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- 2021-06-16 发布
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单元滚动检测九 平面解析几何
考生注意:
1.本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分,共4页.
2.答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上.
3.本次考试时间120分钟,满分160分.
4.请在密封线内作答,保持试卷清洁完整.
第Ⅰ卷
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在题中横线上)
1.(2016·泰州模拟)若直线l1:(a-1)x+y-1=0和直线l2:3x+ay+2=0垂直,则实数a的值为________.
2.(2016·镇江、常州联考)若在平面直角坐标系内过点P(1,)且与原点的距离为d的直线有两条,则d的取值范围为__________.
3.(2016·烟台调研)圆x2+y2-2x+4y-4=0与直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为________.
4.(2016·福州质检)直线y=x与椭圆C:+=1(a>b>0)的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点,则椭圆C的离心率为__________.
5.(2016·兰州诊断考试)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,若椭圆C的中心到直线AB的距离为F1F2,则椭圆C的离心率e=________.
6.(2016·无锡模拟)抛物线y2=4x的焦点到双曲线-=1的渐近线的距离为________.
7.(2016·山西四校联考)已知双曲线-=1(b>0),过其右焦点F作圆x2+y2=9的两条切线,切点记作C,D,双曲线的右顶点为E,∠CED=150°,则双曲线的离心率为________.
8.我们把离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”.设F1,F2是“优美椭圆”C:
+=1(a>b>0)的两个焦点,则椭圆C上满足∠F1PF2=90°的点P的个数为____________.
9.(2016·泰州模拟)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1,F2.若曲线Γ上存在点P满足为PF1∶F1F2∶PF2=4∶3∶2,则曲线Γ的离心率等于____________.
10.(2016·深圳调研)已知点F(0,1),直线l:y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且·=·,则动点P的轨迹C的方程为______________.
11.(2016·长春质检)若F(c,0)是双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点,过F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A,B两点,O为坐标原点,△OAB的面积为,则该双曲线的离心率e=______.
12.(2016·郑州质检)已知P为抛物线y=x2上的动点,点P在x轴上的射影为M,点A的坐标是(6,),则PA+PM的最小值是________.
13.(2016·湖南六校联考)已知A,B分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右顶点,不同两点P,Q在椭圆C上,且关于x轴对称,设直线AP,BQ的斜率分别为m,n,则当+++ln|m|+ln|n|取最小值时,椭圆C的离心率为________.
14.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y+y的最小值是__________.第Ⅱ卷
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(14分)已知直线y=-x+1与椭圆+=1(a>b>0)相交于A,B两点,且线段AB的中点在直线l:x-2y=0上.
(1)求此椭圆的离心率;
(2)若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4上,求此椭圆的方程.
16.(14分)(2016·苏州模拟)已知动点P到定点F(1,0)和到直线x=2的距离之比为,设动点P的轨迹为曲线E,过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A,B两点,直线l:y=mx+n与曲线E交于C,D两点,与线段AB相交于一点(与A,B不重合).
(1)求曲线E的方程;
(2)当直线l与圆x2+y2=1相切时,四边形ACBD的面积是否有最大值.若有,求出其最大值及对应的直线l的方程;若没有,请说明理由.
17.(14分)(2016·四川高中名校联盟测试)如图,已知F1,F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左,右焦点,过点F2的直线l与椭圆E交于A,B两点,直线l,AF1,BF1的斜率分别为k,k1,k2,且满足k1k2+k2=0(k≠0).
(1)若a=2,b=,求直线l的方程; (2)若k=,求的值.
18.(16分)(2016·扬州模拟)已知椭圆C的中心在坐标原点,右焦点为F(,0),A,B分别是椭圆C的左、右顶点,D是椭圆C上异于A,B的动点,且△ADB面积的最大值为12.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求证:当点P(x0,y0)在椭圆C上运动时,直线l:x0x+y0y=2与圆O:x2+y2=1恒有两个交点,并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围.
19.(16分)如图,曲线C由上半椭圆C1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y≤0)连结而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为.
(1)求a,b的值;
(2)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.
20.(16分)已知椭圆C的中心在原点O,焦点F1,F2在x轴上,离心率e=,且经过点
A(1,).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知P,Q是椭圆C上的两点.
(ⅰ)若OP⊥OQ,求证:+为定值;
(ⅱ)当+为(ⅰ)中所求定值时,试探究OP⊥OQ是否成立?并说明理由.
答案解析
1.
解析 由已知得3(a-1)+a=0,解得a=.
2.0b>0)在第一象限的交点为A,依题意有点A的坐标为(c,c),又点A在椭圆C上,故有+=1,因为b2=a2-c2,所以+=1,
所以c4-3a2c2+a4=0,即e4-3e2+1=0,解得e2=,
又因为C是椭圆,所以032.
综合①②知(y+y)min=32.
15.解 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则由
得(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0,
∴x1+x2=,y1+y2=-(x1+x2)+2=,
∴线段AB的中点坐标为(,).
∵线段AB的中点在直线l上,
∴-=0,
∴a2=2b2=2(a2-c2),∴a2=2c2,
∴椭圆的离心率e==.
(2)由(1)知b=c,从而椭圆的右焦点F的坐标为(b,0),
设点F(b,0)关于直线l:x-2y=0的对称点的坐标为(x0,y0),
则·=-1且-2·=0,
∴x0=b,y0=b.
由已知得x+y=4,∴(b)2+(b)2=4,
∴b2=4,又由(1)知a2=2b2=8,
∴椭圆的方程为+=1.
16.解 (1)设点P(x,y),由题意可得=,
整理可得+y2=1.曲线E的方程是+y2=1.
(2)设C(x1,y1),D(x2,y2),由已知可得AB=.
当m=0时,不合题意;
当m≠0时,由直线l与圆x2+y2=1相切,
可得=1,即m2+1=n2.
联立
消去y,得(m2+)x2+2mnx+n2-1=0,
Δ=4m2n2-4(m2+)(n2-1)=2m2>0,
x1=,x2=,
S四边形ACBD=AB·|x2-x1|==≤,
当且仅当2|m|=,即m=±时等号成立,此时n=±,
经检验可知,直线y=x-和直线y=-x+符合题意.
17.解 (1)设F1(-c,0),F2(c,0),
∴直线l的方程为y=k(x-c),将其代入+=1,
整理得(b2+a2k2)x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=,
而k1==,k2=,
由已知k1k2+k2=0且k≠0,
得+k2=0,
则(x1-c)(x2-c)+(x1+c)(x2+c)=0,
即x1x2+c2=0⇔+c2=0
⇔|k|ac=a2-c2⇔|k|=-e.
∵a=2,b=,∴c=1,即有e==,
∴k=±,则直线l的方程为3x-4y-3=0或3x+4y-3=0.
(2)若k=,则由(1)知|k|=-e,∴e=.
∵AB=|x1-x2|
=·
=,
由椭圆定义可知AF1+BF1+AB=4a,
∴=-1
=-1=-1=-1
=(+4)-1=(+4)-1=,
即=.
18.解 (1)设椭圆的方程为+=1(a>b>0),
由已知可得(S△ADB)max=·2a·b=ab=12,①
∵F(,0)为椭圆右焦点,∴a2=b2+7,②
由①②可得a=4,b=3,∴椭圆C的方程为+=1.
(2)∵P(x0,y0)是椭圆上的动点,∴+=1,
∴y=9-,
∴圆心O到直线l:x0x+y0y=2的距离
d===<1(0≤x≤16),
∴直线l:x0x+y0y=2与圆O:x2+y2=1恒有两个交点.
L=2=2(r为圆x2+y2=1的半径),
∵0≤x≤16,∴9≤x+9≤16,∴≤L≤.
19.解 (1)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,
且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左右顶点.
设C1的半焦距为c,
由=及a2-c2=b2=1,得a=2,
∴a=2,b=1.
(2)由(1)知,上半椭圆C1的方程为+x2=1(y≥0).
易知,直线l与x轴不重合也不垂直,
设其方程为y=k(x-1)(k≠0),代入C1的方程,整理得
(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)
设点P的坐标为(xp,yp),
∵直线l过点B,∴x=1是方程(*)的一个根.
由求根公式,得xp=,从而yp=,
∴点P的坐标为(,).
同理,由
得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k).
∴=(k,-4),=-k(1,k+2).
∵AP⊥AQ,∴·=0,即[k-4(k+2)]=0.
∵k≠0,∴k-4(k+2)=0,解得k=-.
经检验,k=-符合题意.
故直线l的方程为8x+3y-8=0.
20.解 (1)由题意,设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0),
将点A(1,)代入,得+=1,
结合离心率e==,a2-b2=c2,解得a=2,b=,
故椭圆C的标准方程为+=1.
(2)(ⅰ)①若P,Q分别为椭圆长轴和短轴的端点,则+=;
②若P,Q都不为椭圆长轴和短轴的端点,
设P(xP,yP),Q(xQ,yQ),则OP:y=kx,OQ:y=-x,
由解得x=,y=,
由解得x=,y=,
∴+=+==.
综合①②可知,+为定值.
(ⅱ)对于椭圆C上的任意两点P,Q,当+=时,
不妨设OP:y=k1x,OQ:y=k2x,
易得x=,y=,x=,y=,
由+=,得+=,
即8kk+7k+7k+6=7(kk+k+k+1),亦即k1k2=±1.
当+为定值时,OP⊥OQ不一定成立.
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