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- 2021-06-16 发布
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课时作业32 数列的概念与简单表示法
一、选择题
1.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式an等于( D )
A. B.cos
C.cosπ D.cosπ
解析:令n=1,2,3,…,逐一验证四个选项,易得D正确.
2.若数列{an}满足a1=1,a2=3,an+1=(2n-λ)an(n=1,2,…),则a3等于( D )
A.5 B.9
C.10 D.15
解析:令n=1,则3=2-λ,即λ=-1,由an+1=(2n+1)an,得a3=5a2=5×3=15.故选D.
3.若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=,则等于( D )
A. B.
C. D.30
解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=,所以=5×6=30.
4.(2020·辽宁锦州月考)已知数列{an}满足a1=,对任意正整数n,an+1=an(1-an),则a2 019-a2 018=( B )
A. B.
C.- D.-
解析:∵a1=,an+1=an(1-an),∴a2=,a3=,a4=,a5=,…,∴n≥2时,{an}的奇数项为,偶数项为,∴a2 019-a2 018=-=,故选B.
5.(2020·山西河津月考)设数列{an}满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=(n∈N*),则{an}的通项公式为an=( C )
A. B.
C. D.
5
解析:∵a1+2a2+22a3+…+2n-1an=(n∈N*),
∴易知n≥2时,2n-1an=,又a1=,∴对一切n∈N*,2n-1an=,∴an=,故选C.
6.若数列{an}的前n项和Sn=n2-10n(n∈N*),则数列{nan}中数值最小的项是( B )
A.第2项 B.第3项
C.第4项 D.第5项
解析:∵Sn=n2-10n,∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-11;
当n=1时,a1=S1=-9也适合上式.
∴an=2n-11(n∈N*).
记f(n)=nan=n(2n-11)=2n2-11n,
此函数图象的对称轴为直线n=,但n∈N*,
∴当n=3时,f(n)取最小值.
∴数列{nan}中数值最小的项是第3项.
7.(2020·西宁模拟)数列{an}满足a1=2,an+1=a(an>0),则an=( D )
A.10n-2 B.10n-1
C.102n-4 D.22n-1
解析:因为数列{an}满足a1=2,an+1=a(an>0),所以log2an+1=2log2an⇒=2,所以{log2an}是公比为2的等比数列,所以log2an=log2a1·2n-1⇒an=22n-1.
8.(2020·陕西西安模拟)已知数列{an}满足a1=,an+1=1-(n∈N*),则使a1+a2+…+ak<100(k∈N*)成立的k的最大值为( C )
A.198 B.199
C.200 D.201
解析:∵a1=,an+1=1-(n∈N*),∴a2=-1,a3=2,a4=,…,∴a1+a2+a3=,∴a1+a2+a3+…+a198+a199+a200=<100,a1+a2+a3+…+a198+a199+a200+a201=>100,a1+a2+a3+…+a198+a199+a200+a201+a202=101>100,a1+a2+a3+…+a198+a199+a200+a201+a202+a203=100,∴满足题意的k的值为200,故选C.
二、填空题
9.若数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,则数列{an}的通项公式an=.
解析:当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,显然当n=1时,不满足上式.
故数列{an}的通项公式为an=
10.已知数列{an}满足a1=1,an-an+1=nanan+1(n∈N*),则an=.
5
解析:由an-an+1=nanan+1,得-=n,
则由累加法得-=1+2+…+(n-1)=(n≥2),
又因为a1=1,所以=+1=,
所以an=(n≥2),经检验,当n=1时,a1=1符合上式.
所以an=(n∈N*).
11.已知数列{an}满足a1=1,a2=4,an+2+2an=3an+1(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=3×2n-1-2.
解析:由an+2+2an-3an+1=0,得an+2-an+1=2(an+1-an),
∴数列{an+1-an}是以a2-a1=3为首项,2为公比的等比数列,∴an+1-an=3×2n-1,
∴n≥2时,an-an-1=3×2n-2,…,a3-a2=3×2,a2-a1=3,
将以上各式累加得an-a1=3×2n-2+…+3×2+3=3(2n-1-1),∴an=3×2n-1-2(n≥2),
经检验,当n=1时,a1=1,符合上式.
∴an=3×2n-1-2.
12.(2019·福州质检)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且Sn=λan-1(λ为常数),若数列{bn}满足anbn=-n2+9n-20,且bn+11,则n>+1,所以当1≤n<3时,bn>bn+1,当n≥3时,bnb3,所以b3最小.故选B.
16.(2020·河北唐山模拟)各项均为正数的数列{an}满足a1=1,an·an+2=3an+1(n∈N*),则a5·a2 019=27.
解析:由an·an+2=3an+1知n≥2时,an-1·an+1=3an,两式相乘得an-1·an+2=9,又an+2·an+5=9,得an-1=an+5,则数列周期为6,又a1a4=9,则a4=9,故a5·a2 019=a5·a6×336+3=a5·a3=3a4=27.
17.已知二次函数f(x)=x2-ax+a(a>0,x∈R)有且只有一个零点,数列{an}的前n项和Sn=f(n)(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设cn=1-(n∈N*),定义所有满足cm·cm+1<0正整数m的个数,称为这个数列{cn}的变号数,求数列{cn}的变号数.
解:(1)依题意,Δ=a2-4a=0,所以a=0或a=4.
又由a>0得a=4,所以f(x)=x2-4x+4.
所以Sn=n2-4n+4.
当n=1时,a1=S1=1-4+4=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-5.
所以an=
(2)由题意得cn=
由cn=1-可知,当n≥5时,恒有cn>0.
又c1=-3,c2=5,c3=-3,c4=-,c5=,c6=,
即c1·c2<0,c2·c3<0,c4·c5<0,
所以数列{cn}的变号数为3.
5
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