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- 2021-06-16 发布
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模块综合测评
(时间 120分钟，满分 150分)
一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小
题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2014·北京高考)设 a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 设 a＝1，b＝－2，则有 a>b，但 a2bD⇒/a2>b2；
设 a＝－2，b＝1，显然 a2>b2，但 ab2D⇒/a>b.故“a>b”是
“a2>b2”的既不充分也不必要条件．
【答案】 D
2．过点 P(1，－3)的抛物线的标准方程为( )
A．x2＝1
3
y或 x2＝－
1
3
y
B．x2＝1
3
y
C．y2＝－9x或 x2＝1
3
y
D．x2＝－
1
3
y或 y2＝9x
【解析】 P(1，－3)在第四象限，所以抛物线只能开口向右或
向下，设方程为 y2＝2px(p＞0)或 x2＝－2py(p＞0)，代入 P(1，－3)得
y2＝9x或 x2＝－
1
3
y.故选 D.
【答案】 D
3．(2016·南阳高二检测)下列命题中，正确命题的个数是( )
①命题“若 x2－3x＋2＝0，则 x＝1”的逆否命题为“若 x≠1，
则 x2－3x＋2≠0”；
②“p∨q为真”是“p∧q为真”的充分不必要条件；
③若 p∧q为假命题，则 p，q均为假命题；
④对命题 p：∃x0∈R，使得 x20＋x0＋1<0，则¬p：∀x∈R，均有
x2＋x＋1≥0.
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 ①正确；②由 p∨q为真可知，p，q至少有一个是真
命题即可，所以 p∧q不一定是真命题；反之，p∧q是真命题，p，q
均为真命题，所以 p∨q一定是真命题，②不正确；③若 p∧q为假命
题，则 p，q至少有一个假命题，③不正确；④正确．
【答案】 B
4．函数 f(x)＝x2＋2xf′(1)，则 f(－1)与 f(1)的大小关系为( )
A．f(－1)＝f(1) B．f(－1)f(1) D．无法确定
【解析】 f′(x)＝2x＋2f′(1)，
令 x＝1，得 f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.
∴f(x)＝x2＋2x·f′(1)＝x2－4x，
f(1)＝－3，f(－1)＝5.
∴f(－1)>f(1)．
【答案】 C
5．(2014·福建高考)命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是
( )
A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0
B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0
D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0
【解析】 故原命题的否定为：∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0.故选
C.
【答案】 C
6．已知双曲线的离心率 e＝2，且与椭圆
x2
24
＋
y2
8
＝1 有相同的焦
点，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±1
3
x B．y＝± 3
3
x
C．y＝± 3x D．y＝±2 3x
【解析】 双曲线的焦点为 F(±4,0)，e＝c
a
＝2，∴a＝2，b＝ c2－a2
＝2 3，∴渐近线方程为 y＝±b
a
x＝± 3x.
【答案】 C
7．已知双曲线
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线 y2
＝2px(p＞0)的准线分别交于 A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的
离心率为 2，△AOB的面积为 3，则 p＝( ) 【导学号：26160107】
A．1 B.3
2
C．2 D．3
【解析】 因为双曲线的离心率 e＝c
a
＝2，所以 b＝ 3a，所以双
曲线的渐近线方程为 y＝±b
a
x＝± 3x，与抛物线的准线 x＝－
p
2
相交于
A
－
p
2
，
3
2
p
，B
－
p
2
，－
3
2
p
，所以△AOB的面积为
1
2
×
p
2
× 3p＝ 3，
又 p＞0，所以 p＝2.
【答案】 C
8．点 P在曲线 y＝x3－x＋3上移动，过点 P的切线的倾斜角的
取值范围为( )
A．[0，π) B.
0，π
2 ∪
3π
4
，π
C.
0，π
2 ∪
π
2
，
3π
4 D.
0，π
4 ∪
3π
4
，π
【解析】 f′(x)＝3x2－1≥－1，即切线的斜率 k≥－1，所以切
线的倾斜角的范围为
0，π
2 ∪
3π
4
，π
.
【答案】 B
9．椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经
椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球
盘，点 A，B是它的两个焦点，其长轴长为 2a，焦距为 2c(a＞c＞0)，
静放在点 A的小球(小球的半径不计)，从点 A沿直线出发，经椭圆壁
反弹后第一次回到点 A时，小球经过的路程是( )
A．2(a－c) B．2(a＋c)
C．4a D．以上答案均有可能
【解析】 如图，本题应分三种情况讨论：
当小球沿着 x轴负方向从点 A出发，经椭圆壁反弹后第一次回到
点 A时，小球经过的路程是 2(a－c)；
当小球沿着 x轴正方向从点 A出发，经椭圆壁反弹后第一次回到
点 A时，小球经过的路程是 2(a＋c)；
当是其他情况时，从点 A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回
到点 A时，小球经过的路程是 4a.
【答案】 D
10．若函数 f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1在区间(0,4)上是减函数，
则 k的取值范围是( )
A.
－∞，
1
3 B.
0，1
3
C.
0，1
3 D.
－∞，
1
3
【解析】 f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x.
由题意知 3kx2＋6(k－1)x≤0，
即 kx＋2k－2≤0在(0,4)上恒成立，
得 k≤ 2
x＋2
，x∈(0,4)，又
1
3
＜
2
x＋2
＜1，∴k≤1
3
.
【答案】 D
11．若直线 y＝2x与双曲线
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)有公共点，则双
曲线的离心率的取值范围为( )
A．(1, 5) B．( 5，＋∞)
C．(1, 5] D．[ 5，＋∞)
【解析】 双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为 y＝b
a
x.
由条件知，应有
b
a
>2，
故 e＝c
a
＝
a2＋b2
a
＝ 1＋
b
a 2> 5.
【答案】 B
12．(2014·湖南高考)若 0ln x2－ln x1
B．ex2－ex1x1ex2
D．x2ex1g(x2)，
∴x2ex1>x1ex2.
【答案】 C
二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，将答案填
在题中的横线上)
13．已知 a，b，c∈R，命题“若 a＋b＋c＝3，则 a2＋b2＋c2≥3”
的否命题是________．
【解析】 a＋b＋c＝3的否定是 a＋b＋c≠3，
a2＋b2＋c2≥3的否定是 a2＋b2＋c2<3.
【答案】 若 a＋b＋c≠3，则 a2＋b2＋c2<3
14 ． 曲 线 y ＝ xex ＋ 2x ＋ 1 在 点 (0,1) 处 的 切 线 方 程 为
________________. 【导学号：26160108】
【解析】 y′＝ex＋xex＋2，k＝y′|x＝0＝e0＋0＋2＝3，
所以切线方程为 y－1＝3(x－0)，
即 3x－y＋1＝0.
【答案】 3x－y＋1＝0
15.如图 1为函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象，f′(x)为函数 f(x)
的导函数，则不等式 xf′(x)＜0的解集为________________．
图 1
【解析】 当 x＜0时，f′(x)＞0，此时 f(x)为增函数，
由图象可知 x∈(－∞，－ 3)；
当 x＞0时，f′(x)＜0，此时 f(x)为减函数，由图象可知 x∈(0, 2)．
∴xf′(x)＜0的解集为(－∞，－ 3)∪(0, 2)．
【答案】 (－∞，－ 3)∪(0, 2)
16．若 O和 F分别是椭圆
x2
4
＋
y2
3
＝1的中心和左焦点，点 P为椭
圆上的任意一点，则OP→ ·FP→的最大值为________．
【解析】 由椭圆
x2
4
＋
y2
3
＝1可得点 F(－1,0)，点 O(0，0)，设 P(x，
y)，－2≤x≤2，则OP→ ·FP→＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3
1－x2
4 ＝
1
4
x2＋x＋3
＝
1
4
(x＋2)2＋2，当且仅当 x＝2时，OP→ ·FP→取得最大值 6.
【答案】 6
三、解答题(本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明，
证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分 10分)设命题 p：方程
x2
1－2m
＋
y2
m＋4
＝1表示的
曲线是双曲线；命题 q：∃x∈R,3x2＋2mx＋m＋6<0.若命题 p∧q为假
命题，p∨q为真命题，求实数 m的取值范围．
【解】 对于命题 p，因为方程
x2
1－2m
＋
y2
m＋4
＝1表示的曲线是
双曲线，所以(1－2m)(m＋4)<0，解得 m<－4或 m>1
2
，则命题 p：m<
－4或 m>1
2
.
对于命题 q，因为∃x∈R,3x2＋2mx＋m＋6<0，即不等式 3x2＋2mx
＋m＋6<0在实数集 R 上有解，
所以Δ＝(2m)2－4×3×(m＋6)>0，
解得 m<－3或 m>6.
则命题 q：m<－3或 m>6.
因为命题 p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以命题 p与命题 q
有且只有一个为真命题．
若命题 p为真命题且命题 q为假命题，
即
m<－4或 m>1
2
，
－3≤m≤6，
得
1
2
6，
得－4≤m<－3.
综上，实数 m的取值范围为[－4，－3)∪
1
2
，6
.
18．(本小题满分 12分)设函数 f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知 g(x)
＝f(x)－f′(x)是奇函数．
(1)求 b，c的值；
(2)求 g(x)的单调区间与极值．
【解】 (1)∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，
∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
从而 g(x)＝f(x)－f′(x)
＝x3＋bx2＋cx－(3x2＋2bx＋c)
＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c
∵g(x)是奇函数，
∴－x3＋(b－3)x2－(c－2b)x－c
＝－[x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c]
得(b－3)x2－c＝0对 x∈R 都成立．
∴
b－3＝0，
c＝0，
得 b＝3，c＝0.
(2)由(1)知 g(x)＝x3－6x，从而 g′(x)＝3x2－6，由此可知，(－∞，
－ 2)和( 2，＋∞)是函数 g(x)的单调递增区间；(－ 2， 2)是函数
g(x)的单调递减区间．g(x)在 x＝－ 2时，取得极大值，极大值为 4 2，
g(x)在 x＝ 2时，取得极小值，极小值为－4 2.
19．(本小题满分 12分)已知抛物线 y2＝4x截直线 y＝2x＋b所得
的弦长为|AB|＝3 5.
(1)求 b的值； 【导学号：26160109】
(2)在 x轴上求一点 P，使△APB的面积为 39.
【解】 (1)联立方程组
y2＝4x，
y＝2x＋b，
消去 y，得方程：4x2＋(4b
－4)x＋b2＝0，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x1＋x2＝1－b，x1x2＝b2
4
，
|AB|＝ 5 x1＋x22－4x1x2
＝ 5 1－b2－b2＝3 5，
解得 b＝－4.
(2)将 b＝－4代入直线 y＝2x＋b，得 AB所在的直线方程为 2x－
y－4＝0，
设 P(a,0)，则 P到直线 AB的距离为 d＝|2a－4|
5
.
△APB的面积 S＝1
2
×
|2a－4|
5
×3 5＝39，则 a＝－11或 15，
所以 P点的坐标为(－11,0)或(15,0)．
20．(本小题满分 12分)某商品每件成本 9元，售价 30元，每星
期卖出 432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的
商品件数与商品单价的降低值 x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，
已知商品单价降低 2元时，一星期多卖出 24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成 x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
【解】 (1)设商品降低 x元时，多卖出的商品件数为 kx2，若记
商品在一个星期的销售利润为 f(x)，
则依题意有 f(x)＝(30－x－9)·(432＋kx2)
＝(21－x)·(432＋kx2)，
又由已知条件 24＝k·22，于是有 k＝6，
所以 f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,30]．
(2)根据(1)，有 f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12)．
当 x变化时，f(x)与 f′(x)的变化情况如下表：
x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,30]
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x)
极小
值
极大
值
故 x＝12时，f(x)取到极大值．
因为 f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，
所以定价为 30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．
21．(本小题满分 12 分)(2016·大连高二检测)已知函数 f(x)＝1
2
x2
＋aln x(a<0)．
(1)若 a＝－1，求函数 f(x)的极值；
(2)若∀x>0，不等式 f(x)≥0恒成立，求实数 a的取值范围．
【解】 由题意，x>0.
(1)当 a＝－1时，f(x)＝1
2
x2－ln x，
f′(x)＝x－1
x
，
令 f′(x)＝x－1
x
>0，解得 x>1，
所以 f(x)的单调增区间为(1，＋∞)；
f′(x)＝x－1
x
<0，得 00，不等式 f(x)≥0恒成立，
所以－
a
2
＋aln －a≥0，所以 a≥－e，
所以 a的取值范围为[－e,0)．
22．(本小题满分 12 分)已知椭圆 C：x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a＞b＞0)过点
A
1，3
2 ，且离心率 e＝1
2
.
(1)求椭圆 C的标准方程；
(2)若直线 l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N，且线
段MN的垂直平分线过定点 G
1
8
，0
，求 k的取值范围.
【导学号：26160110】
【解】 (1)由题意 e＝1
2
，
即 e＝c
a
＝
1
2
，∴a＝2c.
∴b2＝a2－c2＝(2c)2－c2＝3c2.
∴椭圆 C的方程可设为
x2
4c2
＋
y2
3c2
＝1.
代入 A
1，3
2 ，得
1
4c2
＋
3
2 2
3c2
＝1.
解得 c2＝1，
∴所求椭圆 C的方程为
x2
4
＋
y2
3
＝1，
(2)由方程组
x2
4
＋
y2
3
＝1，
y＝kx＋m，
消去 y，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
由题意，Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，
整理得：3＋4k2－m2＞0，①
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
MN的中点为 P(x0，y0)，
x0＝
x1＋x2
2
＝－
4km
3＋4k2
，
y0＝kx0＋m＝ 3m
3＋4k2
.
由已知，MN⊥GP，即 kMN·kGP＝－1，
即 k·
3m
3＋4k2
－0
－
4km
3＋4k2
－
1
8
＝－1，
整理得：m＝－
3＋4k2
8k
.
代入①式，并整理得：k2＞ 1
20
，
即|k|＞ 5
10
，∴k∈
－∞，－
5
10 ∪
5
10
，＋∞
.
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