2020年高中数学新教材同步必修第二册 第8章 微专题2　与球有关的内切、外接问题 15页

第八章　立体几何初步 与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路 类似，此处以多面体的外接球为例).研究多面体的外接球问题，既要运用多面 体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球 的半径之间的关系. 一、直接法(公式法) 例1　(1)一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为 1,2,3，则此球的表面积为________.14π 解析　因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，长方体体对角线 长为 ，故球的表面积为14π. (2)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一 个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为3，则这个球的体积为_____. 解析　设正六棱柱的底面边长为x，高为h， 反思 感悟 本题运用公式R2＝r2＋d2求球的半径，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1.构造正方体 例2－1　(1)一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 A.3π B.4π C. D.6π √ 解析　联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体， 则正方体的面对角线即为四面体的棱长， 所以此球的表面积为3π. (2)在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE与 △BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合于点P，则三棱锥P－DCE的外接球的 体积为 √ 解析　如图，因为AE＝EB＝DC＝1，∠DAB＝∠CBE＝∠DEA＝60°， 所以AD＝AE＝EB＝BC＝DC＝DE＝CE＝1， 2.构造长方体 例2－2　(1)若三棱锥的三个侧面两两垂直，且三条侧棱长分别为1， 则其 外接球的表面积是______.6π 解析　据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， 于是长方体的外接球就是三棱锥的外接球. 设其外接球的半径为R， 故其外接球的表面积S＝4πR2＝6π. (2)已知球O的面上四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝ ， BC＝ ，则球O的体积等于_______. 解析　因为DA⊥平面ABC，AB⊥BC， 所以DA，AB，BC两两垂直，构造如图所示的长方体， (3)已知点A，B，C，D在同一个球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥DC，若AB＝6，AC ＝ ，AD＝8，则B，C两点间的球面距离是_____. 解析　因为AB⊥平面BCD，BC⊥DC， 所以AB，BC，DC两两垂直，构造如图所示的长方体， 则AD为球的直径，AD的中点O为球心，OB＝OC＝4为半径， 要求B，C两点间的球面距离， 只要求出∠BOC即可， 反思 感悟 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a，b，c，则 就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该 三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R＝ . 三、寻求轴截面圆半径法 例3　正四棱锥S－ABCD的底面边长和各侧棱长都为 ，点S，A，B，C，D都在同一 球面上，则此球的体积为_____. 解析　设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心为O，如图所示. ∴由球的截面的性质，可得OO1⊥平面ABCD. 又SO1⊥平面ABCD，∴球心O必在SO1所在的直线上. ∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是 外接球的半径. 得SA2＋SC2＝AC2. ∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形. 反思 感悟 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个 轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路 是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的 一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价 转化的数学思想方法值得我们学习. 四、确定球心位置法 例4　已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，AB⊥BC且PA＝7，PB＝5，PC＝ ， AC＝10，则球O的体积为_______. 所以知AC2＝PA2＋PC2，所以PA⊥PC，如图所示， 在Rt△ABC中斜边为AC，在Rt△PAC中斜边为AC，取斜边的中点O， 在Rt△ABC中OA＝OB＝OC，在Rt△PAC中OP＝OA＝OC， 所以在几何体中OP＝OB＝OC＝OA， 本课结束 更多精彩内容请登录：www.91taoke.com