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- 2021-06-16 发布
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学业分层测评
(建议用时：45 分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2015·天津高考)设 x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2>0”
的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 |x－2|<1⇔10⇔x>1 或 x<－2.
由于{x|11 或 x<－2}的真子集，
所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分而不必要条件．
【答案】 A
2．函数 f(x)＝x2＋mx＋1 的图象关于直线 x＝1 对称的充要条件
是( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
【解析】 当 m＝－2 时，f(x)＝x2－2x＋1，其图象关于直线 x
＝1 对称，反之也成立，所以 f(x)＝x2＋mx＋1 的图象关于直线 x＝1
对称的充要条件是 m＝－2.
【答案】 A
3．已知非零向量 a，b，c，则“a·b＝a·c”是“b＝c”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 ∵a⊥b，a⊥c 时，a·b＝a·c，但 b 与 c 不一定相等，
∴a·b＝a·c⇒/ b＝c；反之，b＝c⇒a·b＝a·c.
【答案】 B
4．(2015·北京高考)设α，β是两个不同的平面，m 是直线且 m⊂α，
“m∥β ”是“α∥β ”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 当 m∥β时，过 m 的平面α与β可能平行也可能相交，
因而 m∥β⇒/ α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为 m⊂α，所
以 m∥β.综上知，“m∥β ”是“α∥β ”的必要而不充分条件．
【答案】 B
5．已知 p：x2－x＜0，那么命题 p 的一个必要非充分条件是( )
A．0＜x＜1 B．－1＜x＜1
C.1
2
＜x＜2
3 D.1
2
＜x＜2
【解析】 x2－x＜0⇔0＜x＜1，运用集合的知识易知．
A 中 0＜x＜1 是 p 的充要条件；
B 中－1＜x＜1 是 p 的必要非充分条件；
C 中1
2
＜x＜2
3
是 p 的充分非必要条件；
D 中1
2
＜x＜2 是 p 的既不充分也不必要条件．应选 B.
【答案】 B
二、填空题
6．“b2＝ac”是“a，b，c 成等比数列”的________条件．
【解析】 “b2＝ac” ⇒/ “a，b，c 成等比数列”，例如 b2＝ac
＝0；而“a，b，c 成等比数列”⇒“b2＝ac”成立．故是必要不充分
条件．
【答案】 必要不充分
7．“函数 f(x)＝x2－2ax＋3 在区间[1，＋∞)上是增函数”是“a
＜2”的________条件. 【导学号：26160014】
【解析】 ∵函数 f(x)＝x2－2ax＋3 的图象开口向上，对称轴为
x＝a，
∴当 f(x)在[1，＋∞)上为增函数时，a≤1，而 a≤1⇒a＜2，a＜
2⇒/ a≤1.
∴是充分不必要条件．
【答案】 充分不必要
8．下列三个结论：
①x2>4 是 x3<－8 的必要不充分条件；
②若 a，b∈R，则“a2＋b2＝0”是“a＝b＝0”的充要条件；
③x2＋(y－2)2＝0 是 x(y－2)＝0 的充要条件．
其中正确的结论是________．
【解析】 对于①，x2>4⇒x>2 或 x<－2，x3<－8⇒x<－2，∴①
正确；对于②，a2＋b2＝0⇔a＝b＝0，∴②正确；对于③，x2＋(y－
2)2＝0⇔x＝0 且 y＝2，x(y－2)＝0⇔x＝0 或 y＝2，∴③错误，应为充
分不必要条件．
【答案】 ①②
三、解答题
9．已知命题 p：4－x≤6，q：x≥a－1，若 p 是 q 的充要条件，
求 a 的值．
【解】 由题意得 p：x≥－2，q：x≥a－1，因为 p 是 q 的充要
条件，所以 a－1＝－2，即 a＝－1.
10．判断下列各题中 p 是 q 的什么条件．
(1)p：x>1，q：x2>1；
(2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；
(3)p：a1 可以推出 x2>1；由 x2>1，得 x<－1 或 x>1，不
一定有 x>1.因此，p 是 q 的充分不必要条件．
(2)由(a－2)(a－3)＝0 可以推出 a＝2 或 a＝3，不一定有 a＝3；
由 a＝3 可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p 是 q 的必要不充分条件．
(3)由于 a1；当 b>0 时，a
b<1，故若 a0，b>0，a
b<1 时，可以推出 ab.因此 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
[能力提升]
1．(2016·潍坊联考)“a＝－1”是“直线 a2x－y＋1＝0 与直线 x
－ay－2＝0 互相垂直”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 “直线 a2x－y＋1＝0 与直线 x－ay－2＝0 互相垂直”
的充要条件是 a2＋a＝0，即 a＝－1 或 a＝0，所以 a＝－1 是两直线
垂直的充分不必要条件．
【答案】 A
2．(2016·忻州联考)命题“对任意 x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题
的一个充分不必要条件可以是( )
A．a≥4 B．a>4
C．a≥1 D．a>1
【解析】 要使得“对任意 x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题，只
需要 a≥4，∴a>4 是命题为真的一个充分不必要条件．
【答案】 B
3．(2016·南京模拟)设函数 f(x)＝cos(2x＋φ)，则“f(x)为奇函数”
是“φ＝π
2
”的________条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、
“充要”、“既不充分也不必要”)．
【解析】 当φ＝π
2
时，可得到 f(x)为奇函数，但 f(x)为奇函数时
不一定φ＝π
2
，所以“f(x)为奇函数”是“φ＝π
2
”的必要不充分条件．
【答案】 必要不充分
4．已知 p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若 p
是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
【导学号：26160015】
【解】 令 M＝{x|2x2－3x－2≥0}
＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}＝ x|x≤－1
2
或 x≥2 ，
N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}＝
{x|x≤a－2 或 x≥a}，
由已知 p⇒q 且 q⇒/ p，得 M N.
∴
a－2≥－1
2
，
a<2
或
a－2>－1
2
，
a≤2
⇔3
2
≤a<2 或3
2
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