2020年高中数学新教材同步必修第二册 第8章 再练一课(范围：8.4～8.6) 7页

再练一课(范围：8.4～8.6) 1.如图所示，下列符号表示错误的是( ) A.l∈α B.P∉l C.l⊂α D.P∈α 答案 A 解析 观察图知，P∉l，P∈α，l⊂α，则 l∈α是错误的. 2.对于任意的直线 l 与平面α，在平面α内必有直线 m，使 m 与 l( ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线 答案 C 3.直线在平面外是指( ) A.直线与平面没有公共点 B.直线与平面相交 C.直线与平面平行 D.直线与平面最多只有一个公共点 答案 D 解析 直线与平面的位置关系为：平行、相交、在平面内，其中平行和相交统称为直线在平 面外，所以直线在平面外是指直线与平面最多只有一个公共点. 4.下列命题： ①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交； ②如果一个平面平行于另外两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面； ③夹在两个平行平面间的平行线段相等. 其中正确的命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.0 答案 C 解析 根据面面平行的性质知①②③正确. 5.(多选)在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，且底面 ABCD 为矩形，则下列结论中正 确的是( ) A.平面 PAB⊥平面 PAD B.平面 PAB⊥平面 PBC C.平面 PBC⊥平面 PCD D.平面 PCD⊥平面 PAD 答案 ABD 解析 对于 A，∵PA⊥底面 ABCD，且底面 ABCD 为矩形，∴PA⊥AB，又 AB⊥AD，PA∩AD ＝A，PA，AD⊂平面 PAD，∴AB⊥平面 PAD，∴平面 PAB⊥平面 PAD，故 A 正确；对于 B， ∵PA⊥底面 ABCD，且底面 ABCD 为矩形，∴PA⊥BC，又 BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB ⊂平面 PAB，∴BC⊥平面 PAB，∴平面 PAB⊥平面 PBC，故 B 正确；对于 D，∵PA⊥底面 ABCD，∴PA⊥CD，又 CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面 PAD，∴CD⊥平面 PAD，∴ 平面 PCD⊥平面 PAD，故 D 正确. 6.互不重合的三个平面最多可以把空间分成________个部分. 答案 8 解析 互不重合的三个平面将空间分成几部分有五种情形：当三个平面互相平行时，将空间 分成四部分；当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分；当三个平面 相交于同一条直线时，将空间分成六部分；当三个平面相交于三条直线时，且三条交线交于 同一点时，将空间分成八个部分；当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将 空间分成七部分.即不重合的三个平面可以将空间分成四部分或六部分或七部分或八部分.所 以最多将空间分成 8 部分. 7.一个正四面体木块如图所示，点 P 是棱 VA 的中点.过点 P 将木块锯开，使截面 PDEF 平行 于棱 VB 和 AC，若木块的棱长为 a，则截面面积为________. 答案 a2 4 解析 由于平面 PDEF 与 VB 和 AC 都平行，所以 PF∥DE，PF＝1 2VB，PD∥EF，PD＝1 2AC， 所以四边形 PDEF 为平行四边形.又四面体为正四面体，所以 VB⊥AC，且 VB＝AC，所以 PF⊥EF，且 PF＝FE，则四边形 PDEF 是边长为 1 2a 的正方形，故其面积为a2 4 . 8.如图所示，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧棱垂直于底面 ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°， E，F 分别是棱 AB，BB1 的中点，则直线 EF 和 BC1 所成的角是________. 答案 60° 解析 连接 AB1，易知 AB1∥EF，连接 B1C 交 BC1 于点 G，取 AC 的中点 H，连接 GH， 则 GH∥AB1∥EF. 设 AB＝BC＝AA1＝a，连接 HB， 在△GHB 中，易知 GH＝HB＝GB＝ 2 2 a， 故两直线所成的角即为∠HGB＝60°. 9.已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，D，E 分别是 AB，AC 边上的点，AD＝AE，F 是 BC 的中点，AF 与 DE 交于点 G，将△ABF 沿 AF 折起，得到三棱锥 A－BCF，其中 BC＝ 2 2 . (1)证明：DE∥平面 BCF； (2)证明：CF⊥平面 ABF. 证明 (1)在等边三角形 ABC 中，AD＝AE， ∴AD DB ＝AE EC ， 在折叠后的三棱锥 A－BCF 中也成立，∴DE∥BC. ∵DE⊄平面 BCF，BC⊂平面 BCF， ∴DE∥平面 BCF. (2)在等边三角形 ABC 中，F 是 BC 的中点， ∴AF⊥BC，折叠后，AF⊥CF. ∵在△BFC 中，BC＝ 2 2 ，BF＝CF＝1 2 ， ∴BC2＝BF2＋CF2，∴CF⊥BF. 又 AF∩BF＝F，AF，BF⊂平面 ABF， ∴CF⊥平面 ABF. 10.如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N，P 分别是 AD1，BD，B1C 的中点. 求证：(1)MN∥平面 CC1D1D； (2)平面 MNP∥平面 CC1D1D. 证明 (1)如图，连接 AC，CD1. 因为 ABCD 为正方形，N 为 BD 的中点，所以 N 为 AC 的中点. 又 M 为 AD1 的中点， 所以 MN∥CD1. 因为 MN⊄平面 CC1D1D，CD1⊂平面 CC1D1D， 所以 MN∥平面 CC1D1D. (2)连接 BC1，C1D， 因为 B1BCC1 为正方形，P 为 B1C 的中点，所以 P 为 BC1 的中点. 又 N 为 BD 的中点，所以 PN∥C1D. 因为 PN⊄平面 CC1D1D，C1D⊂平面 CC1D1D， 所以 PN∥平面 CC1D1D. 由(1)知 MN∥平面 CC1D1D，且 MN∩PN＝N，MN，PN⊂平面 MNP， 所以平面 MNP∥平面 CC1D1D. 11.下列不能确定两个平面垂直的是( ) A.两个平面相交，所成二面角是直二面角 B.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线 C.一个平面经过另一个平面的一条垂线 D.平面α内的直线 a 垂直于平面β内的直线 b 答案 D 解析 如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，平面 A1B1CD 内的直线 A1B1 垂直于平面 ABCD 内的一条直线 BC，但平面 A1B1CD 与平面 ABCD 显然不垂直. 12.已知直线 m，n 与平面α，β，给出下列三个结论： ①若 m∥α，n∥α，则 m∥n；②若 m∥α，n⊥α，则 m⊥n；③若 m⊥α，m∥β，则α⊥β. 其中正确结论的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C 解析 ①若 m∥α，n∥α，则 m 与 n 可能平行、相交或异面，故①错误；易知②③正确.所以 正确结论的个数是 2. 13.如图，在多面体 ABC－DEFG 中，平面 ABC∥平面 DEFG，AD∥BE，AC∥DG∥EF，且 AB＝DE，DG＝2EF，则下列说法中正确的是________.(填序号) ①BF∥平面 ACGD； ②CF∥平面 ABED； ③BC∥FG； ④平面 ABED∥平面 CGF. 答案 ① 解析 ∵EF∥DG，EF⊄平面 ADGC，DG⊂平面 ADGC， ∴EF∥平面 ADGC， 同理，BE∥平面 ADGC， 又∵BE∩EF＝E， ∴平面 BEF∥平面 ACGD， ∵BF⊂平面 BEF，∴BF∥平面 ACGD，故①正确； 由于 DG＝2EF，则四边形 EFGD 是梯形， GF 的延长线必与直线 DE 相交，故④不正确； 选项②③不能推出. 14.如图，二面角α－l－β的大小是 60°，线段 AB⊂α，B∈l，AB 与 l 所成的角为 30°，则 AB 与平面β所成的角的正弦值是________. 答案 3 4 解析 如图，作 AO⊥β于 O，AC⊥l 于 C， 连接 OB，OC，则 OC⊥l，则∠ACO 为二面角α－l－β的平面角，∠ABC 为 AB 与 l 所成的 角. 设 AB 与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ. 由图象得 sin θ＝AO AB ＝AC AB·AO AC ＝sin 30°·sin 60°＝ 3 4 . 15.如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形 ABCD 为正方形，点 E，F，G，H 分别为 PA， PD，PC，PB 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论： ①平面 EFGH∥平面 ABCD； ②BC∥平面 PAD； ③AB∥平面 PCD； ④平面 PAD⊥平面 PAB. 其中正确的有( ) A.①③ B.①④ C.①②③ D.②③ 答案 C 解析 把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则 EH∥AB，又 EH⊄平面 ABCD，AB⊂平面 ABCD，所以 EH∥平面 ABCD.同理可证 EF∥平面 ABCD，又 EF∩EH＝E，EF，EH⊂平面 EFGH，所以平面 EFGH∥平面 ABCD；平面 PAD，平面 PBC，平面 PAB，平面 PDC 均是 四棱锥的四个侧面，则它们两两相交. ∵AB∥CD，AB⊄平面 PCD，CD⊂平面 PCD， ∴AB∥平面 PCD.同理 BC∥平面 PAD. 16.如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PC⊥平面 ABCD，AB∥DC，DC⊥AC. (1)求证：DC⊥平面 PAC； (2)求证：平面 PAB⊥平面 PAC； (3)设点 E 为 AB 的中点，在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA∥平面 CEF？请说明理由. (1)证明 ∵PC⊥平面 ABCD，DC ⊂ 平面 ABCD， ∴PC⊥DC. 又 AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC ⊂ 平面 PAC，AC ⊂ 平面 PAC，∴CD⊥平面 PAC. (2)证明 ∵AB∥CD，CD⊥平面 PAC， ∴AB⊥平面 PAC， 又 AB ⊂ 平面 PAB，∴平面 PAB⊥平面 PAC. (3)解 棱 PB 上存在点 F，使得 PA∥平面 CEF. 证明如下：取 PB 的中点 F，连接 EF，CE，CF， 又∵E 为 AB 的中点， ∴EF 为△PAB 的中位线，∴EF∥PA. 又 PA⊄平面 CEF，EF ⊂ 平面 CEF， ∴PA∥平面 CEF.