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- 2021-06-16 发布
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[练案14]第十一讲 导数的概念及运算
A组基础巩固
一、单选题
1.已知函数f(x)=cosx,则f(π)+f′()=( C )
A.- B.-
C.- D.-
[解析] f(π)=,f′(x)=,f′()=-,∴f(π)+f′()=-.故选C.
2.(2020·江西上高二中月考)函数f(x)=的导函数为( B )
A.f′(x)=2e2x B.f′(x)=
C.f′(x)= D.f′(x)=
[解析] f′(x)===.故选B.
3.(2020·福建福州八县联考,11)已知函数f(x)的导函数是f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+ln ,则f(1)=( B )
A.-e B.2
C.-2 D.e
[解析] 由已知得f′(x)=2f′(1)-,令x=1,得f′(1)=2f′(1)-1,解得f′(1)=1,则f(1)=2f′(1)=2.
4.(2020·广东深圳模拟)已知函数f(x)=ax2+(1-a)x+是奇函数,则曲线y=f(x)在x=1处的切线的倾斜角为( B )
A. B.
C. D.
[解析] 由函数f(x)=ax2+(1-a)x+是奇函数,得f(-x)=-f(x),可得a=0,则f(x)=x+,f′(x)=1-,故曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率k
- 6 -
=1-2=-1,可得所求切线的倾斜角为,故选B.
5.(2020·湖北黄冈模拟,4)已知直线y=是曲线y=xex的一条切线,则实数m的值为( B )
A.- B.-e
C. D.e
[解析] 设切点坐标为(n,),对y=xex求导得y′=(xex)′=ex+xex,若直线y=是曲线y=xex的一条切线,则有y′|x=n=en+nen=0,解得n=-1,此时有=nen=-,∴m=-e.故选B.
6.(2020·湖南娄底二模,5)已知f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=-,则函数图象在x=-1处的切线方程是( A )
A.2x-y+1=0 B.x-2y+2=0
C.2x-y-1=0 D.x+2y-2=0
[解析] 当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-,∴f(x)=(x<0),又f′(-1)=2,f(-1)=-1,∴切线方程为y+1=2(x+1),即2x-y+1=0.故选A.
7.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g′(x)是g(x)的导函数,则g′(3)=( B )
A.-1 B.0
C.2 D.4
[解析] 由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率为-,即f′(3)=-,又g(x)=xf(x),g′(x)=f(x)+xf′(x),g′(3)=f(3)+3f′(3),由题图可知f(3)=1,所以g′(3)=1+3×(-)=0.
二、多选题
8.(2020·珠海调考改编)下列求导运算不正确的是( ACD )
- 6 -
A.(x+)′=1+
B.(log2x)′=
C.(3x)′=3x·log3e
D.(x2cos x)′=-2xsin x
[解析] 因为(x+)′=1-,所以选项A不正确;因为(log2x)′=,所以选项B正确;因为(3x)′=3xln 3,所以选项C不正确;因为(x2cos x)′=2xcos x-x2sin x,所以选项D不正确.故选A、C、D.
9.已知f′(x)是函数f(x)的导函数,如果f′(x)是二次函数,f′(x)的图象开口向上,顶点坐标为(1,),那么曲线y=f(x)上任一点处的切线的倾斜角α的值可能为( CD )
A. B.
C. D.
[解析] 依题意得f′(x)≥,即曲线y=f(x)在任意一点处的切线斜率不小于,故其倾斜角为不小于的锐角,故选C、D.
10.(2020·山东模拟改编)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中不具有T性质的是( BCD )
A.y=sin x B.y=ln x
C.y=ex D.y=x3
[解析] 设函数y=f(x)图象上的两点分别为(x1,y1),(x2,y2),且x1≠x2,则由题意知只需函数y=f(x)满足f′(x1)·f′(x2)=-1即可.y=f(x)=sin x的导函数为f′(x)=cos x,则f′(x1)·f′(x2)=-1有无数组解,故函数y=sin x具有T性质;y=f(x)=ln x的导函数为f′(x)=,则f′(x1)·f′(x2)=>0,故函数y=ln x不具有T性质;y=f(x)=ex的导函数为f′(x)=ex,则f′(x1)·f′(x2)=ex1+x2>0,故函数y=ex不具有T性质;y=f(x)=x3的导函数为f′(x)=3x2,则f′(x1)·f′(x2)=9xx≥0,故函数y=x3不具有T性质.故选B、C、D.
三、填空题
11.(1)(2018·天津,10)已知函数f(x)=exlnx,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(1)的值为__e__;
(2)(2020·长春模拟)若函数f(x)=,则f′(2)= ;
(3)函数y=x·tanx的导数为y′= tanx+ .
- 6 -
[解析] (1)本题主要考查导数的计算.
∵f(x)=exlnx,∴f′(x)=ex(lnx+),
∴f′(1)=e1×(ln1+1)=e.
(2)由f′(x)=,得f′(2)=.
(3)y′=(x·tanx)′=x′tanx+x(tanx)′
=tanx+x·()′=tanx+x·
=tanx+.
12.(2020·广州调研)已知直线y=kx-2与曲线y=xln x相切,则实数k的值为__1+ln_2__.
[解析] 由y=xln x得,y′=ln x+1.设直线y=kx-2与曲线y=xln x相切于点P(x0,y0),则切线方程为y-y0=(ln x0+1)(x-x0),又直线y=kx-2恒过点(0,-2),所以点(0,-2)在切线上,把(0,-2)以及y0=x0ln x0代入切线方程,得x0=2,故P(2,2ln 2).把(2,2ln 2)代入直线方程y=kx-2,得k=1+ln 2.
13.(2020·上饶模拟)若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小值为 .
[解析] 因为定义域为(0,+∞),由y′=2x-=1,解得x=1,则在P(1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d==.
B组能力提升
1.(2020·湖南长沙长郡中学模拟)等比数列{an}中,a2=2,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)(x-a3),则f′(0)=( B )
A.8 B.-8
C.4 D.-4
[解析] f′(x)=(x-a1)(x-a2)(x-a3)+x[(x-a1)(x-a2)(x-a3)]′,∴f′(0)=-a1a2a3=-a=-8.
2.如图所示为函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是( D )
- 6 -
[解析] 由y=f′(x)的图象知,y=f′(x)在(0,+∞)上单调递减,说明函数y=f(x)的切线的斜率在(0,+∞)上也单调递减,故可排除A,C.又由图象知y=f′(x)与y=g′(x)的图象在x=x0处相交,说明y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处的切线的斜率相同,故可排除B.
3.(2020·山西太原模拟)已知函数f(x)=xln x+a的图象在点(1,f(1))处的切线经过原点,则实数a的值为( A )
A.1 B.0
C. D.-1
[解析] ∵f(x)=xln x+a,∴f′(x)=ln x+1,∴f′(1)=1,f(1)=a,∴切线方程为y=x-1+a,∴0=0-1+a,解得a=1.故选A.
4.(2020·四川名校联考)已知函数f(x)的图象如图所示,f′(x)是f(x)的导函数,则下列数值排序正确的是( C )
A.0
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