人教A数学必修二 空间点直线平面之间的位置学习过程 4页

空间点、直线、平面之间的位置关系 学习过程 知识点1：平面的基本性质 ⑴、 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。‎ 图形语言表述：‎ 符号语言表述; ‎ 公理1的作用：既可判定直线是否在平面内、点是否在平面内，又可用直线检验平面。‎ ⑵、 公理2：过不在一条直线的三点，有且只有一个平面。‎ 图形语言表述：‎ 符号语言表述;‎ 公理2的作用;一是确定平面，二是可用其证明点、线共面问题。‎ ⑶、 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。‎ 图形语言表述：‎ 符号语言表述; ‎ 公理3的作用：其一是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线；其二它可判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上。‎ 符号语言表述：‎ ⑷、 公理4：平行于同一条直线的两条直线相互平行。‎ 知识点2：空间中直线与直线的位置关系 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。‎ 异面直线夹角的取值范围: .‎ 知识点3：空间中直线与平面之间的位置关系 ‎（1）、直线在平面内——有无数个公共点；‎ ‎（2）、直线与平面相交——有且只有一个公共点；‎ ‎（3）、直线与平面平行——没有公共点。‎ 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。‎ 知识点4：平面与平面之间的位置关系 ‎（1）、两个平面平行——没有公共点；‎ ‎（2）、两个平面相交——有一条公共直线。‎ 典型例题 例题1 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m，‎ ‎（I）试确定m，使得直线AP与平面BD D1B1所成角的正切值为；‎ ‎（Ⅱ）在线段A‎1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论。‎ 答案：（1） ‎ ‎（2）的中点 解析：（I）‎ 故。所以。‎ 又.‎ 故 在△，即.‎ 故当时，直线。‎ ‎（Ⅱ）依题意，要在上找一点，使得.‎ 可推测的中点即为所求的点。‎ 因为，所以 又,故。‎ 从而 例题2已知两个正四棱锥的高分别为1和2, 。‎ ‎（I）证明: ；‎ ‎（II）求异面直线所成的角的余弦值；‎ ‎（III）求点到平面的距离。‎ 解析：（Ⅰ）取AD的中点M，连接PM、QM。‎ 因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以ADPM，ADQM。‎ 从而AD平面PQM。‎ ‎ 又PQ平面PQM，所以PQ⊥AD。‎ ‎ 同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD。‎ ‎（Ⅱ）连接AC、BD，设ACBD＝O，由PQ平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P，A，Q，C四点共面。‎ 取OC的中点N，连接PN。‎ 因为，所以 ‎， （或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角。‎ 连接BN。 因为．‎ ‎ ‎ 所以。‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知，AD⊥平面PQM，所以平面QAD⊥平面PQM 。‎ 过点P作PH⊥QM于H，则PH⊥QAD，所以PH的长为点P到平面QAD的距离。‎ 连结OM。因为OM=AB=2=OQ，所以∠MQP=45°。‎ 又PQ=PO+QO=3，于是PH=PQsin45°=。‎ 即点P到平面QAD的距离是。‎ 例题3 已知正方形。、分别是、的中点,将沿折起，如图所示。记二面角的大小为。‎ 证明平面 解析：EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,‎ ‎∴EB//FD，且EB=FD，‎ ‎∴四边形EBFD为平行四边形。 ∴BF//ED ‎∵ 平面AED,而BF平面AED ∴平面.‎ ‎∴。‎