四川省绵阳南山中学2020届高三下学期第四次诊断模拟考试数学（文）试题 Word版含解析 23页

- 1 - 绵阳南山中学 2020 年绵阳高考适应性考试模拟 文科数学试题卷 一､选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1. 已知集合  2 3 0A x x x   ，   ln 2B x y x   ，则 A B  （ ） A.  2, B.  2,3 C.  3, D.  , 2 【答案】B 【解析】 分析： 解不等式得集合 A,求函数定义域得集合 B，根据交集定义求解集合交集即可. 详解： 集合  2 3 0 { | 0 3}A x x x x x      ，     ln 2 2B x y x x x    ， 所以    |2 3 2,3A B x x     . 故选 B. 点睛： 本题主要考查了集合的描述法和集合交集的运算，属于基础题. 2. 定义运算 a b ad bc c d   ，若复数 z满足 0 1 2 z i i i     （ i为虚数单位），则 z的共轭复 数 z在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 由已知得  2 1 0iz i i    ，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由题意，  2 1 0 1 2 z i iz i i i i         ， ∴     2 11 1 1 2 2 2 2 i iiz i i i        ， - 2 - 则 1 1 2 2 z i  ， ∴ z 在复平面内对应的点的坐标为 1 1, 2 2       ，在第一象限． 故选 A． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3. 某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位 数和众数分别是（ ） A. 46,45 B. 45,46 C. 46,47 D. 47,45 【答案】A 【解析】 分析：由茎叶图，根据样本的中位数和众数定义求解即可. 详解：由茎叶图可知，出现次数最多的是数 45，将所有数从小到大排列后，中间两数为 45,47， 故中位数为46，故选 A. 点睛：本题主要考查众数、中位数求法，属于简单题.要解答本题首先要弄清众数、中数的定 义，然后根据定义和公式求解，（1）中位数，如果样本容量是奇数中间的数既是中位数，如 果样本容量为偶数中间两位数的平均数既是中位数；（2）众数是一组数据中出现次数最多的 数据. 4. 2020 年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难， 社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出 3 名医生，2 名护士支援湖北，现 从这 5 人中任选 2人定点支援湖北某医院，则恰有 1 名医生和 1 名护士被选中的概率为（ ） A. 0.7 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.3 【答案】C 【解析】 【分析】 现从这 5 人中任选 2人定点支援湖北某医院，2名护士分别记为 A、B，3名医生分别记为 a、 b、 c，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可得所求事件的概率. - 3 - 【详解】重庆某医院派出 3 名医生，2 名护士支援湖北，现从这 5 人中任选 2 人定点支援湖北 某医院， 2名护士记为 A、 B，3名医生分别记为 a、b、c， 所有的基本事件有：  ,A B 、  ,A a 、  ,A b 、  ,A c 、  ,B a 、  ,B b 、  ,B c 、  ,a b 、  ,a c 、  ,b c ，共10种， 其中事件“恰有 1 名医生和 1 名护士被选中”所包含的基本事件有：  ,A a 、 ,A b 、 ,A c 、  ,B a 、  ,B b 、  ,B c ，共6种， 因此，所求事件的概率为 6 0.6 10 P   . 故选：C. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是 基础题. 5. 《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数 列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则该竹子的容积为（ ） A. 100 11 升 B. 90 11 升 C. 254 33 升 D. 201 22 升 【答案】D 【解析】 分析：利用等差数列通项公式，列出关于首项 1a 、公差 d 的方程组，解方程组可得 1a 与 d 的 值，从而可得数列 na 的通项公式，进而可得结果. 详解：设竹子自上而下各自节的容积构成数列 na 且  1 1na a n d  ，则 1 2 3 4 1 9 8 7 1 4 6 3 3 21 4 a a a a a d a a a a d             ， 1 13 22 , 7 56 a d       竹子的容积为 1 2 3 4 5 6 7 8 9a a a a a a a a a        1 9 8 13 7 2019 9 36 2 22 66 22 a d        ，故选 D. 点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 等差数 列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量 1, , , , ,n na d n a S ，一般可以 “知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解. - 4 - 6. 已知 ,  是两个不同的平面， l是一条直线，给出下列说法： ①若 ,l     ，则 l ∥ ；②若 ,l   ∥ ∥ ，则 l ∥ ；③若 ,l    ∥ ，则 l  ； ④若 ,l   ∥ ，则 l  .其中说法正确的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 分析： ①和②可举反例，l  ，即可判断；③运用线面垂直的判定，和面面平行的性质，即可判断； ④由线面平行的性质和面面垂直的性质，可举反例 / /l  或 l与 相交且 l与  不垂直. 详解： ①若 ,l     ，则 / /l  ，或 l  ； ②若 ,l     ，则 l  ，则 / /l  ，或 l  ； ③若 , //l    ，则 l  ,正确； ④若 ,l    ，则 l  ，或 / /l  或 l与  相交且 l与 不垂直. 故选 C. 点睛：本题主要考查线面、面面的位置关系，注意线在面内的反例情况，难度不大. 7. 执行如图所示的程序框图，若输入的 0.001t  ，则输出的 n （ ） - 5 - A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 分析：本题给只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可（注意避 免计算错误）． 详解：第一次循环， 1 1, , 1 2 4 S m n   ；第二次循环， 1 1, , 2 8 8 S m n   ；第三次循环， 1 1, , 3 64 16 S m n   ；第四次循环， 1 1, , 4, 1024 32 S m n S t    ，不成立，此时结束循 环，所以输出的n的值为 4，故选 C. 点睛： 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区 分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构； (4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给 出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输 出条件即可. - 6 - 8. 已知函数 ( ) sin( )f x A x   ，且 ( ) ( ), ( ) ( ) 3 3 6 6 f x f x f x f x           ，则实 数的值可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 分析：首先根据题的条件，确定出函数图像的对称中心的坐标和对称轴方程，之后借着对称 中心到对称轴的距离与函数周期的关系，得到 2 6 3 T k    ，再结合 2T    求得 6 3k   ， 从而求得结果. 详解：根据题意可知，点 ( ,0) 3  是图像的一个对称点，直线 6 x   是图像的一条对称轴，所 以会有 2 1 4 3 6 6 k T       ，从而可以求得 2 6 3 T k    ( )k N  ，所以有 2 2 ( ) 6 3 k N k       ，从而得 6 3k   ，从而可以求得可以是 3，故选 B. 点睛：该题考查了三角函数图像的对称性、周期性等，在做题的过程中，需要我们注意对称 中心与对称轴的距离与周期的关系，还有要注意就是取值可以是谁这些关键字. 9. 已知点  4,4P 是抛物线 2: 2C y px 上的一点，F 是其焦点，定点  1,4M  ，则 MPF 的外接圆的面积为（ ） A. 125 32  B. 125 16  C. 125 8  D. 125 4  【答案】B 【解析】 分析：由点  4,4P 是抛物线 2: 2C y px 上的一点可求得抛物线方程，进而可得焦点坐标， 利用正弦定理求出外接圆半径，即可得结果. 详解：将点  4,4P 坐标代入抛物线C方程 2 2y px ，得 24 2 4p  ，解得 2,p  点  1,0F ，据题设分析知， 2 24 , 4 2 2 5 5 sin MPF MF     ，又 2 ( MF R R sin MPF   为 MPF 外接球半径）， 2 5 5 52 , ,4 4 5 R R MPF     外接圆面积 - 7 - 2 2 5 5 125 4 16 S R             ，故选 B. 点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对 角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一 个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 10. 从区间[ ]0,1 随机抽取 2n个数 1x , 2x ，…， nx ， 1y ， 2y ，…， ny ，构成 n 个数对  1 1,x y ，  2 2,x y ，…， ,n nx y ，其中两数的平方和小于 1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得 到的圆周率 的近似值为 A. 4n m B. 2n m C. 4m n D. 2m n 【答案】C 【解析】 此题为几何概型．数对 ( , )i ix y 落在边长为 1的正方形内，其中两数的平方和小于 1 的数落在 四分之一圆内，概型为 4 1 mP n    ，所以 4m n   ．故选 C． 11. 已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     ，点 0 0( , )P x y 是直线 2 0bx ay a   上任意一点，若 圆 2 2 0 0( ) ( ) 1x x y y    与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为 （ ） A. (1,2] B. (1, 2) C. (2, ) D. [ 2, ) 【答案】A 【解析】 分析：由题意可知直线与双曲线的渐近线平行，结合题意得到关于离心率的不等式，求解不 等式即可求得最终结果. 详解：直线 bx-ay+2a=0，即 2by x a   ， 圆    2 2 0 0 1x x y y    与双曲线 C 的右支没有公共点， - 8 - 则直线 y= b a x+2 与双曲线的渐近线 by x a  之间的距离大于或等于 1， 即 2 2 2 2 1 1 d eb a     ，所以1 2e  . 点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范 围)，常见有两种方法： ①求出 a，c，代入公式 ce a  ； ②只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2＝c2－a2转化为 a，c 的齐次式， 然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可 得 e(e 的取值范围)． 12. 设函数  f x 是偶函数  f x 的导函数，  f x 在区间  0,+ 上的唯一零点为 2，并且 当  1,1x  时，     0xf x f x  ，则使得   0f x  成立的 x的取值范围是（ ） A.  2,2 B.    , 2 2,    C.  1,1 D.    2,0 0,2  【答案】A 【解析】 【分析】 令 g（x）=xf（x），由导数得到函数 g（x）的单调性和零点，再根据题意得到函数 g（x）为 奇函数，由此可得函数 g（x）的图象，结合图象可得所求的范围． 【详解】令 g（x）=xf（x）  , 1,1x  ，则 g′（x）=xf′（x）+f（x）， ∵当 x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0， ∴函数 g（x）在（﹣1，1）上单调递减． ∵g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=﹣xf（x）=﹣g（x）， ∴g（x）在 R 是奇函数． ∵f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为 2， 即 g（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为 2， ∴g（x）在（﹣∞，﹣1）单调递增，在（﹣1，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增， 且 g（0）=0，g（2）=0，g（﹣2）=0， - 9 - 画出函数 g（x）的图象，如下图所示， 结合图象可得，当 x≥0时，由 f（x）＜0，即 xf（x）＜0，可得 0≤x＜2； 当 x＜0 时，由 f（x）＜0，即 xf（x）＞0，可得﹣2＜x＜0． 综上 x的取值范围是（﹣2，2）． 故选 A． 【点睛】由于本题中的不等式为抽象不等式，故解题时可借助于函数的图象求解，解题时根 据函数的单调性、零点和奇偶性得到函数的大体图象，然后结合图象求解，体现了数形结合 在解题中的应用． 二､填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中横线上) 13. 已知向量 a  与b  的夹角为60， 2a   ， 3b   ，则 3 2a b    __________. 【答案】6. 【解析】 【分析】 求出 2(3 2 )a b   即得解. 【详解】由题意，向量 ,a b   的夹角为60 , 2, 3a b    ， 所以 2 22 2 2(3 2 ) 9 12 4 9 2 12 2 3cos60 4 3 36a b a a b b                   ， 所以 3 2 6a b  r r . 故答案为：6 【点睛】本题主要考查向量模的计算，考查向量的数量积运算，意在考查学生对这些知识的 理解掌握水平. 14. 若 tan 3, 0, 2         ，则 cos 4       ______． - 10 - 【答案】 2 5 5 【解析】 分析： 由 tan 3, 0, 2         ，根据同角三角函数之间的关系，求出 cos与 sin的值，利用两角 差的余弦公式求解即可. 详解： 由 tan 3  ，可得 3 cos sin   . 又 2 2sin cos 1   ，结合 0, 2       ，可得 3 10 10cos 10 10 sin  ， .  2 2 5cos cos 4 2 5 sin           ， 故答案为 2 5 5 . 点睛： 本题主要考查两角差的余弦公式以及同角三角函数之间的关系，同角三角函数之间的关系包 含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之 间的转换. 15. 已知实数 ,x y满足不等式组 0, 0, 2 8, 3 9, x y x y x y          则 3z x y  的最大值是__________． 【答案】12 【解析】 分析： 画出不等式组 0 0 2 8 3 9 x y x y x y          表示的可行域，平移 3z x y  ，结合所画可行域，可求得 3z x y  的最大值. - 11 - 详解： 作出不等式组 0 0 2 8 3 9 x y x y x y          表示的平面区域如阴影部分， 分析知，平移直线 3z x y  ，由图可得直线经过点  A 0,4 时， z取得最大值，且 max 0 3 4 12z     ， 故答案为12. 点睛： 本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步 骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标 函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点 就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 16. 一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为 2，如果任意转动 该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为__________． 【答案】 4 20( , ) 3 3 【解析】 - 12 - 如图，正方体 ABCD-EFGH，若要使液面形状不可能为三角形，则液面必须高于平面 EHD，且低 于平面 AFC．而当平面 EHD 平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转到正方体，液面形 状都不可能为三角形．设液体的体积为V ，则 G EHD B AFCABCD EFGHV V V V   正方体 ，而 21 1 42 2 3 2 3G EHDV       ， 3 21 1 20=2 2 2 3 2 3B AFCABCD EFGHV V       正方体 ，所以液体 的体积的范围为 4 20( , ) 3 3 ． 点睛：本题主要考查正方体的结构特征，正方体、棱锥的体积求法，考查空间想象力，属于 中档题． 三､解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17. ABC 的内角 , ,A B C所对的边分别为 , ,a b c，若 , ,A B C成等差数列， 且 2c a ． （1）求角 A的大小； （2）设数列 na 满足 2 cosn na nC ，前n项和为 nS ，若 20nS  ，求 n的 值． 【答案】（1） 6  ；（2） 5n  或 4n  【解析】 【分析】 (1)先由题得到 B= 3  ,再利用余弦定理对 c=2a 化简即得角 A 的大小.(2)先化简已知得 2 cosn na nC = 0, 2 cos . 2 2 , n n nn n      是奇数 是偶数 再利用等比数列的求和公式求出 n 的值. - 13 - 【详解】（1）由已知2 ,B A C  又 A B C    ，所以 3 B   ．又由 2c a ， 所以 2 2 2 2 2 2 24 2 cos 3 , 3 b a a a a a c a b         ， 所以△ABC 为直角三角形，所以 , 2 6 C A     ． （2） 2 cosn na nC = 0, 2 cos . 2 2 , n n nn n      是奇数 是偶数 所以 2 2 4 2 2 1 2 4(1 2 )0 2 0 2 0 2 20 1 4 k k n k kS S S               ， 所以 2 2 62 64 2 , 2,k k     所以 n=4 或 n=5. 【点睛】(1)本题主要考查余弦定理解三角形，考查等比数列的求和，意在考查学生对这些知 识的掌握水平和分析推理能力.(2)第 2 问，也可以对 n 分奇数和偶数两种情况讨论，也可以 利用本题的解法，避免了分类讨论. 18. 如图,在直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中, 1 1 1 1A B AC ,D是 1 1BC 的中点, 1 1 1 2A A A B  . （1）求证： 1AB //平面 1ACD； （2）若异面直线 1AB 和 BC所成角为60,求四棱锥 1 1A CDB B 的体积. 【答案】（1）证明见解析.（2） 2 【解析】 【分析】 (1) 连 1AC 交 1AC于点 E ,连DE .再根据中位线证明 1/ /DE AB 即可. (2) 根据(1)可知 1C DE 或其补角为异面直线 1AB 和 BC所成角,再判断可得 1C DE△ 为等 - 14 - 边三角形,即可求得 2AC  ,再根据线面垂直的判定与性质可得 1AD 平面 1CDB B ,继而求 得四棱锥 1 1A CDB B 的体积即可. 【详解】（1）证明：如图,连 1AC 交 1AC于点 E ,连DE . 因为直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中,四边形 1 1AAC C是矩形,故点 E是 1AC 中点, 又D是 1 1BC 的中点,故 1/ /DE AB , 又 1AB 平面 1ACD ,DE 平面 1ACD ,故 1AB //平面 1ACD . （2）解：由（1）知 1/ /DE AB ,又 1 / /C D BC ,故 1C DE 或其补角为异面直线 1AB 和BC所 成角. 设 2AC m ,则 2 1 1C E m  , 2 1 1C D m  , 2DE  ,故 1C DE△ 为等腰三角形,故 1 60C DE   , 故 1C DE△ 为等边三角形,则有 2 1 2m   ,得到 1m  . 故 1 1 1A B C△ 为等腰直角三角形,故 1 1 1AD C B ,又 1B B 平面 1 1 1A BC , 1AD 平面 1 1 1A BC , 故 1 1AD B B ,又 1 1 1 1B B C B B ,故 1AD 平面 1CDB B , 又梯形 1CDB B的面积  1 1 2 2 2 2 3 2 2CDB BS      , 1 2AD  , 则四棱锥 1 1A CDB B 的体积 1 1 1 1 3 2 2 2 3 3CDB BV S AD      . - 15 - 【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及根据异面夹角求解线段长度的方法,同时也考查 了锥体体积的求法,需要根据题意确定线面垂直,找到锥体的高进而求得体积.属于中档题. 19. 某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司 2018 年连续六 个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示 （1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润 y（单位：百万元）与月份代码 x之 间的关系，求 y关于 x的线性回归方程，并预测该公司 2019 年 3 月份的利润； （2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有 ,A B两种型号的新型材料可供 选择，按规定每种新型材料最多可使用 4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不 同，现对 ,A B两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材 料使用寿命的频数统计如下表： 使用寿命/材料 类型 1个月 2个月 3个月 4个月 总计 A 20 35 35 10 100 B 10 30 40 20 100 - 16 - 如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？ 参考数据： 6 1 96i i y   6 1 371i i i x y   参考公式：回归直线方程 ˆˆ ˆy bx a  ，其中         1 1 2 2 2 1 1 ˆ = n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx               【答案】(1) ˆ 2 9y x  , 31百万元；(2) B型新材料. 【解析】 【分析】 (1)根据所给的数据，做出变量 ,x y的平均数，求出最小二乘法所需要的数据，可得线性回归 方程的系数b ,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出 a的值，写出线性回归方程； 将 11x  代入所求线性回归方程，求出对应的 y的值即可得结果； (2)求出 A型新材料对应 产品的使用寿命的平均数与 B型新材料对应产品的使用寿命的平均数，比较其大小即可得结 果. 【详解】（1）由折线图可知统计数据  ,x y 共有6组， 即 (1,11)， (2,13)， (3,16)， (4,15)， (5,20)， (6,21)， 计算可得 1 2 3 4 5 6 3.5 6 x        ， 6 1 1 1 9 16 6 6i i y     所以   1 22 1 ˆ n i ii n ii x y nxy b x n x         371 6 3.5 16 2 17.5     ， 1ˆˆ 6 2 3.5 9ˆa y bx      ， 所以月度利润 y与月份代码 x之间的线性回归方程为 ˆ 2 9y x  . 当 11x  时， 2 11 9 31ŷ     . 故预计甲公司 2019 年 3 月份的利润为31百万元. （2） A型新材料对应产品的使用寿命的平均数为 1 2.35x  ， B型新材料对应的产品的使用 - 17 - 寿命的平均数为 2 2.7x  ， 1 2x x ， 应该采购 B型新材料. 【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：① 依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算 ,x y 的值；③计算回归系数 ˆˆ,a b；④ 写出回归直线方程为 ˆˆ ˆy bx a  ； 回归直线过样本点中心  ,x y 是一条重要性质，利用线性 回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势. 20. 已知 A(－2，0)，B(2，0)为椭圆 C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆 C 上异于 A， B的动点，且△APB 面积的最大值为 2 3． (Ⅰ)求椭圆 C 的方程； (Ⅱ)直线 AP 与椭圆在点 B 处的切线交于点 D，当点 P在椭圆上运动时，求证：以 BD 为直径的 圆与直线 PF 恒相切． 【答案】（Ⅰ）椭圆 C 的方程为 2 2 1 4 3 x y   （Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据题意得到 a,b,c 的方程组，解方程组即得椭圆 C 的方程.(2)求证圆心到直线 PF 的 距离等于 1 2 |BD|，即证以 BD 为直径的圆与直线 PF 恒相切． 【详解】（1）由题意可设椭圆 C 的方程为 2 2 2 2+ =1x y a b (a>b>0)，F(c，0)． 由题意知 2 2 2 1 2 2 3 2 2 a b a a b c           ，解得 b= 3，c=1. 故椭圆 C 的方程为 2 2 1 4 3 x y   ． （2）证明：由题意可设直线 AP 的方程为 y=k(x+2)(k≠0)． 则点 D 坐标为（2,4k）,BD 中点 E的坐标为（2，2k）. - 18 - 由 2 2 ( 2) 1 4 3 y k x x y       得 2 2 2 2(3 4 ) 16 16 12 0k x k x k     设点 P 的坐标为 0 0( , )x y ，则 2 0 2 16 122 3 4 kx k     所以 2 0 0 02 2 6 8 12, ( 2) 3 4 3 4 k kx y k x k k        因为点 F 坐标为(1，0)， 当 k＝± 1 2 时，点 P的坐标为 3(1, ) 2  ，直线 PF⊥x轴，点 D的坐标为(2，±2)． 此时以 BD 为直径的圆 2 2( 2) ( 1) 1x y   (与直线 PF 相切． 当 1 2 k   时，则直线 PF 的斜率 0 2 0 4 1 1 4PF y kk x k     ， 所以直线 PF 的方程为 2 4 ( 1) 1 4 ky x k    ， 点 E 到直线 PF 的距离 2 22 2 22 22 2 2 88 42 1 41 4 1 4 =2 | | 1 416 1 1 4(1 4 ) k kk kk kk kd k kk kk          又因为|BD|＝4|k|，所以 d＝ 1 2 |BD|. 故以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切． 综上得，当点 P 在椭圆上运动时，以 BD 为直径的圆与直线 PF 恒相切． 【点睛】（1）本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对 这些知识的掌握水平和分析推理转化计算能力.(2)解答第 2问的关键是求证圆心到直线 PF 的 距离等于 1 2 |BD|. 21. 已知函数 2( ) 3 , ( ) 9 1xf x e x g x x    . （1）讨论函数 ( ) ln ( )( , 0)x a x bg x a R b     在 (1, ) 上的单调性； （2）比较 ( )f x 与 ( )g x 的大小，并加以证明. - 19 - 【答案】（1）见解析（2） ( ) ( )f x g x 【解析】 试题分析：（1）由题意，可采用导数法进行探究讨论，由函数  x 求出其导数  x ，根据 导数解析式中参数及未知数的范围，进行分类讨论，从而对导数  x 符号进行判断，从而问 题可得解； （2）根据题意，可构造函数      h x f x g x  ，利用导数法，通过研究函数  h x 的单调 性及单调区间，求出其最小值  minh x ，并证明  min 0h x  ，从而问题可得解. 试题解析：（1）   9 9 9' 9 ( 1) ab x a a bx bx b x x x x           ， 当 1 9 a b  ，即 9a b 时，  ' 0x  ， ∴  x 在  1, 上单调递减； 当 1 9 a b  ，即 9a b 时，令  ' 0x  ，得 1, 9 ax b      ； 令  ' 0x  ，得 , 9 ax b       . 故  x 在 1, 9 a b       上单调递增，在 , 9 a b      单调递减. （2）    f x g x . 证明如下： 设       23 9 1xh x f x g x e x x      ， ∵  ' 3 2 9xh x e x   为增函数 ∴可设  0' 0h x  ，∵  ' 0 6 0h    ，  ' 1 3 7 0h e   ， ∴  0 0,1x  当 0x x 时，  ' 0h x  ；当 0x x 时，  ' 0h x  . - 20 - ∴     0 2 0 0 0min 3 9 1xh x h x e x x     又 0 03 2 9 0xe x   ，∴ 0 03 2 9xe x   ， ∴     2 2 0 0 0 0 0 0 0min 2 9 9 1 11 10 1 10h x x x x x x x x            ， ∵  0 0,1x  ，∴   0 01 10 0x x   ， ∴  min 0h x  ，∴    f x g x . 点睛：此题主要考查导数在研究函数的单调性、最值、以及不等式的证明中的应用，属于中 高档题型，也是常考题.利用导数研究函数单调性的一般步骤，第一确定函数的定义域；第二 求函数的导数；第三若求单调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明）不 等式   0f x  或   0f x  ；若已知函数的单调性求参数，只需转化为不等式   0f x  或   0f x  在单调区间内恒成立的问题求解，在求解过程中要注意分类讨论. 22. 在极坐标系中，O为极点，点   0 0 0, 0M     在曲线C： 2sin  上，直线 l过 点  2,0A 且与OM 垂直，垂足为 P . （1）当 0 4    时，求 0 及 l的极坐标方程； （2）当M 在C上运动且 P在线段OM 上时，求 P点轨迹的极坐标方程. 【答案】（1） 0 2  ， l： cos 2 4        .（2） 2cos  ， , 4 2        . 【解析】 【分析】 （1）把 0 4    直接代入 2sin  即可求得 0 ，在直线 l上任取一点 ( , )  ，利用三角形 中点边角关系即可求得 l的极坐标方程； （2）设 ( , )P   ，在 Rt OAP△ 中，根据边与角的关系得答案． 【详解】（1）因为  0 0,M   在C上，当 0 4    时， 0 2sin 2 4    . 由己知得 cos 2 4 OP OA    ，设  ,Q   为 l上除 P点外的任意一点，连接OQ， - 21 - 在 Rt OPQ 中， cos 2 4 OP        . 经检验，点 2, 4 P       在曲线 cos 2 4        上.所以， l的极坐标方程为 cos 2 4        . （2）设  ,P   ，在 Rt OAP△ 中， cos 2cosOP OA    ，即 2cos  . 因为 P在线段OM 上，且 AP OM ，故 的取值范围是 , 4 2       . 所以， P点轨迹的极坐标方程为 2cos  ， , 4 2        . 【点睛】本题考查解得曲线的极坐标方程及其应用，画图能够起到事半功倍的作用，属于中 档题． 23. 已知不等式 2 5x x x    的解集为  ,m n . （1）求m， n的值； （2）若 0x  ， 0y  ， 0nx y m   ，求 1 1 x y  的最小值. 【答案】（1） 1m   ， 7n  ；（2） 7 1 【解析】 【分析】 （1）按 0x  ，0 2x  ， 2x  进行分类讨论，求出不等式 2 5x x x    的解集，即可 得m， n的值； （2）由（1）得7 1x y  ，则  1 1 1 1 7x y x y x y           ，展开后运用均值不等式即可 - 22 - 求出最小值. 【详解】（1）原不等式可化为 0 2 5 x x x x       或 0 2 2 5 x x x x        或 2 2 5 x x x x       ， 解得 1 0x   或0 2x  或 2 7x  ，∴ 1 7x   ， ∴原不等式的解集为  1,7 ，故 1m   ， 7n  ； （2）由（1）得7 1 0x y   ，即  7 1 0, 0x y x y    ， 所以 1 1 7 7 7 8x y x y y x x y x y x y             2 7 8 7 1    . 当且仅当 7 7 1 y x x y x y       ，即 1 7 7 x   ， 7 7 7 y   时取等号， 故所求最小值为 7 1 . 【点睛】本题主要考查了求解绝对值不等式，考查了分类讨论的数学思想；考查了基本不等 式求最值，在运用基本不等式时要根据一正，二定，三取等的思路去思考． - 23 -