高中数学第二章平面解析几何2-7-1抛物线的标准方程课件新人教B版选择性必修第一册 30页

2 . 7 . 1 　 抛物线的标准方程 核心 素养 1 . 知道抛物线的定义 , 能推出抛物线的标准方程 . ( 逻辑推理 ) 2 . 能根据条件 , 求出抛物线的标准方程 . ( 数学运算 ) 3 . 能利用抛物线方程解决一些相关实际问题 . ( 直观想象、数学建模 ) 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 我们把一根直尺固定在图板上直线 l 的位置 , 把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘 , 再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点 A , 取绳长等于点 A 到直角顶点 C 的长 ( 即点 A 到直线 l 的距离 ), 并且把绳子的另一端固定在图板上的一点 F. 用铅笔尖扣着绳子 , 使点 A 到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺 , 然后将三角尺沿着直尺上下滑动 , 笔尖就在图板上描出了一条曲线 . 这就是本节我们要学习的抛物线 , 这条曲线上的点有什么特征 ? 激趣诱思 知识点拨 1 . 抛物线的 定义 激趣诱思 知识点拨 微思考 (1) 定义中为什么加上条件 “ l 不经过 F ”? 提示 : 若点 F 在直线 l 上 , 满足条件的动点 P 的轨迹是过点 F 且垂直于 l 的直线 , 而不是抛物线 . (2) 抛物线的图形是双曲线的一支吗 ? 提示 : 不是 . 当抛物线上的点趋向于无穷远时 , 图像的切线接近于和 x 轴平行 ; 而双曲线上的点趋向于无穷远时 , 图像的切线接近于与渐近线平行 . 抛物线没有渐近线 ; 从方程上看 , 抛物线的方程与双曲线的方程有很大差别 . 激趣诱思 知识点拨 2 . 抛物线的标准 方程 激趣诱思 知识点拨 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 抛物线的准线为 x=- 4, 则抛物线的方程为 ( 　　 ) A. x 2 = 16 y 　　 B. x 2 = 8 y C. y 2 = 16 x D. y 2 = 8 x 答案 : C (2) 抛物线 y 2 = 4 x 上的点 M (4, y 0 ) 到其焦点 F 的距离为 ( 　　 ) A.3 　　　 　 B.4 C.5 　　　 　 D.6 答案 : C 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1) 抛物线的焦点到准线的距离是 p. ( 　　 ) (2) 抛物线的开口方向由一次项确定 . ( 　　 ) 答案 : (1) √ 　 (2) √ 微思考 二次函数 y=ax 2 +bx+c ( a ≠0) 的图像是抛物线 , 那么抛物线对应的方程一定是二次函数吗 ? 提示 : 抛物线对应的方程不一定是二次函数 . 如 y 2 = 4 x 是抛物线 , 但不是函数 , 更不是二次函数 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 求抛物线的标准方程 例 1 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程 . (1) 经过点 ( - 3, - 1); (2) 焦点为直线 3 x- 4 y- 12 = 0 与坐标轴的交点 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 用待定系数法求抛物线标准方程的 步骤 2 . 注意事项 : 当抛物线的类型没有确定时 , 可设方程为 y 2 =mx ( m ≠0) 或 x 2 =ny ( n ≠0), 这样可以减少讨论情况的个数 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 根据下列条件求抛物线的标准方程 : (1) 已知抛物线的焦点坐标是 F (0, - 2); (2) 焦点在 x 轴负半轴上 , 焦点到准线的距离是 5 . 解 : (1) 因为抛物线的焦点在 y 轴的负半轴上 , 且 = 2, 所以 p= 4, 所以 , 所求抛物线的标准方程是 x 2 =- 8 y. (2) 由焦点到准线的距离为 5, 知 p= 5, 又焦点在 x 轴负半轴上 , 所以 , 所求抛物线的标准方程是 y 2 =- 10 x. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 抛物线定义的应用 例 2 (1) 已知抛物线 y 2 = 2 x 的焦点是 F , 点 P 是抛物线上的动点 , 又有点 A (3,2), 求 |PA|+|PF| 的最小值 , 并求此时 P 点坐标 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2) 已知动圆 M 经过点 A (3,0), 且与直线 l : x=- 3 相切 , 求动圆圆心 M 的轨迹方程 . 解 : 设动点 M ( x , y ), ☉ M 与直线 l : x=- 3 的切点为 N , 则 |MA|=|MN| , 即动点 M 到定点 A 和定直线 l : x=- 3 的距离相等 , ∴ 点 M 的轨迹是抛物线 , 且以 A (3,0) 为焦点 , 以直线 l : x=- 3 为准线 , ∴ = 3, ∴ p= 6, 故动圆圆心 M 的轨迹方程是 y 2 = 12 x. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 抛物线的定义在解题中的作用 , 就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化 , 另外要注意平面几何知识的应用 , 如两点之间线段最短 , 三角形中三边间的不等关系 , 点与直线上点的连线垂线段最短等 . 2 . 解决轨迹为抛物线问题的方法 抛物线的轨迹问题 , 既可以用轨迹法直接求解 , 也可以先将条件转化 , 再利用抛物线的定义求解 . 后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件 , 有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 若将例 2(1) 中的点 A (3,2) 改为点 (0,2), 求点 P 到点 (0,2) 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 已知动圆 M 与直线 y= 2 相切 , 且与定圆 C : x 2 + ( y+ 3) 2 = 1 外切 , 求动圆圆心 M 的轨迹方程 . 解 : 设动圆圆心为 M ( x , y ), 半径为 r , 由题意可得 M 到 C (0, - 3) 的距离与到直线 y= 3 的距离相等 . 由抛物线的定义可知 , 动圆圆心的轨迹是以 C (0, - 3) 为焦点 , 以 y= 3 为准线的一条抛物线 , 其方程为 x 2 =- 12 y. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 抛物线的实际应用 例 3 河上有一抛物线形拱桥 , 当水面距拱桥顶 5 m 时 , 水面宽为 8 m, 一小船宽 4 m, 高 2 m, 载货后船露出水面上的部分高 0 . 75 m, 问 : 水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少时 , 小船开始不能通航 ? 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : 如图 , 以拱桥的拱顶为原点 , 以过拱顶且平行于水面的直线为 x 轴 , 建立平面直角坐标系 . 又 知船露出水面上的部分高为 0 . 75 m, 所以 h=|y A |+ 0 . 75 = 2(m) . 所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距 2 m 时 , 小船开始不能通航 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 首先确定与实际问题相匹配的数学模型是解决问题的关键 . 此问题中拱桥是抛物线型 , 因此可考虑利用抛物线的有关知识解决此问题 , 其操作步骤可概括为 : (1) 建系 : 建立适当的坐标系 . (2) 假设 : 设出合适的抛物线标准方程 . (3) 计算 : 通过计算求出抛物线的标准方程 . (4) 求解求出需要求出的量 . (5) 还原 : 还原到实际问题中 , 从而解决实际问题 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 3 如图中 , 抛物线形拱桥的跨度是 20 米 , 拱高是 4 米 , 在建桥时 , 每隔 4 米需要用一支柱支撑 , 求其中最长的支柱的长度 . 解 : 建立如图所示的直角坐标系 , 设抛物线方程为 x 2 =- 2 py ( p> 0 ), 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 求解曲线的轨迹方程 案例 平面上动点 P 到定点 F (1,0) 的距离比到 y 轴的距离大 1, 求动点 P 的轨迹方程 . 分析二 结合题意动点 P 到定点 F (1,0) 的距离比到 y 轴的距离大 1, 由于点 F (1,0) 到 y 轴的距离为 1, 因此分情况讨论 : 当 x< 0 时 , 直线 y= 0( x< 0) 上的点适合条件 ; 当 x ≥ 0 时 , 可以看作是点 P 到点 F (1,0) 与到直线 x=- 1 的距离相等 , 故点 P 在以点 F 为焦点 , x=- 1 为准线的抛物线上 , 其轨迹方程为 y 2 = 4 x ( x ≥ 0) . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 ( 方法二 ) 由题意 , 动点 P 到定点 F (1,0) 的距离比到 y 轴的距离大 1, 由于点 F (1,0) 到 y 轴的距离为 1, 则当 x< 0 时 , 直线 y= 0( x< 0) 上的点适合条件 ; 当 x ≥ 0 时 , 可以看作是点 P 到点 F (1,0) 与到直线 x=- 1 的距离相等 , 故点 P 在以点 F 为焦点 , x=- 1 为准线的抛物线上 , 其轨迹方程为 y 2 = 4 x ( x ≥ 0) . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 归纳总结求解曲线的轨迹方程的方法 (1) 代数法 : 建立坐标系 —— 设点 —— 找限制条件 —— 代入等量关系 —— 化简整理 ; (2) 几何法 : 利用曲线的定义确定曲线类型并求出待定系数 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . ( 多选 ) 若动点 P 到定点 F ( - 4,0) 的距离与到直线 x= 4 的距离相等 , 则 P 点的轨迹不可能是 ( 　　 ) A. 抛物线 B. 线段 C. 直线 D. 射线 解析 : 动点 P 的条件满足抛物线的定义 . 答案 : BCD 2 . 一动圆过点 (0,1) 且与定直线 l 相切 , 圆心在抛物线 x 2 = 4 y 上 , 则 l 的方程为 ( 　　 ) 解析 : 因为动圆过点 (0,1) 且与定直线 l 相切 , 所以动圆圆心到点 (0,1) 的距离与到定直线 l 的距离相等 , 又因为动圆圆心在抛物线 x 2 = 4 y 上 , 且 (0,1) 为抛物线的焦点 , 所以 l 为抛物线的准线 , 所以 l : y=- 1 . 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . 一抛物线型拱桥 , 当水面离拱顶 2 m 时 , 水面宽 2 m, 若水面下降 4 m, 则水面宽度为 ( 　　 ) 解析 : 如图所示 , 建立直角坐标系 . 设抛物线的方程为 x 2 =- 2 py ( p> 0) . ∵ 当水面离拱顶 2 m 时 , 水面宽 2 m, 则 B (1, - 2) . 代入抛物线方程可得 1 2 =- 2 p ×( - 2), 解 得 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 与圆 ( x- 2) 2 +y 2 = 1 外切 , 且与直线 x+ 1 = 0 相切的动圆圆心的轨迹方程是 　　　　　 .   解析 : 由圆 ( x- 2) 2 +y 2 = 1 可得 , 圆心 F (2,0), 半径 r= 1 . 设所求动圆圆心为 P ( x , y ), 过点 P 作 PM ⊥ 直线 l : x+ 1 = 0, M 为垂足 . 则 |PF|-r=|PM| , 可得 |PF|=|PM|+ 1 . 因此可得 , 点 P 的轨迹是到定点 F (2,0) 的距离和到直线 l : x=- 2 的距离相等的点的集合 . 由抛物线的定义可知 , 点 P 的轨迹是抛物线 , 定点 F (2,0) 为焦点 , 定直线 l : x=- 2 是准线 . ∴ 抛物线的方程为 y 2 = 8 x. 答案 : y 2 = 8 x 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . 已知直线 l 1 :4 x- 3 y+ 6 = 0 和直线 l 2 : x=- 1, 抛物线 y 2 = 4 x 上一动点 P 到直线 l 1 和直线 l 2 的距离之和的最小值是 　　　　　 .   解析 : 如图所示 , 动点 P 到 l 2 : x=- 1 的距离可转化为到点 F 的距离 , 由图可知 , 距离和的最小值 , 即 F 到直线 l 1 的 距离 答案 : 2 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 6 . 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程 . ( 2) 焦点在 y 轴上 , 焦点到准线的距离为 5 . ( 2) 已知抛物线的焦点在 y 轴上 , 可设方程为 x 2 = 2 my ( m ≠0), 由焦点到准线的距离为 5, 知 |m|= 5, m= ± 5, 所以满足条件的抛物线有两条 , 它们的标准方程分别为 x 2 = 10 y 和 x 2 =- 10 y.