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- 2021-06-16 发布
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板块命题点专练(三)
命题点一 基本初等函数(Ⅰ)
命题指数:☆☆☆☆☆ 难度:中、低 题型:选择题、填空题
1.(2016·全国甲卷)下列函数中,其定义域和值域分别与函数 y=10lg x的定义域和值域相
同的是( )
A.y=x B.y=lg x
C.y=2x D.y= 1
x
解析:选 D 函数 y=10lg x的定义域与值域均为(0,+∞).
函数 y=x的定义域与值域均为(-∞,+∞).
函数 y=lg x的定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞).
函数 y=2x的定义域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞).
函数 y= 1
x
的定义域与值域均为(0,+∞).故选 D.
2.(2016·全国丙卷)已知 a=24
3
,b=42
5
,c=251
3
,则( )
A.b1 时,函数 f(x)=xa(x>0)单调递增,函数 g(x)=logax 单调递增,且
过点(1,0),由幂函数的图象性质可知 C错;当 00)单调递增,函
数 g(x)=logax单调递减,且过点(1,0),排除 A,又由幂函数的图象性质可知 B错,因此选
D.
5.(2015·山东高考)若函数 f(x)=2x+1
2x-a
是奇函数,则使 f(x)>3 成立的 x 的取值范围为
( )
A.(-∞,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,+∞)
解析:选 C 因为函数 y=f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),即
2-x+1
2-x-a
=-
2x+1
2x-a
.化简
可得 a=1,则
2x+1
2x-1
>3,即
2x+1
2x-1
-3>0,即
2x+1-32x-1
2x-1
>0,故不等式可化为
2x-2
2x-1
<0,即
1<2x<2,解得 00,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则 a
+b=________.
解析:当 a>1时,函数 f(x)=ax+b在[-1,0]上为增函数,由题意得
a-1+b=-1,
a0+b=0
无解.当 00,b>0,ab=8,则当 a的值为________时,log2a·log2(2b)
取得最大值.
解析:由于 a>0,b>0,ab=8,所以 b=8
a
.
所以 log2a·log2(2b)=log2a·log2
16
a =log2a·(4-log2a)=-(log2a-2)2+4,
当且仅当 log2a=2,即 a=4时,log2a·log2(2b)取得最大值 4.
答案:4
命题点二 函数与方程
命题指数:☆☆☆ 难度:高、中 题型:选择题、填空题
1.(2014·湖北高考)已知 f(x) 是定义在 R上的奇函数,当 x≥0 时, f(x)=x2-3x. 则函
数 g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合为( )
A.{1,3} B.{-3,-1,1,3}
C.{2- 7,1,3} D.{-2- 7,1,3}
解析:选 D 当 x≥0时,函数 g(x)的零点即方程 f(x)=x-3的根,由 x2-3x=x-3,
解得 x=1 或 3;当 x<0时,由 f(x)是奇函数得-f(x)=f(-x)=x2-3(-x),即 f(x)=-x2-
3x.由 f(x)=x-3得 x=-2- 7(正根舍去).选 D.
2.(2014·北京高考)已知函数 f(x)=6
x
-log2x,在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是
( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,4) D.(4,+∞)
解析:选 C 因为 f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(4)=3
2
-log24=-
1
2
<0,
所以函数 f(x)的零点所在区间为(2,4),故选 C.
3.
2016·山东高考已知函数 fx=
|x|,x≤m,
x2-2mx+4m,x>m, 其中 m>0.若存在实数 b,
使得关于 x的方程 f(x)=b有三个不同的根,则 m的取值范围是________.
解析:作出 f(x)的图象如图所示.当 x>m时,x2-2mx+4m=(x
-m)2+4m-m2,∴要使方程 f(x)=b 有三个不同的根,则 4m-m2<
m,即 m2-3m>0.又 m>0,解得 m>3.
答案:(3,+∞)
4.(2015·湖北高考)函数 f(x)=2sin xsin
x+π
2 -x2的零点个数为________.
解析:f(x)=2sin xsin
x+π
2 -x2=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2,由 f(x)=0,得 sin 2x=
x2.
设 y1=sin 2x,y2=x2,在同一平面直角坐标系中画出二者的图象,如图所示.由图象
知,两个函数图象有两个交点,故函数 f(x)有两个零点.
答案:2
命题点三 函数模型及其应用
命题指数:☆☆☆ 难度:高、中 题型:选择题、填空题
1.(2015·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1升汽油行驶的里程,下图描述
了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )
A.消耗 1升汽油,乙车最多可行驶 5千米
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C.甲车以 80千米/小时的速度行驶 1小时,消耗 10升汽油
D.某城市机动车最高限速 80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
解析:选 D 根据图象知消耗 1升汽油,乙车最多行驶里程大于 5千米,故选项 A错;
以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油
最少,故选项 B错;甲车以 80千米/小时的速度行驶时燃油效率为 10 千米/升,行驶 1小
时,里程为 80千米,消耗 8升汽油,故选项 C错;最高限速 80千米/小时,丙车的燃油效
率比乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选项 D对.
2.(2015·四川高考)某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储藏温度 x(单位:℃)满足函数
关系 y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在 0℃的保鲜时间是
192小时,在 22℃的保鲜时间是 48小时,则该食品在 33℃的保鲜时间是________小时.
解析:由已知条件,得 192=eb,∴b=ln 192.
又∵48=e22k+b=e22k+ln 192=192e22k=192(e11k)2,
∴e11k=
48
192
1
2 =
1
4
1
2 =
1
2
.
设该食品在 33℃的保鲜时间是 t小时,则 t=e33k+ln 192=192e33k=192(e11k)3=192×
1
2 3
=24.
答案:24
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