ ＝t(4,4)＝(4t,4t)，则AP→＝OP→ －OA→ ＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)， AC→＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)． 由AP→，AC→共线的充要条件知 (4t－4)×6－4t×(－2)＝0， 解得 t＝3 4 ，∴OP→ ＝(4t,4t)＝(3,3)， ∴P 点坐标为(3,3)．